李 兵 蘇文超 魏 翔 白金峰 蔣莊德

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實驗室， 西安 710049;2.西安交通大學(xué)微納制造與測試技術(shù)國際合作聯(lián)合實驗室， 西安 710049)

0 引言

隨著工程技術(shù)的發(fā)展，精密及超精密的數(shù)控機(jī)床越來越受到重視，在社會生產(chǎn)、科學(xué)研究和國防安全等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。然而，機(jī)床在運(yùn)行和加工過程中不可避免地存在各種誤差，為提高機(jī)床的加工精度，需要對其誤差進(jìn)行補(bǔ)償。按照誤差源的不同，機(jī)床誤差一般包括熱誤差、幾何誤差和載荷引起的誤差。其中，熱誤差在機(jī)床總誤差中占比40%～70%[1-3]，越精密的數(shù)控機(jī)床熱誤差占比越高。因此研究熱誤差補(bǔ)償技術(shù)對提高機(jī)床加工精度至關(guān)重要。

熱誤差補(bǔ)償技術(shù)需要依靠可靠的測量設(shè)備、有效的測量方法以及能準(zhǔn)確反映機(jī)床溫度敏感點(diǎn)溫度與熱誤差對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型[4]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對熱誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行了大量研究，常用的熱誤差模型有基于最小二乘的多元線性回歸模型[5-6]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[7-8]、分布滯后模型[9]、灰色理論模型[10-11]和支持向量機(jī)模型[12]等，還有各種組合模型[13-14]，如基于灰色理論預(yù)處理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[15]、時間序列-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型[16]等。不同的熱誤差模型有不同的預(yù)測準(zhǔn)則，預(yù)測效果也受多種因素影響，其中環(huán)境溫度是影響各類熱誤差模型預(yù)測精度和穩(wěn)健性的主要因素之一。以某一環(huán)境溫度下的樣本建立模型，當(dāng)環(huán)境溫度變化較小時，模型往往有較高的預(yù)測精度[17]；當(dāng)環(huán)境溫度改變較大時，機(jī)床各零部件熱量分布會產(chǎn)生較大變化，模型穩(wěn)健性往往較差，預(yù)測精度會很低。針對以上問題，常采用增加多種環(huán)境溫度下的數(shù)據(jù)作為建模樣本的方法，或采用泛化能力更好的模型，如支持向量機(jī)模型[18]。

基于環(huán)境溫度變化相對平緩、但對加工結(jié)果卻影響較大的特性，本文提出一種基于環(huán)境溫度的模型庫分段式加權(quán)的熱誤差建模方法。該方法將不同環(huán)境溫度樣本的初始環(huán)境溫度設(shè)置為節(jié)點(diǎn)溫度，取等間隔節(jié)點(diǎn)溫度的樣本分別建模組成模型庫，以預(yù)測時的初始環(huán)境溫度為依據(jù)，搜索與模型庫中節(jié)點(diǎn)溫度最接近的兩個模型分別預(yù)測，并根據(jù)規(guī)則對兩個模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行加權(quán)，計算得到最終熱誤差。通過與單一環(huán)境溫度樣本的回歸模型、多環(huán)境溫度樣本的線性回歸模型和支持向量機(jī)模型進(jìn)行對比，分析該模型在環(huán)境溫度變化較小和較大情況下的熱誤差預(yù)測精度。

1 分段式加權(quán)模型

分段式加權(quán)模型建模需建立多個基于不同節(jié)點(diǎn)溫度樣本的單個模型組成模型庫。單個模型建模方法的選擇可按照以下原則，即用多種建模方法對環(huán)境溫度變化較小的情況進(jìn)行預(yù)測，選擇預(yù)測精度最高的建模方法作為模型庫中單個模型的建模方法。若以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立模型庫中的單個模型，則分段式加權(quán)模型基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分段式加權(quán)模型基本結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic structure of piecewise weighted model based on BP neural network

1.1 模型庫中常用的單個熱誤差模型

模型庫常用的單個熱誤差模型包括多元線性回歸模型(Multiple linear regression, MLR)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(BP neural network, BP-NN)、分布滯后模型(Distributed lag, DL)、灰色理論模型(Grey theory, GM)和支持向量機(jī)模型(Support vector machine, SVM)，各模型優(yōu)缺點(diǎn)如表1所示。由表1可知，各模型均具有優(yōu)缺點(diǎn)，分別用以上模型建模，通過補(bǔ)償效果，選擇作為模型庫中的單個模型。

表1 熱誤差模型優(yōu)缺點(diǎn)Tab.1 Thermal error model advantages and disadvantages

1.2 分段式加權(quán)模型計算原理

一般機(jī)床周圍環(huán)境溫度隨四季變化而變化，針對常用的模型對于隨四季變化時模型預(yù)測精度低的問題，提出了基于模型庫分段式加權(quán)的建模方法。機(jī)床的環(huán)境溫度為0～40℃，此處設(shè)置節(jié)點(diǎn)溫度間隔為5℃，故需采集節(jié)點(diǎn)溫度分別為0、5、10、15、20、25、30、35、40℃時的機(jī)床熱誤差數(shù)據(jù)，根據(jù)模型庫中單個模型的選用原則，選定模型庫中的模型類型，之后用不同節(jié)點(diǎn)溫度的熱誤差數(shù)據(jù)建模，組成數(shù)據(jù)庫。

假設(shè)測試數(shù)據(jù)的初始環(huán)境溫度為t,系統(tǒng)分別計算節(jié)點(diǎn)溫度與t之間差值的絕對值，即|0-t|、|5-t|、|10-t|、|15-t|、|20-t|、|25-t|、|30-t|、|35-t|、|40-t|，選取絕對值最小的兩組數(shù)據(jù)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)溫度，假設(shè)為Tt1和Tt2并且Tt1

(1)

2 熱誤差測量實驗

2.1 傳感器布置

2.1.1溫度傳感器布置

為了避免錯過溫度敏感點(diǎn)，溫度傳感器應(yīng)盡量布置在熱源附近且盡可能多的布置[19-20]。本文以UPM120型精密數(shù)控銑床為研究對象，該銑床熱源主要包括Z軸伺服電機(jī)、X和Y軸直線電機(jī)、轉(zhuǎn)臺的扭矩電機(jī)、Z軸絲杠螺母副及其上下支撐軸承、主軸、X和Y軸氣浮導(dǎo)軌、Z軸液壓導(dǎo)軌、周圍環(huán)境，因此溫度傳感器布置如圖2所示。

圖2中T1位置處為Z軸伺服電機(jī)；T2位置處為絲杠上軸承座；T3位置處為絲杠螺母；T4位置處為絲杠下軸承座；T5位置處為Z軸溜板；T6位置處為主軸夾座；T7、T8和T9位置處為主軸；T10位置處為Y軸電機(jī)；T11位置處為X軸電機(jī)；T12位置處為X軸溜板靠近電機(jī)處；T13位置處為轉(zhuǎn)臺電機(jī)；T14位置處為環(huán)境溫度。

2.1.2位移傳感器布置

根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)《機(jī)床檢驗通則第三部分：熱效應(yīng)的確定》可知，熱誤差由主軸端部與裝夾工件工作臺之間的相對位移變化產(chǎn)生[21-22]。因此，將檢驗棒安裝在主軸末端，3個位移傳感器用磁力表座固定在轉(zhuǎn)臺上，分別測量X、Y、Z軸3個方向的位移變化量，具體布置如圖3所示。

圖3 位移傳感器布置Fig.3 Layout of displacement sensors

2.2 熱誤差采集

UPM120型機(jī)床是基于渦旋盤加工的精密銑床，其加工方式為展成法。展成法加工渦旋盤時，Z軸進(jìn)給到渦旋盤底面后，X軸平動配合轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動實現(xiàn)渦旋曲面的銑削加工，此時Y軸方向只有微小的插補(bǔ)運(yùn)動可視為不移動，因此模擬工況設(shè)計實驗行程如圖4所示，設(shè)置進(jìn)給速率為600 mm/min，設(shè)置主軸的轉(zhuǎn)速為20 000 r/min，每完成6個工作循環(huán)(約3 min)主軸停轉(zhuǎn)，在采集點(diǎn)處軟件同步對溫度和位移進(jìn)行采集，連續(xù)采集5 h完成熱誤差采集。

圖4 機(jī)床行程示意圖Fig.4 Diagram of machine tool’s route

為得到不同環(huán)境溫度下的熱誤差，在4—8月的不同時段對數(shù)控銑床進(jìn)行了7組熱誤差測量實驗，測量的批次、初始環(huán)境溫度和環(huán)境溫度如表2所示。

表2 實驗批次初始環(huán)境溫度和環(huán)境溫度范圍Tab.2 Initial ambient temperature and ambient temperature range of different experiments ℃

3 溫度敏感點(diǎn)篩選

溫度敏感點(diǎn)篩選[23-25]即從眾多測溫點(diǎn)中按照某種方法選擇幾個最具代表性的測溫點(diǎn)，參與熱誤差建模。若測溫點(diǎn)選擇過少，會造成建模信息的缺失，從而降低了模型精度，若選擇太多，則會增加設(shè)備成本同時降低了模型穩(wěn)健性。因此，溫度測點(diǎn)的優(yōu)化選擇是熱誤差建模和補(bǔ)償中的關(guān)鍵技術(shù)，采用模糊聚類和灰色關(guān)聯(lián)度相結(jié)合的辦法。

由于機(jī)床本身各測溫點(diǎn)熱的交互作用，因此溫度測點(diǎn)間存在很強(qiáng)的相關(guān)性，為避免建模中多重共線性問題對模型精度和穩(wěn)健型的影響，采用模糊聚類算法定量表示樣本間的模糊關(guān)系，把序列間相關(guān)性高的分在一起，選擇不同的閾值λ會有不同的分類形式。通過統(tǒng)計量F對不同的分類進(jìn)行評價，選擇評價最高的作為模糊聚類的最終分類。采用灰色關(guān)聯(lián)度算法評價測溫點(diǎn)和熱誤差的相關(guān)程度，相關(guān)程度可以用數(shù)值定量表示，根據(jù)計算結(jié)果選擇模糊聚類最終分類的每一組中關(guān)聯(lián)度最高的測溫點(diǎn)作為該組的溫度敏感點(diǎn)，算法流程如圖5所示。

圖5 溫度敏感點(diǎn)篩選算法流程圖Fig.5 Flow chart of screening algorithm for temperature sensitive points

根據(jù)模糊聚類和灰色關(guān)聯(lián)度相結(jié)合的方法，最終確定X、Y、Z軸3個方向熱誤差對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)為T1、T2、T8、T14。

4 分段式加權(quán)模型建立與預(yù)測精度分析

以Z軸方向熱誤差為例，利用分段式加權(quán)模型對該方向熱誤差進(jìn)行建模和預(yù)測精度分析，驗證分段式加權(quán)模型的有效性。

4.1 模型建立

選擇節(jié)點(diǎn)溫度的間隔為5℃，選取K4、K5和K6批次數(shù)據(jù)為樣本，3組樣本環(huán)境溫度相差不大，初始環(huán)境溫度最大相差約5℃，以K4作為建模樣本，K5和K6作為預(yù)測樣本，分別用多元線性回歸模型(MLR)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(BP-NN)、分布滯后模型(DL)、灰色理論模型(GM)和支持向量機(jī)模型(SVM)進(jìn)行建模和預(yù)測。通過以上方法選擇環(huán)境溫度變化不大時預(yù)測效果最優(yōu)的模型，作為組成模型庫的單個模型。

5種模型對3個批次的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示，其中擬合精度即為5種模型對K4的預(yù)測，5種模型對K5和K6預(yù)測值和預(yù)測殘差如圖6、7所示。

表3 5種模型預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差Tab.3 Fitting and prediction standard deviation of five models μm

圖6 5種模型對K5批次熱誤差預(yù)測值和預(yù)測殘差Fig.6 Predictive value and predictive residual error of K5 using five models to predict

圖7 5種模型對K6批次熱誤差預(yù)測值和預(yù)測殘差Fig.7 Predictive value and predictive residual error of K6 using five models to predict

由表3和圖6、7可知，對于該數(shù)控銑床，初始環(huán)境溫度相差小于5℃時，以上5種熱誤差預(yù)測模型對K5和K6批次數(shù)據(jù)的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差均不大于3.31 μm，其中多元線性回歸模型對2個批次數(shù)據(jù)的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差均不大于1.97 μm，其預(yù)測精度均高于其他4種模型。因此，選擇多元線性回歸模型作為分段式加權(quán)模型的模型庫中的單個模型，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)，以K1、K3、K4、K6、K7批次數(shù)據(jù)作為建模樣本建立環(huán)境溫度在15～35℃間的基于多元線性回歸的分段式加權(quán)模型，基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

4.2 預(yù)測精度分析

4.2.1環(huán)境溫度變化較小時

由圖6可知，以K4批次數(shù)據(jù)建模，K5批次數(shù)據(jù)預(yù)測，此時環(huán)境溫度變化較小，多元線性回歸、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等5種模型預(yù)測精度較高。為了驗證分段式加權(quán)模型在該情況下的預(yù)測精度，將K5批次樣本代入分段式加權(quán)模型中，模型預(yù)測值和預(yù)測殘差如圖8所示。

圖8 分段式加權(quán)模型對K5批次熱誤差預(yù)測值和預(yù)測殘差Fig.8 Predictive value and predictive residual error of K5 using piecewise weighted model to predict

由圖8可知，分段式加權(quán)模型的預(yù)測值整體略高于實測值，但仍具有很高的預(yù)測精度。經(jīng)計算模型預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差為1.39 μm, 最大殘差2.70 μm，通過與表3對比可知，模型預(yù)測精度略低于多元線性回歸模型，但高于其他4種模型。

4.2.2環(huán)境溫度變化較大時

以多元線性回歸模型為例，選擇不同月份的環(huán)境溫度相差約13℃的K6和K2批次數(shù)據(jù)分別作為模型的建模樣本和測試樣本，得到模型的預(yù)測值和預(yù)測殘差如圖9所示。

圖9 多元線性回歸模型對K2批次熱誤差預(yù)測值和預(yù)測殘差Fig.9 Predictive value and predictive residual error of K2 using multiple linear regression model to predict

由圖9可知，環(huán)境溫度相差較大時，多元線性回歸模型預(yù)測精度差，預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差為7.97 μm，最大殘差高達(dá)12.1 μm。

將K2批次數(shù)據(jù)作為測試樣本代入基于多元線性回歸的分段式加權(quán)模型驗證環(huán)境溫度變化較大時模型的預(yù)測效果，同時將2種常用的解決環(huán)境溫度相差大、預(yù)測精度低的方法作為對比，即以K6批次數(shù)據(jù)作為建模樣本建立泛化能力較強(qiáng)的支持向量機(jī)模型和以K1、K3、K4、K5、K6、K7批次數(shù)據(jù)作為建模樣本建立增加多種環(huán)境樣本的線性回歸模型。

3種模型對K2批次樣本的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示，預(yù)測值和預(yù)測殘差如圖10所示。

表4 3種模型的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差Tab.4 Prediction standard deviation of three models μm

圖10 3種模型對K2批次熱誤差預(yù)測值和預(yù)測殘差Fig.10 Predictive value and predictive residual error of K2 using three models to predict

由表4、圖10可知，環(huán)境溫度變化較大時，相較于單環(huán)境溫度樣本建模的多元線性回歸模型，采用泛化能力較強(qiáng)的支持向量機(jī)模型建模將熱誤差的預(yù)測精度從7.97 μm提高至5.97 μm，采用增加多環(huán)境溫度樣本建模的辦法將預(yù)測精度從7.97 μm提高至4.17 μm，2種傳統(tǒng)方法都有效果但模型預(yù)測精度依舊較差。采用分段式加權(quán)模型預(yù)測時將預(yù)測精度提高至1.51 μm，預(yù)測精度較高，其預(yù)測效果遠(yuǎn)高于2種傳統(tǒng)方法。

5 結(jié)論

(1)針對UPM120型精密數(shù)控銑床，在環(huán)境溫度變化較小時，以多元線性回歸模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、分布滯后模型、灰色理論模型和支持向量機(jī)模型建模均有較高的預(yù)測精度，其中多元線性回歸模型預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差不大于1.97 μm，高于其他4種模型，因此選擇多元線性回歸模型作為建立分段式加權(quán)模型的模型庫中的基礎(chǔ)模型。

(2)當(dāng)環(huán)境溫度變化較大時，以單一環(huán)境溫度樣本建模的多元線性回歸模型預(yù)測精度很低，通過選擇泛化能力強(qiáng)的支持向量機(jī)模型建模和增加多種環(huán)境下溫度樣本建模，在一定程度上提高了模型的預(yù)測精度，但預(yù)測精度仍然較低?；诙嘣€性回歸的分段式加權(quán)模型在環(huán)境溫度變化較大時預(yù)測精度達(dá)到1.51 μm，預(yù)測精度遠(yuǎn)大于以上2種方式。

(3)分段式加權(quán)模型在各種環(huán)境溫度下均具有較高的預(yù)測精度，同時具有較高的穩(wěn)健性。