孫宇

【摘 要】 相似三角形的應用是初中階段最重要的解題方法，不僅能簡化過程，更能讓學生體會到平面幾何和代數(shù)之間轉化的數(shù)學魅力，因此，相似三角形在應用的過程中會有很多種不同的“變形”，或者說技巧。其中，“1”的代換是近幾年出現(xiàn)的一種比較新的變換技巧，雖然很早就出現(xiàn)，但是理解和運用起來卻是讓大部分同學望而生嘆。無錫中考在2015年和2018年壓軸題中出現(xiàn)了這種類型的轉化。本篇文章就探討一下在相似三角形的解答過程中，出現(xiàn)“1”的代換是怎樣進行轉化的，又是怎樣應用的。

【關鍵詞】 相似三角形;“1”的代換;轉化

一、對“1”的代換的理解

“1”的代換，顧名思義，就是將題設中多余的“1”進行轉化，使其變?yōu)楦雍唵蔚男问交蛘咦兂善渌枰男问?。在進行轉化的時候，我們就必須要理解這樣的“1”是怎樣出現(xiàn)在題設中的。如圖1所示，在相似三角形（平面幾何）中，線段AB上有一點C，因為A、B、C三點共線，則或者是。通過這兩個式子，我們可以清晰地看出，題設中的“1”就是通過三點共線進行一些化簡得到的。因此，要想將“1”轉化，我們通常需要進行的就是移項通分或者分離常數(shù)。

二、經(jīng)典試題的深度分析

例1：如圖2，C為∠AOB的邊OA上一點，OC=6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M。

（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求證：CN⊥OB。

（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形。

①問：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍;如果不變，請說明理由。

②設菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍。

【分析理解】這一題是無錫2015年中考壓軸題。第一問很容易出錯，默認∠CPM=90°而不自知，再通過直角三角函數(shù)等“簡便方法”來證明∠ONC=90°。正確的求解方法是過P點作OC的垂線PE，然后再進行求值，可以輕松解決。對第二問第①題，為了方便理解和計算，設OM=x，ON=y，則=。根據(jù)題設，我們可以很容易得到“A型”相似，即△NPQ∽△NCO，則===1-，而PQ=OQ=OM=x，OC=6，則=1-，等式兩邊同時除以x，就可以得到=。對第②題，由題得=·。如圖3，分別作出輔助線，利用相似比等于高之比，可以得到==1-，則=1-，從而得到=（1-），0

三、綜合分析

根據(jù)兩道典型例題的分析和解答過程，“1”的代換本質就是利用三點共線的關系，我們需要對其合理、巧妙地進行通分或者分離常數(shù)。在相似三角形的綜合性幾何圖形類題型的解答過程中，我們需要抓住“題眼”，對數(shù)據(jù)進行一些必要的處理，才能夠找到一些明晰的思路，從而尋求到突破口。在解答綜合性問題的過程中，要對數(shù)學思想方法進行激活與運用，不能過于關注“述”，而輕視“法”、忽略“道”，要理解題目中的本質結構，這樣才能真正做到一通而百通。

【參考文獻】

[1]董磊.數(shù)學思想方法的價值和意義[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2018（10）：46-48.

[2]包麗鷗.解法對比重在求“深”求“透”[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2018（6）：37.