張享發(fā) 粟麗妮

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱高中數學課標）提出，高中數學教學目標的制定要突出學科核心素養(yǎng)導向，建議教師關注學科核心素養(yǎng)目標在教學中的可實現(xiàn)性，研究其融入教學內容和過程的具體方式和載體，注重創(chuàng)設合適的情境，結合現(xiàn)實生活對教材內容進行整合，在課堂中給學生提供富有挑戰(zhàn)性的學習內容，幫助學生在自主探索、動手實踐和合作交流中獲得學科核心素養(yǎng)的提升.數學建模作為數學學科六大核心素養(yǎng)之一，是對現(xiàn)實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).在課堂教學中培養(yǎng)學生的數學建模素養(yǎng)，需要讓學生親身體驗“在實際情境中從數學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題”的全過程.

近年來，“互聯(lián)網+”對數學教育產生了廣泛、深刻的影響，唐劍嵐教授所提出的實驗創(chuàng)課，指的是在課堂教學中借助信息技術、實物教具等實驗工具創(chuàng)設數學課程，簡稱實驗創(chuàng)課[1].我們借助唐教授的實驗創(chuàng)課思維，提出了“以問題為導向、以實驗為抓手、以解惑為目標”的三大教學原則，倡導教師遵循創(chuàng)課導學“問題—實驗—解惑”三步教學法：通過創(chuàng)設現(xiàn)實生活情境，引導學生從數學的視角去發(fā)現(xiàn)和提出問題，相機開展實驗探究，最終解決問題.顯而易見，創(chuàng)課導學的教學方法和數學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)存在著極高的契合度.

人教版高中數學必修3《均勻隨機數的產生》一課教學內容中涉及的數學方法是隨機模擬方法，數學思想是從特殊到一般、近似逼近和算法思想;學習重點是設計模型并運用隨機模擬方法估計未知量，難點是如何把未知量的估計問題轉化為隨機模擬問題.下面筆者以該課教學為例，談談如何基于數學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)實施創(chuàng)課導學.

一、在實際情景中發(fā)現(xiàn)問題，從數學的角度提出問題

數學建模是集理解問題、提出問題、分析問題、解決問題于一身的綜合素養(yǎng)，因此，基于數學建模的創(chuàng)課導學，第一要務是培養(yǎng)學生理解問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.在本課開課伊始，教師用談話法導入，與學生展開了下面的對話.

師：我們正處在信息化時代，誰能舉例說說大數據如何影響自己的生活？

生：在淘寶網購物時，該網站會給我們推送很多類似自己瀏覽過的商品信息;在微博上瀏覽文章，也會被推送很多類似的文章信息.

師：看來，大數據對我們的影響，不僅在于它的信息量大，更在于它所重塑的后信息環(huán)境.一個大規(guī)模生產、分享和應用數據的時代已經到來.（播放《幾何概型與大數據》微視頻，然后課件呈現(xiàn)“問題一”）

問題一：大數據為什么能如此精準地影響我們的生活？里面隱含了怎樣的原理？

生：比如通過計算汽車擁堵時段的時間概率值以及擁堵路段的長度概率值，可以優(yōu)化紅綠燈的設置，讓紅綠燈根據路況變化自行做出時間上的調整.里面隱含了幾何概型、統(tǒng)計概率的原理.

師：前面我們學習了利用計算機或計算器模擬實驗產生整數值隨機數來估算古典概型的概率.那么對于幾何概型，我們是否也能用同樣的方法來處理呢？請大家根據之前所學整數值隨機數產生的方法，分別用計算器和計算機進行模擬實驗，生成[0，1]的均勻隨機數.（課件呈現(xiàn)“問題二”）

問題二：能否根據整數值隨機數的產生方法，模擬產生[0，1]的均勻隨機數？

學生分別按照課件指示的方法操作試驗.部分學生用計算器模擬實驗，依次按[SHIFT][RAN#][=]，再反復按[=].部分學生用計算機Excel表格模擬實驗，在空格中輸入函數“=rand（ ）”，按回車，產生一個隨機數;通過復制、粘貼上面輸入的內容，則可以產生多個隨機數.

以上教學過程，“問題一”體現(xiàn)了在現(xiàn)實生活情景中理解問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，借助案例進行創(chuàng)課的思想，旨在讓學生領悟幾何概型的價值，激發(fā)進一步學習的熱情;“問題二”體現(xiàn)了從復習舊知中提出問題，借助計算器、計算機等實驗工具，在實踐中拓展應用均勻隨機數產生的方法，增強學習信心.讓學生類比“整數值隨機數的產生”操作[0，1]均勻隨機數的產生實驗，既明確了本課的實驗工具，又強化了實驗操作要領，為后面的實驗探究做好了準備.該教學流程初步體現(xiàn)了問題導向、實驗導學、旨在解惑的創(chuàng)課導學理念.

二、用變量思維確定參數，用建模思想模擬實驗

為了培養(yǎng)學生的數學建模能力，教師需要在教學過程中設置相應的建模活動.基于數學建模的創(chuàng)課導學，重視建模活動中的問題導向、實驗平臺創(chuàng)設、實驗探究過程展開以及結論分析.也就是說，創(chuàng)課導學既重視在實驗前對學生進行變量思維和建模思想的啟發(fā)引導，也重視在實驗中對學生加強動手能力培養(yǎng)，在實驗完成后還要引導學生對實驗結果進行合理性分析評價.

（一）均勻隨機數的原理

從區(qū)間[0，1]產生均勻隨機數變換為在區(qū)間[[a，][b]]上產生均勻隨機數，這已經涉及線性變換的問題，是學生理解上的第一個難點，而用幾何概型估計隨機事件的概率是學生理解上的第二個難點，也是本課的學習重點.數學課堂教學中，突出重點、突破難點的基本方法是問題導向、實驗導學.

師：如果用[x]表示[0，1]上的均勻隨機數，如何用式子表示[2，5]上的均勻隨機數？（學生靜默、思考，可以看出，對于區(qū)間的平移、伸長，學生不出所料出現(xiàn)了理解上的困難）大家能看出這里的區(qū)間長度、區(qū)間起點嗎？

生：從區(qū)間起點及長度來看，應該先向右平移2個單位，再向右伸長3個單位.

師：怎樣才能做到只向右伸長3個單位或5個單位呢？大家動手畫一畫、想一想，伸長的時候區(qū)間的長度、區(qū)間的起點如何變化？

生：伸長必須是左右兩邊同時變化，做不到只向右伸長3個單位或5個單位，所以我是先伸長3倍，再向右平移2個單位.

師：如果用[x]表示[0，1]的均勻隨機數，你能用式子表示區(qū)間[2，5]上的隨機數嗎？

生：如果[x]是[0，1]的均勻隨機數，那么[2+3x]就是區(qū)間[2，5]上的均勻隨機數.

師：很好！下面請同學們在計算器或PAD上進行模擬試驗，產生5個[0，3]，5個[2，5]上的均勻隨機數，并記錄在學案上.

學生自主操作實驗.教師在巡視時重點觀察學生兩個方面的表現(xiàn)：第一，區(qū)間伸長3倍及伸長3倍再整體平移2個單位的數學表達是否正確;第二，使用實驗工具進行實驗操作是否規(guī)范、記錄實驗數據是否準確.觀察到學生都能正確表達、準確操作后，課堂進入下一個問題解決過程.

師：我們將問題一般化，（課件出示“問題三”）要產生任意指定區(qū)間[[a]，[b]]上的均勻隨機數，我們該如何變換呢？

問題三：如何產生區(qū)間[[a]，[b]]上的均勻隨機數？

生：先伸長[b-a]個單位，再平移[a]個單位;[x]是區(qū)間[0，1]上的均勻隨機數，[a+（b-a）x]為區(qū)間[[a]，[b]]上的均勻隨機數.

師：很好！在均勻隨機數方面，大家已經完成了由特殊到一般的學習歷程.這樣我們就可以在區(qū)間[0，1]的基礎上，學會產生任意區(qū)間上的均勻隨機數，只需關注區(qū)間的長度和起點就可以進行任意區(qū)間的變換了.（師課件呈現(xiàn)本環(huán)節(jié)分析理解過程，如圖1）

數學學習的過程，是一個從特殊到一般、從具體到抽象的思維發(fā)展過程.學生經歷了以上學習過程之后，對“區(qū)間[[a，b]]上的隨機數”不再存在理解上的困難.

（二）均勻隨機數的應用

從幾何概型的實際運用到感悟隨機模擬實驗中的概率思想，這些教學過程可以讓學生體會到新知其實是舊知的自然延伸，并可從中得到思想方法的涵育.

1.用一維長度型幾何概型，初步培育學生的建模思想

師課件出示“例1”，帶領學生先后展開以下探究活動：用幾何概型公式求出答案的精確值;在Excel表格中，用隨機模擬方法得出答案的估計值;總結用頻率估計概率的步驟.

例1：取一根長度為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷.那么，剪得兩段的長都不小于1米的概率有多大？

很顯然，例1是一個一維長度型幾何概型問題.為了幫助學生厘清相關概念，教師先進行了演示操作（如圖2），緊接著與學生展開了如下對話.

師：大家先想一想，這是一個什么概型？概率是多少？

生：這是一個幾何概型.把繩子分成三等分，當剪刀落在AB段時則滿足題意，概率為1/3.

師：這位同學幫我們找到了事件A即“剪得兩段的長都不小于1米”發(fā)生的條件，并確定了它是幾何概型.有沒有同學能更詳細地說一說，它為什么是幾何概型？

生：剪刀落在哪里都是等可能發(fā)生的，且結果有無限多個，這符合幾何概型的特征.

師：抓住了幾何概型的等可能性和無限性，很好！只有確定了概型的種類，才能準確地求出概率的值.我們知道，無論是古典概型，還是幾何概型，都是基于操作試驗提煉而來的.雖然通過大量重復試驗可以求出頻率，但大量重復試驗會消耗大量的時間和人力.今天，我們站在前人的肩膀上，可以借助計算器或計算機進行模擬試驗，只不過，我們需要為機器設計一個基本的試驗方案.為此，我們需要把試驗結果和隨機數一一對應，完成以下思考.（課件出示“思考一”）

思考一：①變量的范圍是多少？②如何通過計算機產生變量？③事件A發(fā)生的條件是什么？如何用數學語言表示？④如何統(tǒng)計事件發(fā)生的頻數？如何計算頻率？

學生在紙上寫寫畫畫.教師巡視并啟發(fā)學生思考，之后呈現(xiàn)分析過程及相關操作（如圖3）;學生在PAD上操作，試驗產生多個均勻隨機數.之后是課堂分享各組試驗結果（略），展開數學對話.

師：可以看出，各組算出來的頻率不盡相同，和我們用幾何概型公式計算出來的概率也不完全一樣.誰來說一說為什么會有這樣的結果？

生：我們每一組試驗的次數不一樣.

師：雖然試驗次數不同，結果也不盡相同，但和1/3都很接近.我們通過大量試驗計算出來的是頻率，這個值與試驗次數有關.這就是隨機模擬的思想——用頻率近似概率.

以上教學，先引導學生厘清概型種類，運用之前所學幾何概型公式求出概率的精確值，再參考整數值隨機數在模擬試驗中的運用，利用Excel表格的隨機數函數功能，用隨機模擬方法得出答案的估計值，最后將兩種方法進行比對，讓學生體會用幾何概型估計隨機事件的概率思想.

2.用二維面積型幾何概型，進一步發(fā)展學生的數學思維能力和利用模型解決問題的能力

師課件出示“例2”，將知識的應用引向縱深;課件出示“思考二”，啟發(fā)學生自主思考，為分組展開實驗設計做準備.

例2：假設你家訂了一份報紙，郵遞員可能在早上6：30至7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00至8：00之間，請問你父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？

思考二：①為了表示時間，我們需要產生幾組均勻隨機數，范圍是什么？②事件A發(fā)生的條件是什么？如何用數學語言表示？③如何統(tǒng)計事件A發(fā)生的頻數？如何計算頻率？

接下來，師生圍繞關鍵問題展開課堂對話.

師：為了表示時間，我們需要產生幾組變量？

生：需要兩組變量[x]和[y]，分別代表郵遞員送報到家時間和父親離家時間，且兩個時間都是隨機的，在相應時間區(qū)間上是等可能發(fā)生的，有無限多種可能.因此，我們可以通過產生兩組均勻隨機數來表示.

師：這兩組變量的取值范圍呢？

生：[x]∈[6.5，7.5]，[y]∈[7，8].

師：6：30至7：30為什么表示成[6.5，7.5]？

生：把一個小時記作1，三十分鐘則是0.5.

師：事件A發(fā)生的條件是什么？

生：只要報紙在父親離家前送到，事件A就能發(fā)生.

師：事件A發(fā)生的條件如何用數學語言表示？

生：[x]<[y].

在確認學生數學思考基本對路之后，教師安排了如下探究活動：①弄清楚“思考二”中的3個問題后，初步設計例2中的隨機模擬試驗方案;②分組討論，在學案上填寫Excel表格中的具體內容;③以小組為單位展示本組表格設計，并解釋每個空格中填寫的內容.

學生分組進行探究活動，教師巡視指導;課堂展示某一個小組的表格設計，并通過課件呈現(xiàn)例2的分析過程及計算機模擬實驗設計方案（如圖4），隨后安排學生分組完成Excel表格實踐操作及試驗結果匯報.

經過多輪次的操作練習，學生對計算機模擬試驗操作已經駕輕就熟，雖各組試驗結果不同但頻率近似，于是教師課件出示“思考三”，并進行了改變實驗次數的演示試驗（如圖5、圖6），提醒學生注意觀察圖5和圖6中頻率穩(wěn)定的范圍，感受試驗次數越多、概率估計越準確的原理.

思考三：①為什么每組得出來的頻率值不一樣？②利用隨機模擬法得到的結果是精確值還是近似值？③利用隨機模擬法估計幾何概型的概率所蘊含的統(tǒng)計思想是什么？

圖5重點觀察頻率及散點分布.圖6是把試驗次數設為橫軸、事件A發(fā)生的頻率設為縱軸后形成的一個折線圖，是隨機取出的一個拆線圖，從中可發(fā)現(xiàn)，試驗次數越多，頻率越會穩(wěn)定在0.87～0.88之間.綜合圖5和圖6的觀察結果，最終可以確定，取常數0.873作為試驗結果相對近似.

以上教學過程，繼續(xù)踐行問題導向、實驗導學、旨在解惑的教學原則，成功強化了學習重點：教師通過引導學生思考、設計、操作隨機模擬試驗，讓學生進一步感受建模思想在幾何概型隨機模擬試驗中的應用價值;學生通過演示實驗，逐漸明白了一個道理——在隨機模擬試驗中，要使估計值更精確，如精確到“最后取常數0.873作為試驗的結果”，需要在模擬試驗中通過不斷重復操作試驗產生更多的隨機數，并根據隨機數進行頻數統(tǒng)計，但是，這當中的數據運算量相當大，操作過程也會十分煩瑣.

三、用量化思想計算求解，借檢驗結果梳理思路

數學建模能力的培養(yǎng)還需要在試驗活動結束以后，運用相關計算原理來驗證模擬試驗結果的合理性;運用計算方法驗證模擬試驗的可行性，是本課學習的第二個難點.本教學環(huán)節(jié)實際是上一個教學環(huán)節(jié)的延伸，仍然圍繞例2展開.師課件出示“問題四”，引導學生圍繞該問題展開相關的計算和驗證活動.

問題四：在“例2”中，如何用幾何概型的計算公式求出答案的精確值？

運用幾何概型理論求概率，旨在培育學生將實際問題轉化為數學模型的數學建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學生量化計算、數形結合的答題能力.

為問題求解的過程，大致包括以下三步.

第一步，確定一方的時間，明確事件發(fā)生的條件.若父親離家時間確定為7：20，則郵遞員送報時間為6：30至7：20即可;若郵遞員送報時間確定為7：15，則父親離家時間為7：15至8：00即可.而事件A發(fā)生的條件是送報時間≤離家時間.于是，師課件演示模擬試驗的過程并呈現(xiàn)試驗的結果（如圖7）.

第二步，兩個時間均隨機，確定概率模型.運用幾何畫板演示：分離父親離家和郵遞員送報兩個時間軸，幾何畫板動態(tài)分析事件結果構成的方形區(qū)域（如圖8），確定問題為面積型幾何概型.

第三步，設量建系，量化面積，計算概率.引導學生通過建立直角坐標系來解決問題（如圖9），最后師生一起完成量化計算，得到準確概率.設郵遞員送報時間為[x]，爸爸離家時間為[y]，則爸爸離家前取得報紙，只需送報時間早于離家時間，即[6.5≤x≤7.5，7≤y≤8]，[y≥x]，于是[P（A）=SASΩ=1-12×12×121×1=78].

求解結束，師生展開了如下對話.

師：將試驗得到的散點圖和估計的概率，與理論畫出的示意圖和計算的概率相對比，會發(fā)現(xiàn)結果是驚人的相似.隨機模擬試驗的思想是什么？

生：頻率概率.

師：哪位同學來說一說用計算方法得出的概率與通過隨機模擬試驗方法得出的概率的關系？

生：通過隨機模擬試驗計算出來的是頻率，即概率的近似估計值.通過幾何概型計算公式計算得出的，則是概率的準確值.隨機模擬試驗的次數足夠多時，這兩個結果會非常接近，隨機模擬試驗的結果才更加可靠.

接下來是師生互動：教師以問題串的提問方式，引導學生歸納總結設計隨機模擬試驗時需要考慮的主要問題，厘清設計試驗的基本思路;最后課件呈現(xiàn)思路圖示（如圖10）.

均勻隨機數的應用教學，呈現(xiàn)了一個學習難度逐漸上升的過程.隨機參數從一維上升到二維，難度加大，教師借助簡單的線性規(guī)劃原理，引導學生采用數形結合的方法確定可行區(qū)域，進而計算相應區(qū)域的面積，再運用幾何概型的公式計算出準確的概率，從而驗證了模擬試驗的合理性.學生最終明白“用計算方法得出的概率與通過隨機模擬方法得出的概率，當隨機模擬試驗的次數足夠多時，這兩個結果會非常接近，結果才更加可靠”，達成了學生對隨機模擬方法的深刻理解，實現(xiàn)了問題導向、實驗導學的“解惑”目標.

基于數學建模的創(chuàng)課導學，旨在將教學實施過程從知識技能立意轉向核心素養(yǎng)立意.與傳統(tǒng)的教學方法相比，以“問題導向、實驗導學”為基本理念的創(chuàng)課導學，聚焦學生數學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，更能引導學生思考、探索數學與現(xiàn)實之間的關聯(lián)，積累用數學模型解決實際問題的經驗，從而加深對數學內容的理解，增強創(chuàng)新意識和數學知識應用能力.但是，創(chuàng)課導學對教師提煉教材核心問題的能力、組織開展課堂實驗的能力要求都比較高，對學生理解能力、動手能力以及課堂實驗工具的選擇等也都有不低的要求，因此，在創(chuàng)課導學初始階段，教師不可操之過急，需準確把握教材內容，精心設計核心問題，如此方能在課堂教學中創(chuàng)設與學生能力相適應的實驗平臺，引導學生通過實驗探究、合作探究最終解決問題，讓創(chuàng)課導學的課堂真正成為培養(yǎng)學生數學建模素養(yǎng)的課堂.

參考文獻：

[l]唐劍嵐.“魚漁欲”三位一體優(yōu)化教學的理念與策略——以“三角形的內角”課例片段分析為例[J].基礎教育研究，2015（9）.

[2]黃一娉，黃夢遠，唐劍嵐.基于5E學習環(huán)和H P工具的數學實驗創(chuàng)課設計——以“函數圖象平移變換”的教學為例[J].中小學課堂教學研究，2017（6）.

注：本文系廣西教育科學“十三五”規(guī)劃A類課題“e-數學實驗室環(huán)境下高中數學課堂教學創(chuàng)新策略研究”（立項編號：2017A010）的階段研究成果.

（責編 白聰敏）