梁 勇，張友安，趙賀偉

(1. 海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院, 煙臺(tái) 264001; 2. 煙臺(tái)南山學(xué)院電氣與電子工程系, 煙臺(tái) 265713)

0 引言

隨著戰(zhàn)場目標(biāo)對(duì)抗手段日益多樣，對(duì)導(dǎo)彈的攻擊要求也逐步增多。導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時(shí)，不僅希望獲得最小脫靶量，還往往希望命中目標(biāo)時(shí)導(dǎo)彈姿態(tài)最佳，以使戰(zhàn)斗部發(fā)揮最大效能，取得最佳毀傷效果。在末制導(dǎo)約束中，通過線性二次最優(yōu)控制理論可以得到滿足落角和脫靶量約束的最優(yōu)制導(dǎo)律[1-4]。針對(duì)這一問題，不少文獻(xiàn)開展了相關(guān)研究[5-7]。針對(duì)垂直平面內(nèi)的再入飛行器，文獻(xiàn)[1]提出了一種控制落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[2]提出了一種帶落角約束的能量最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[3]提出了考慮終端速度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，并且可以將速度約束直接轉(zhuǎn)變成終端落角約束；文獻(xiàn)[4]針對(duì)以不同的速度打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的情況研究了帶落角控制的制導(dǎo)律，將該制導(dǎo)律與彈上預(yù)測目標(biāo)位置跟蹤器結(jié)合在一起；文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]針對(duì)任意階常速導(dǎo)彈系統(tǒng)，得到了基于能量最優(yōu)、落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律的廣義形式；文獻(xiàn)[7]通過考慮與文獻(xiàn)[2]一樣的代價(jià)函數(shù)得到了一種最優(yōu)制導(dǎo)律，并假設(shè)當(dāng)前的加速度命令為剩余時(shí)間的線性形式，將零脫靶量和終端速度誤差作為狀態(tài)變量，通過將終端速度矯正到落角方向可以得到期望的終端落角;文獻(xiàn)[8]針對(duì)落角和終端速度約束提出了最優(yōu)制導(dǎo)律。上述制導(dǎo)律都是基于最優(yōu)控制理論得到的，而文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]在比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上添加了控制落角約束的一個(gè)時(shí)變偏置項(xiàng)。對(duì)于靜止目標(biāo)，文獻(xiàn)[11]的圓軌跡制導(dǎo)是偏置比例導(dǎo)引的另外一種形式，該制導(dǎo)律的主要思想是將導(dǎo)彈導(dǎo)引在導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的橢圓軌道上。盡管當(dāng)N=3時(shí)比例導(dǎo)引律情況下能量是最優(yōu)的，但是考慮初始位置或者角度存在誤差、目標(biāo)機(jī)動(dòng)等外界干擾和不確定性的情況，在實(shí)際中N>3的情況是被應(yīng)用于導(dǎo)彈系統(tǒng)中的[12]。注意到比例導(dǎo)引律的制導(dǎo)增益是和導(dǎo)彈和目標(biāo)的能量比例相關(guān)的[13]。其他關(guān)于制導(dǎo)增益的解釋可以參考文獻(xiàn)[14]。

對(duì)于上述最優(yōu)制導(dǎo)問題的閉環(huán)形式的解，需要知道準(zhǔn)確的剩余時(shí)間[15]，但是剩余時(shí)間又不能通過任何的裝置來測量。最優(yōu)制導(dǎo)律的性能取決于剩余時(shí)間估計(jì)的準(zhǔn)確度，因此，需要一個(gè)比較可行的剩余時(shí)間估計(jì)算法。由于落角控制的彈道軌跡是比較彎曲的，所以傳統(tǒng)的估計(jì)剩余時(shí)間的方法(距離除以速度)會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，尤其是導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段的初始時(shí)刻。針對(duì)上述問題，本文通過建立導(dǎo)彈實(shí)際軌跡近似模型，提出了一種實(shí)用的剩余時(shí)間計(jì)算方法。

1 落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對(duì)靜止或者緩慢移動(dòng)的目標(biāo)，圖1所示為末制導(dǎo)段幾何關(guān)系。其中，Vm、θm和θmf分別表示導(dǎo)彈的速度、彈道傾角和期望的落角，am是垂直于導(dǎo)彈速度的法向加速度，通過控制輸入u(t)來實(shí)現(xiàn)。

圖1 規(guī)劃航跡示意圖Fig.1 Planned trajectory of the missile

如圖1所示，導(dǎo)彈末制導(dǎo)階段運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

在假定Vm是常量和θm小角度的情況下，可以線性化方程式(1)。

定義

v(t)=Vmθm(t)

(2)

系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(3)

其中

(4)

(5)

最優(yōu)控制問題為，尋找控制變量u(t)使得以下性能函數(shù)值最小

(6)

并且滿足方程

Dx(tf)=E

(7)

其中

(8)

vf=Vmθmf，tf代表飛行時(shí)間，R是正的加權(quán)函數(shù)

(9)

剩余時(shí)間的定義為

tgo=tf-t0

(10)

當(dāng)N=0時(shí)，問題就變成了文獻(xiàn) [5]中的純能量最優(yōu)控制問題。使用式(9)中的剩余時(shí)間加權(quán)函數(shù)，可以改變制導(dǎo)指令分布。對(duì)于N>0，當(dāng)t→tf時(shí)代價(jià)函數(shù)逐漸增大，所以當(dāng)t=tf時(shí)控制最后變成0。

通過對(duì)最優(yōu)控制問題求解可以得到狀態(tài)反饋解為

u*(t)=R-1BTFG-1(FTx(t)-E)

(11)

其中

(12)

將式(5)和式(8)式代入式(12)，可得

(13)

對(duì)于一個(gè)非負(fù)整數(shù)N，可以得到

(14)

其中

(15)

(16)

(17)

把式(15)和式(17)代入式(11)中，用Vmθm代替v(t)。經(jīng)過簡化可以得到一階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)的帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律為

A2)Vmθm(t)+(A1f31+A2f32)am(t)-

A1zf-A2Vmθmf]

(18)

其中

A1=f31g22-f32g21
A2=f32g11-f31g12

(19)

如果導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間較小或者飛行時(shí)間相對(duì)時(shí)間常數(shù)較大時(shí)，可忽略時(shí)間常數(shù)τ。在式 (18)中，令τ→0，zf=0，那么無慣性環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)的帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律(Optimal Guidance Law with Impact Angle Constraint, OGL/IAC-0)為

(20)

其中

(21)

上述制導(dǎo)律需要已知z(t)和θm(t)的值。可以通過測量導(dǎo)彈和目標(biāo)的視線角信息θ(t)來計(jì)算z(t)的值。此時(shí)，θ(t)可以近似為

(22)

那么式(20)可以改寫為

(23)

實(shí)際中，對(duì)于N>0的情況，制導(dǎo)增益是可行的，因?yàn)楫?dāng)接近目標(biāo)時(shí)制導(dǎo)指令是趨近于0的。這個(gè)特性很重要，因?yàn)樗鼙ＷC抵抗外界干擾的不確定性、模型的不確定性和制導(dǎo)命令飽和限制。如果導(dǎo)彈的速度由于空氣阻力而減少，那么可以通過選擇一個(gè)較大的制導(dǎo)增益來避免性能的惡化。相反地，一個(gè)小的增益可以降低感應(yīng)噪聲的靈敏度。對(duì)于大多數(shù)的情況，理想的制導(dǎo)增益都是通過非線性仿真來選擇。

2 剩余時(shí)間估計(jì)方法

針對(duì)上述制導(dǎo)律，最常用的也是最簡單的剩余時(shí)間估計(jì)方法是用剩余距離除以導(dǎo)彈速度，即tgo=R/Vm。這種方法在彈道彎曲時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大誤差。為此，本文考慮將OGL/IAC-0的軌跡通過剩余路程的N階多項(xiàng)式函數(shù)來近似。

(24)

(25)

為了求解式(24)和式(25)中的系數(shù)，需要N+4個(gè)邊界條件。當(dāng)N=0時(shí)，由文獻(xiàn)[5]可知，存在4個(gè)邊界條件，包括t和tf時(shí)刻的位置和飛行路徑角

(26)

當(dāng)N>1時(shí)，需要N個(gè)額外條件，可以給定t=tf時(shí)刻的加速度條件為

(27)

由于Vm為常值，tgo可以通過路徑的長度除以導(dǎo)彈的速度得到

(28)

式(28)表示的剩余時(shí)間可以理解為距離除以速度再乘以由于路徑的彎曲而導(dǎo)致長度增加的一個(gè)補(bǔ)償項(xiàng)。在以下給定的近似條件下

(29)

對(duì)于每個(gè)N值可得到k的值為

(30)

3 仿真結(jié)果

仿真條件如下：導(dǎo)彈初始位置為(0,2000)m，目標(biāo)位置為(1200,0)m，導(dǎo)彈速度為VM=200m/s，初始彈道傾角θM(0)=0°，期望的落角θf分別取30°,60°,90°。

表1所示為采用傳統(tǒng)方法和本文方法對(duì)導(dǎo)彈剩余時(shí)間進(jìn)行估計(jì)的相對(duì)誤差。由表1中可知，相對(duì)于傳統(tǒng)的剩余時(shí)間計(jì)算方法tgo=R/Vm，本文提出的剩余時(shí)間估計(jì)方法對(duì)所有的N都有很高的精度。

(a)彈道軌跡

(b)剩余時(shí)間估計(jì)圖2 θm0=60°,θmf=-60°時(shí)仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results under θm0=60°,θmf=-60°

(a)彈道軌跡

表1 導(dǎo)彈剩余時(shí)間估計(jì)相對(duì)誤差Δtfmax/tf(%)Tab.1 Fractional error of time-to-go estimation

4 結(jié)論

本文采用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了考慮落角約束的閉環(huán)制導(dǎo)律，針對(duì)所需的剩余時(shí)間估計(jì)問題，基于導(dǎo)彈飛行近似軌跡，提出了一種實(shí)用的剩余時(shí)間估計(jì)算法。仿真結(jié)果表明，該方法相對(duì)于傳統(tǒng)的估計(jì)方法，在不同的落角約束和制導(dǎo)增益條件下，相對(duì)精度平均提高了13倍以上。