白雪敏，薛乃濤，趙秀琴

(1.晉中學(xué)院，山西 晉中 030619；2.太原師范學(xué)院，山西 晉中 030619)

0 引言

非定域性是沒(méi)有經(jīng)典與之對(duì)應(yīng)的量子力學(xué)最獨(dú)有的特征之一.糾纏作為非定域性的一個(gè)典型例子，愛(ài)因斯坦、波多爾斯基和羅森都認(rèn)為其是量子信息和量子計(jì)算的基本要素之一[1].一般來(lái)說(shuō),一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)的糾纏態(tài)不能分解為兩個(gè)量子態(tài)的直積狀態(tài).貝爾不等式(BI)的提出為非局部相關(guān)性的定量檢驗(yàn)提供了可能.貝爾不等式(BI)的違反被認(rèn)為是自然界最大的謎團(tuán)之一，量子力學(xué)的研究從根本上改變了我們對(duì)微觀世界的理解[2].近年來(lái)，BI的違背行為在理論上和實(shí)驗(yàn)研究上都引起了廣泛的關(guān)注[3-4].據(jù)報(bào)道，許多有意義的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)了這一點(diǎn).例如，BI的違反與量子力學(xué)預(yù)測(cè)相一致，糾纏的光子、被囚禁的離子和可轉(zhuǎn)換的Josephson量子比特系統(tǒng)等等[5-7].不久之后，研究者把最初的BI形式推廣到各種新的形式[8-9]，其中一個(gè)更廣泛引用的形式是由Clauser-Horne-Shimoni-Holt提出的CHSH不等式.在全同原子的光腔系統(tǒng)的糾纏和CHSH不等式被大量研究[10-11].最近，報(bào)道了一個(gè)利用金剛石中氮空位缺陷做的關(guān)于BI違反的無(wú)環(huán)實(shí)驗(yàn)[12].

盡管如此，目前的研究大多集中在靜態(tài)糾纏的情況下.探索其動(dòng)力學(xué)特性具有重要的意義.對(duì)于不同環(huán)境下雙量子比特系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)的研究成為了熱點(diǎn)問(wèn)題[13-14].在本文中我們研究?jī)蓚€(gè)二能級(jí)原子與同一光腔相互作用系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.在 BI 違背中，我們從量子概率統(tǒng)計(jì)的角度重新推導(dǎo)了與模型相關(guān)的CHSH不等式.并探究了光場(chǎng)對(duì)兩原子之間糾纏度的影響.

在第一節(jié)中，我們介紹了該系統(tǒng)的哈密頓量.在第二節(jié)中，推導(dǎo)出相關(guān)的CHSH不等式.在第三節(jié)，我們介紹了糾纏的相關(guān)定義.在第四節(jié)，我們探討CHSH不等式、糾纏的動(dòng)力學(xué)結(jié)果.最后，我們進(jìn)行了討論和總結(jié).

1 物理模型以及含時(shí)演化密度算符

根據(jù)近期金剛石中含有氮空位缺陷實(shí)驗(yàn)中的貝爾不等式違背的研究[10-12]，在本節(jié),我們研究?jī)蓚€(gè)二能級(jí)原子與同一個(gè)光腔相互作用系統(tǒng)中CHSH違背動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.在旋轉(zhuǎn)波近似下，該系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為H=H0+Hsf，其中

和

(1)

U(t)=

其中S=2a?a+1.

在Fock空間且基矢Λn={|+,+〉|n-1〉,|+,-〉|n〉,|-,+〉|n〉,|-,-〉|n+1〉}下，時(shí)間演化算符也可以寫(xiě)為

(2)

其中，

在這里關(guān)于時(shí)間的函數(shù)C1和C2分別為

在t時(shí)刻的態(tài)密度算符可以運(yùn)用時(shí)間演化算符求出

ρT(t)=U(t)ρT(0)U?(t)

(3)

我們感興趣的是場(chǎng)相互作用對(duì)量子相關(guān)的影響，因此假設(shè)初始態(tài)是一般的雙自旋糾纏態(tài)

|Ψ(0)〉=sinφeiθ|+,-〉|n〉+cosφe-iθ|-,+〉|n〉,

(4)

接下來(lái)，我們把整個(gè)密度算符對(duì)光場(chǎng)求跡ρ(t)=TrfieldρT(t)，可以得到兩量子比特在標(biāo)準(zhǔn)基矢{|+,+〉,|+,-〉,|-,+〉,|-,-〉}下的密度算符矩陣形式

(5)

這里

我們注意到上面的矩陣形式為“X”態(tài)的形式，而且ρ14(t)=ρ41(t)=0，這種形式對(duì)CHSH不等式，以及糾纏的動(dòng)力學(xué)研究都是特別適用的.

2 貝爾不等式的測(cè)量

BI是最早用來(lái)檢測(cè)量子糾纏的判據(jù)之一，是通過(guò)定域性假設(shè)在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而來(lái)的.近年來(lái)，為了方便研究，貝爾不等式被人們擴(kuò)展成各種形式的不等式.我們先考慮一個(gè)具有“X”態(tài)且ρ14(t)=ρ41(t)=0的量子態(tài)，這種情況下其密度算符可以被分成局域和非局域兩個(gè)部分

(6)

這里局域部分可以寫(xiě)為：

(7)

非局域部分可以寫(xiě)為

(8)

糾纏態(tài)的兩個(gè)量子相干分量可以導(dǎo)致貝爾不等式的違背.我們都知道兩個(gè)自旋的貝爾測(cè)量分別沿著任意兩個(gè)方向，例如方向a和b.在這兩個(gè)方向下自旋算子的特征值分別為：

σ·a|±a〉=±|±a〉

和

σ·b|±b〉=±|±b〉，

通過(guò)求解上面的本征方程，我們可以得到對(duì)應(yīng)的本征態(tài)如下：

和

它們通常被稱(chēng)為自旋南、北規(guī)范的相干態(tài).n=a,b是兩個(gè)由極化角度，在這里n=(sinθncosφn,sinθnsinφn,cosθn) 其中，θn和方位角度φn決定的單位矢量.兩個(gè)自旋的測(cè)量輸出結(jié)果可以寫(xiě)成兩個(gè)自旋方向本征態(tài)的四種直積形式：

(9)

兩個(gè)自旋在方向a和方向b的測(cè)量相關(guān)概率結(jié)果根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)平均值得到的

P(a,b)=Tr[(σ·a)(σ·b)ρψ]，

(10)

密度算符測(cè)量結(jié)果相關(guān)概率也可被分為局域部分和非局域部分

P(a,b)=Plc(a,b)+Pnlc(a,b)，

局域部分產(chǎn)生a，b兩個(gè)方向的貝爾關(guān)聯(lián)

Plc(a,b)=(ρ11(t)+ρ44(t)-ρ22(t)-ρ33(t))cosθacosθb

(11)

和

ρtotal(a,b)=mcosθacosθb+nsinθasinθbcosθacosθb,

其中，m=ρ11(t)+ρ44(t)-ρ22(t)-ρ33(t),n=ρ23(t)+ρ32(t).

將這種貝爾關(guān)聯(lián)式子帶入由四個(gè)測(cè)量方向構(gòu)成的量子CHSH關(guān)聯(lián)概率式子中得到

PCHSH=|P(a,b)+P(a,c)+P(b,d)-P(d,c)|

(12)

接下來(lái)，我們回顧一下眾所周知的CHSH不等式.它最初是由CHSH從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中局部性假設(shè)推導(dǎo)出來(lái)的，CHSH不等式適用于任意糾纏態(tài)的測(cè)量.只考慮局部時(shí)，

2|(ρ11(t)+ρ44(t)-ρ22(t)-ρ33(t))|，

(13)

當(dāng)考慮非局部分時(shí)，當(dāng)b⊥c,Φb=Φc,θb=0,θc=π/2,a=-d,P=(0,n/m,1),

(14)

3 糾纏

由文獻(xiàn)[16]定義了瞬時(shí)糾纏并發(fā)度，它是一個(gè)眾所周知兩比特系統(tǒng)的糾纏的度量.

C(t)=max{0,Λ(t)}，

(15)

最大CHSH量子關(guān)聯(lián)與糾纏并發(fā)度進(jìn)行比較，從而建立了CHSH不等式的違背與糾纏的動(dòng)力學(xué)演化.

4 光場(chǎng)相干態(tài)下的量子動(dòng)力學(xué)演化

圖1 量子CHSH概率黑色點(diǎn)虛線與黑色實(shí)線)和糾纏C(t)(圖1-b中黑色虛線)隨綱時(shí)間t/ω的變化規(guī)律其中角度參數(shù)，φ=0或π/2

圖2 量子最大CHSH概率黑色點(diǎn)虛線與黑色實(shí)線)和糾纏C(t)(圖2-b1，圖2-b2,圖2-b3中黑色虛線)隨綱時(shí)間t/ω的變化規(guī)律其中角度參數(shù)φ=π/6，而且θ=π/6(a1,b1)，π/4(a2,b2)，π/2(a3,b3)

圖3 量子最大CHSH概率黑色點(diǎn)虛線與黑色實(shí)線)和糾纏C(t)(圖3-b1，圖3-b2,圖3-b3黑色虛線)隨綱時(shí)間t/ω的變化規(guī)律其中角度參數(shù)φ=π/4，而且θ=π/6(a1,b1)，π/4(a2,b2)，π/2(a3,b3)

5 總結(jié)