◇ 江蘇 姜亞琴

歸納推理是由某一事物的局部特征探究其整體規(guī)律的一種思維方式,是由特殊到一般的推理方法.通過歸納提出問題,進(jìn)而對問題進(jìn)行分析、求解.在數(shù)學(xué)中很多重要公式、性質(zhì)、定理的發(fā)現(xiàn)都是通過歸納推理得出的.高考或模擬考試中的歸納推理問題,是考查考生分析問題、解決問題能力以及創(chuàng)新思維的有效載體.本文提出求解歸納推理問題的幾個(gè)基本原則,供同學(xué)們參考.

1 要明確歸納對象的存在條件

例1設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n(n∈N*).數(shù)列{bm}定義如下：對任意m∈N*,bm是數(shù)列{an}中不大于32m的項(xiàng)的個(gè)數(shù),則b3＝________;數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm＝________.

解析

當(dāng)m＝1時(shí),32m＝9,由3n≤9,得n≤3,所以b1＝3;當(dāng)m＝2 時(shí),32m＝34,由3n≤34,得n≤33,所以b2＝33;當(dāng)m＝3時(shí),32m＝36,由3n≤36,得n≤35,所以b3＝35;

……

依此類推,可得bm＝32m－1,所以數(shù)列{bm}是以3為首項(xiàng),32為公比的等比數(shù)列,故

點(diǎn)評

本題歸納的對象存在于新定義的數(shù)列中,通過準(zhǔn)確理解新定義的概念,探究新定義數(shù)列的形式,歸納前幾項(xiàng)的規(guī)律,明確了新數(shù)列的本質(zhì),從而使問題順利獲解.

2 要準(zhǔn)確應(yīng)用歸納問題的背景

例2給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色,當(dāng)n≤4時(shí),在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相連的著色方案如圖1所示,由此推斷,當(dāng)n＝6時(shí),黑色正方形互不相連的著色方案共有________種,至少有兩個(gè)黑色正方形相連的著色方案共有_________種(結(jié)果用數(shù)值表示).

解析

由已知條件,可得當(dāng)n＝1 時(shí),有2 種著色方案;

圖1

當(dāng)n＝2時(shí),有3種著色方案;

當(dāng)n＝3時(shí),有2＋3＝5種著色方案;

當(dāng)n＝4時(shí),有3＋5＝8種著色方案;

當(dāng)n＝5時(shí),有5＋8＝13種著色方案;

當(dāng)n＝6時(shí),有8＋13＝21種著色方案.

因?yàn)楫?dāng)n＝6時(shí),每個(gè)小正方形有2種著色方案,故共有26＝64種著色方案,黑色正方形互不相連的著色方案有21種,故根據(jù)補(bǔ)集法,可得至少有兩個(gè)黑色正方形相連的著色方案為64－21＝43種.

點(diǎn)評

本題歸納對象的背景源于“斐波那契數(shù)列”,即滿足F1＝F2＝1,Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＝3,4,5,…)的數(shù)列{Fn}.本題可設(shè)符合題目條件的著色的方案種數(shù)為an.

當(dāng)n≥3時(shí),有兩種情況：

1)第1個(gè)正方形著白色,則后面的n－1個(gè)正方形的著色方案數(shù)是an－1;

2)第1個(gè)正方形著黑色,則第2 個(gè)正方形著白色,后面的n－2個(gè)正方形的著色方案數(shù)是an－2,所以a1＝2,a2＝3,an＝an－1＋an－2(n＝3,4,5,…),進(jìn)而得數(shù)列{an}的各項(xiàng)依次是2,3,5,8,13,21,….所以n＝6時(shí),共有21種著色方案.

3 要敏銳識別歸納對象隱藏的關(guān)系

例3按圖2的規(guī)律擺放的圖形中,“圓點(diǎn)”的個(gè)數(shù)分別為1,3,6,10,… 將其記為數(shù)列{an},在數(shù)列{an}中能被5整除的數(shù)按從小到大的順利構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn},則

(1)b2020是{an}中的第________項(xiàng);

(2)b2k－1＝________(用k表示).

圖2

解析

通過歸納上述規(guī)律猜想

所以b2020＝b2×1010＝a5×1010＝a5050,即b2020是數(shù)列{an}中的第5050項(xiàng).

點(diǎn)評

本題求解中先歸納各圖形中“圓點(diǎn)”個(gè)數(shù),猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,再列舉歸納bn與an的關(guān)系,從而將隱含的規(guī)律一一挖掘出來.

4 要對歸納結(jié)論對錯(cuò)進(jìn)行判斷

例4已知數(shù)列{an}(an＞0)的前n項(xiàng)和為Sn,且?n∈N*,有恒成立.

(1)求a1,a2;

(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式,并證明.

解析

(1)當(dāng)n＝1時(shí)因?yàn)閍n＞0,所以a1＝1.

當(dāng)n＝2 時(shí),即a1＋a2＝將a1＝1代入得a2＝2.

(2)當(dāng)n＝3時(shí),a3＝3,故可猜an＝n.

則

同理

因?yàn)閍2－a1＝1,即n≥1時(shí)均有an＋1－an＝1,故{an}是以1 為首項(xiàng),1 為公差的等差數(shù)列.所以an＝n.

點(diǎn)評

歸納猜想得出的結(jié)論正確與否需要進(jìn)行證明,數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的證明方法.需要注意的是有時(shí)歸納推理得出的結(jié)論不一定正確,但我們可以通過對不正確的結(jié)論進(jìn)行調(diào)整,以期得出更合理的猜想.