王勝曼，唐宇恒

(1.保定理工學院，河北 保定 071000； 2.河北省地礦局第一地質(zhì)大隊，河北 邯鄲 056000 )

0 引 言

對于齒輪傳動系統(tǒng)，在剛性機械系統(tǒng)的動力學分析中，假設所有構(gòu)件都是剛體。但是隨著機械運動速度的提高，機械本身重量的減輕和機械工作精度的提高，構(gòu)件本身的彈性變形成為不可忽略的因素。構(gòu)件的彈性可以引起運動配合關系失調(diào)、降低運動精度、產(chǎn)生機械振動和機件疲勞損壞。在齒輪傳動系統(tǒng)中當傳動軸的長度比較大時，由于軸的彈性變形在機械起動、停車或載荷變化時會出現(xiàn)同一軸上零件運動的不同步或振動現(xiàn)象，從而影響機械的正常工作。因此整個齒輪傳動系統(tǒng)的彈性問題在運行中產(chǎn)生的振動和精度問題是機械系統(tǒng)動力學研究的重點問題。

為了保證變速箱齒輪傳動系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)精度減少振動，近年來不少學者針對此問題展開了機械系統(tǒng)動力學研究。一些學者利用不同的軟件或者實驗方法對其變速箱箱體進行了自由模態(tài)或約束模態(tài)的動力學仿真，其目的是為了改進箱體的結(jié)構(gòu)設計以便減輕振動[1-7]。還有一些學者把齒輪傳動系統(tǒng)中的一對齒輪嚙合作為研究對象，利用ANSYS或其他軟件進行模態(tài)分析，其目的是改善齒輪傳動產(chǎn)生的振動和噪聲[8-10]。還有一些學者把齒輪傳動及變速箱殼體裝配在一起作為研究對象，進行整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，從而提出改進箱體整體結(jié)構(gòu)的建議，以便減輕機械傳動系統(tǒng)的振動問題[11]。以上這些研究只限于齒輪傳動系統(tǒng)的部分構(gòu)件的研究，只分析了部分構(gòu)件的振動特性，沒有對整個齒輪傳動系統(tǒng)進行研究。

馮宇晨,陳艷鋒撰寫的行星齒輪傳動系統(tǒng)接觸模態(tài)分析一文中，作者對行星齒輪傳動進行了自由模態(tài)和約束條件下兩種模態(tài)仿真分析，獲得了行星齒輪系統(tǒng)相應的固有頻率和振型[12]。樊智敏撰寫的帶式嚙合介質(zhì)齒輪傳動的模態(tài)分析一文中，把普通漸開線齒輪傳動系統(tǒng)和帶式嚙合介質(zhì)齒輪傳動作為研究對象進行模態(tài)分析，并對比了兩種仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)改變介質(zhì)帶的彈性模量、泊松比、厚度等可以改變系統(tǒng)的振型[13]。基于Abaquas的齒輪傳動系統(tǒng)模態(tài)分析一文中，將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行離散，使無限自由度問題簡化成多自由度問題。建立了多自由度系統(tǒng)振動的運動微分方程，并利用利用Abaquas軟件對變速箱進行了模態(tài)分析[14]。以上研究中研究者大都基于剛性機械系統(tǒng)多自由度動力學理論，采用了不同的研究工具，針對齒輪傳動系統(tǒng)進行機械系統(tǒng)動力學分析，得出來系統(tǒng)的模態(tài)振型。但是對于齒輪傳動系統(tǒng)中把軸類構(gòu)件看作彈性構(gòu)件進行扭轉(zhuǎn)動力學系統(tǒng)分析的較少。

1 研究理論基礎

1.1 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)等效力學模型

對于由N個軸組成的多級串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)，利用拉格朗日方程可以簡化成一單軸系統(tǒng)。

(1) 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)原始參數(shù)

如圖1所示，已知J1,J2,J2′,J3,J3′,J4分別為轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量，θ1,θ2,θ2′,θ3,θ3′,θ4分別為轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角，K1,K2,K3分別為軸的剛度系數(shù)。

圖1 傳動系統(tǒng)簡化力學模型

對于等截面軸，轉(zhuǎn)角θ、剛度系數(shù)K可以采用材料力學中的計算公式進行計算求解。

式中：T為軸的扭矩；L為軸的長度；d為軸的直徑；G為剪切模量；I為極慣性矩[15]。

(2)串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)廣義坐標

6.牛流行熱。急性死亡多因窒息所致。剖檢可見氣管和支氣管黏膜充血和點狀出血，黏膜腫脹，氣管內(nèi)充滿大量泡沫粘液。

根據(jù)圖1(a)所示，θ2和θ2′,θ3和θ3′之間有確定的速比關系：

θ2′=i2′2θ2=i31θ1

θ3′=i3′3θ3=i43θ3

因此θ1,θ2,θ3,θ4相互獨立為廣義坐標，系統(tǒng)的自由度為4。

1.2 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)動力學方程

采用拉格朗日方程來建立系統(tǒng)的動力學方程。具有完整理想約束的有N個廣義坐標系統(tǒng)的拉格朗日方程的形式是：

(1)

式中：E為系統(tǒng)動能；U為系統(tǒng)的勢能；qr為第r個廣義坐標；Fr為第r個廣義坐標的廣義力[16]。

系統(tǒng)的動能：

E對個參數(shù)求偏導數(shù)得：

(2)

系統(tǒng)的勢能：

勢能U對各參數(shù)求偏導數(shù)得：

=-i2′2K2θ2+(K2+K3i3′3)θ3-i3′3K3θ4

(3)

將公式(2)和公式(3)帶入公式(1)中可得：

i3′3K3θ4=0

(4)

對公式(4)廣義坐標進行變換，并進行參數(shù)替換得：

(5)

公式(5)為無外力時的動力學方程，圖1(a)和(c)兩個系統(tǒng)具有相同的動能和勢能。

2 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)三維模型的建立

2.1 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)各構(gòu)件的參數(shù)

如圖1(a)所示，串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)由帶輪1、齒輪2、齒輪3、齒輪4、齒輪5、滾筒和軸1、軸2、軸3組成。各構(gòu)件的原始參數(shù)見表1、表2所列。

表1 各輪參數(shù)表

表2 各軸參數(shù)

2.2 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)各構(gòu)件材料特性

為了便于分析，串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)各構(gòu)件均采用優(yōu)質(zhì)碳素鋼45，45號鋼為中碳鋼，含碳量為0.45%，一般用于比較重要的機械零部件的材料。見表3所列。

表3 構(gòu)件材料特性

2.3 模型的建立和網(wǎng)格的劃分

在建模環(huán)境下利用UGNX軟件，建立串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)各構(gòu)件的三維模型。模型完成后在裝配環(huán)境下，利用接觸、對齊、距離、平行等約束等命令，對串聯(lián)齒輪系統(tǒng)各構(gòu)件進行約束。帶輪與軸1、齒輪2與軸1、齒輪3與軸2、齒輪4與軸軸2、齒輪5與軸3、滾輪與軸3之間的裝配采用接觸與對齊進行約束；齒輪2與齒輪3、齒輪4與齒輪之間采用接觸、對其、中心距離進行約束，從而完成串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)的裝配工作。在高級仿真環(huán)境下，利用NX NASTRAN求解器進行求解。NX NASTRAN求解器模態(tài)分析用于計算和評估結(jié)構(gòu)的固有頻率和自然模態(tài)即陣型分析，計算時不考慮阻尼，和外載荷也不相關。它提供了跟蹤法、變換法和蘭索士法3種數(shù)值解算方法。設置各構(gòu)件材料屬性，并指派對應材料。創(chuàng)建物理屬性為PSOLID1，網(wǎng)格收集器為SOLID1，單元屬性CTETRA10四面體網(wǎng)格。采用自由網(wǎng)格劃分，單元大小為11.5 mm，單元總數(shù)為71 574個。有限元模型如圖1所示，仿真模型如圖2所示。

圖2 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)三維裝配模型 圖3 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)有限元模型

3 仿真結(jié)果

文中分別對齒輪串聯(lián)傳動系統(tǒng)，采取自由模態(tài)進行計算和約束模態(tài)進行計算。自由模態(tài)仿真對象類型分別采用面對面粘接和面對面接觸兩種方案進行仿真計算。

3.1 串聯(lián)齒輪傳動自由模態(tài)計算結(jié)果

解算方案類型為SEMODES-103，子工況特征值法。特征值方法采用Lanczos法，所需數(shù)據(jù)模態(tài)數(shù)設置為14。仿真對象類型為面對面粘接，搜索距離為1mm，共創(chuàng)建17個面對。在無約束下狀態(tài)下進行模態(tài)仿真。在[后處理導航器]窗口中，可以發(fā)現(xiàn)仿真計算結(jié)果的前6階模態(tài)非常接近零，因為本次計算的是齒輪系統(tǒng)的自由模態(tài)，放開了6個自由度，在6個自由度方向中出現(xiàn)了剛體位移。仿真結(jié)果如表4和表5所列，串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)非零后8階模態(tài)見圖4所示。

表4 非零后6階模態(tài)頻率及振型

表5 非零后6階模態(tài)頻率及最大應力

圖4 串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)非零后8階模態(tài)

從以上仿真數(shù)據(jù)可以看出，軸1、軸2、軸3的剛度嚴重不足，在各階振型下發(fā)生了較大變形，且在各軸端部應力最大。如果激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率接近時發(fā)生共振，各軸將是最薄弱環(huán)節(jié)。同時各軸的較大變形，將嚴重影響系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)精度。因此在軸的端部施加支座或增加質(zhì)量，將改善軸的振型，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.2 串聯(lián)齒輪傳動等效模型模態(tài)計算結(jié)果

根據(jù)等效模型力學公式進行計算各軸的等效剛度和各輪的等效轉(zhuǎn)動慣量，并將等效剛度進行逆運算，在各軸長度不變的情況下，等效為各軸的直徑尺寸(見表6所示)。將等效轉(zhuǎn)動慣量按照逆運算，在各輪寬度尺寸不變得情況下，等效為各輪的直徑。(見表7所示)根據(jù)表6和表7中的尺寸，在UG建模環(huán)境下進行三維模型的建立并完成裝配。在高級仿真環(huán)境中，設置各構(gòu)件材料屬性，材料同上，并指派對應材料。創(chuàng)建物理屬性為PSOLID1，網(wǎng)格收集器為SOLID1，單元屬性CTETRA10四面體網(wǎng)格。采用自由網(wǎng)格劃分，單元大小為19.8 mm。解算方案類型為SEMODES-103，子工況特征值法。特征值方法采用Lanczos法，所需數(shù)據(jù)模態(tài)數(shù)設置為12。仿真對象類型為面對面接觸，搜索距離為1 mm，共創(chuàng)建10個面對。在無約束下狀態(tài)下進行模態(tài)仿真。在[后處理導航器]窗口中，查看非零后6階模態(tài)頻率及振型，見圖6所示。仿真結(jié)果見表8和表9所列。

表6 等效模型各軸參數(shù)

表7 等效模型各輪參數(shù)

表8 兩種模型非零后6階自由模態(tài)頻率、最大變形量及最大應力數(shù)值表

圖5 兩模型前6階振動頻率

圖6 兩模型前6階最大變形量

通過表8中的數(shù)據(jù)可以得出，原模型自由模態(tài)數(shù)據(jù)和等效模型自由模態(tài)數(shù)據(jù)在非零后前2階振型頻率非常接近。原模型第7階模態(tài)頻率為67.97 Hz，等效模型第7階模態(tài)頻率為67.89 Hz。原模型第8階模態(tài)頻率為67.34 Hz，等效模型第8階模態(tài)頻率為67.89 Hz。這兩階自由模態(tài)數(shù)據(jù)與研究理論相符。從第9階開始，原模型模態(tài)頻率與等效模型模態(tài)頻率，開始出現(xiàn)差異。第12階原模型模態(tài)頻率遠遠低于等效模型模態(tài)頻率，仿真結(jié)果與研究理論出現(xiàn)偏差。

4 分析與討論

在進行串聯(lián)齒輪傳動動力學理論研究時，對系統(tǒng)進行了簡化。

(1) 系統(tǒng)忽略了軸的質(zhì)量，將軸看看成無質(zhì)量的扭簧。實際中軸的幾何尺寸越大，軸的質(zhì)量也越大，軸的轉(zhuǎn)動慣量也越大。因軸的質(zhì)量被忽略，因此對振型產(chǎn)生了影響，影響了計算精度。

(2) 系統(tǒng)模型認為支撐是剛性的，不考慮軸的彎曲變形和縱向變形。本文進行了串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)的自由模態(tài)分析，沒有對各構(gòu)件進行約束限制，因此在仿真的過程中，軸的彎曲變形或縱向變形對仿真結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響。

(3) 系統(tǒng)模型忽略了傳動機構(gòu)內(nèi)部的彈性，將各軸之間的傳動比看作常數(shù)。實際中齒輪之間的嚙合傳動，在嚙合面上因齒面受力作用，會發(fā)生一定范圍內(nèi)的彈性變形。在系統(tǒng)簡化中將其看作剛體，實際仿真結(jié)果與研究理論有一定的差距。

5 結(jié) 論

本文首先利用拉格朗日方程對對串聯(lián)齒輪傳動系統(tǒng)進行了機械系統(tǒng)動力學模型的建立和理論計算，并將其原模型轉(zhuǎn)化為等效系統(tǒng)模型。為了驗證理論的正確性，筆者利用UGNX軟件對其原模型和三維模型分別建模并裝配，在高級仿真環(huán)境下進行仿真運算。并將兩者結(jié)果進行比較，發(fā)現(xiàn)非零后前2階即第7階和第8階兩者自由模態(tài)振型和頻率一致，符合研究理論。后四階兩者振型頻率有一定的誤差。此研究結(jié)論為齒輪傳動系統(tǒng)振動分析與研究提供了理論參考。