曾春梅 馬少娟

【摘 要】 研究了一類腫瘤-免疫系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性及其控制.首先，在Pillis腫瘤免疫模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建具有Allee效應(yīng)的腫瘤-免疫系統(tǒng).其次，利用構(gòu)造Lyapunov函數(shù)法研究系統(tǒng)無(wú)腫瘤平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.然后，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型研究化療對(duì)腫瘤細(xì)胞的影響.最后，通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證化療控制的有效性.

【關(guān)鍵詞】 腫瘤-免疫模型 全局漸近穩(wěn)定性 化療控制

一、引言

隨著生活水平的不斷提高，人們對(duì)自身健康愈加重視.癌癥的高死亡率使得學(xué)者們更加注重對(duì)腫瘤細(xì)胞的控制或治療的研究.Liu[1]建立靶向治療的腫瘤免疫數(shù)學(xué)模型，并對(duì)解的正性和有界性進(jìn)行定性分析.Raluca，Bramson和Earn[2]對(duì)描述惡性腫瘤與免疫系統(tǒng)相互作用的空間均勻力學(xué)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)要回顧.文獻(xiàn)[3]討論并提出可視化惡性腫瘤與免疫系統(tǒng)間作用關(guān)系的關(guān)鍵步驟.

對(duì)于腫瘤-免疫系統(tǒng)已有上述研究成果. 而Katrin等[4]的研究表明腫瘤具有Allee效應(yīng)，由于Allee效應(yīng)已在生態(tài)學(xué)中被證明可以改變最優(yōu)控制決策、控制成本，因此，他認(rèn)為Allee效應(yīng)對(duì)腫瘤的生長(zhǎng)控制也至關(guān)重要.但到目前為止，它在腫瘤的生長(zhǎng)和持久性方面一直被忽視，因此，在以上問(wèn)題的激發(fā)下本文嘗試在Pillis[5]模型的基礎(chǔ)上添加Allee效應(yīng)并研究其動(dòng)力學(xué)行為.

二、具有Allee效應(yīng)的腫瘤-免疫系統(tǒng)的建立

Allee效應(yīng)[6]表明任何個(gè)體在他的生長(zhǎng)與繁殖過(guò)程中都有自己的最適密度，無(wú)論過(guò)密或過(guò)疏都會(huì)對(duì)自己的生長(zhǎng)產(chǎn)生抑制作用，腫瘤細(xì)胞也不例外.由此，建立如下具有Allee效應(yīng)的腫瘤-免疫系統(tǒng)

其中代表免疫細(xì)胞的數(shù)量，表示腫瘤細(xì)胞的數(shù)量，N是正常細(xì)胞的數(shù)量.分別代表效應(yīng)免疫細(xì)胞的資源常量和死亡率.是Allee閾值且滿足.由于腫瘤細(xì)胞的存在會(huì)激活效應(yīng)免疫細(xì)胞，該項(xiàng)用表示.效應(yīng)免疫細(xì)胞與腫瘤細(xì)胞相互競(jìng)爭(zhēng)會(huì)導(dǎo)致兩種細(xì)胞死亡，分別用和表示.正常細(xì)胞的最大生長(zhǎng)率和環(huán)境承載量分別用和表示，腫瘤細(xì)胞的最大生長(zhǎng)率和環(huán)境承載量分別用和表示.分別代表正常細(xì)胞與腫瘤細(xì)胞競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致的細(xì)胞死亡率.

三、無(wú)腫瘤平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

六、結(jié)論

本文建立了具有Allee效應(yīng)的腫瘤-免疫系統(tǒng)，根據(jù)構(gòu)造Lyapunov方法對(duì)其進(jìn)行全局穩(wěn)定性分析，應(yīng)用緊不變集局部化方法得到當(dāng)時(shí)，無(wú)腫瘤平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.其次結(jié)合化療背景對(duì)腫瘤-免疫系統(tǒng)進(jìn)行控制，得到使得無(wú)腫瘤平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的化療藥物表達(dá)式并進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)比圖1和圖2證明化療控制的有效性。

【參考文獻(xiàn)】

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[10] Eftimie R， Bramson J L， Earn D J. Interactions between the immune system and cancer： A brief review of non-spatial mathematical models[J]. Bulletin of Mathematical Biology， 2011， 73（1）：2-32

作者簡(jiǎn)介：曾春梅（1993—），女，漢族，黑龍江省牡丹江市人，碩士研究生，理學(xué)碩士，單位：北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，研究方向：非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)。

通訊作者簡(jiǎn)介：馬少娟（1979—），女，回族，寧夏回族自治區(qū)人，教授，理學(xué)博士，單位：北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，研究方向：非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)。

基金項(xiàng)目：北方民族大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目《Allee效應(yīng)影響下一類腫瘤-免疫系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析》;項(xiàng)目編號(hào)：YCX19130。