伍建軍，王子寧，金渶棋，馬 垚

（1.江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000；2.北京市地鐵運(yùn)營(yíng)有限公司運(yùn)營(yíng)二分公司，北京100044）

1 引言

地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝是用于運(yùn)輸?shù)罔F車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)的支撐裝置，在運(yùn)輸拖車(chē)輪對(duì)時(shí)，運(yùn)輸工裝支撐著拖車(chē)輪對(duì)置于叉車(chē)貨叉上。在目前的地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝的設(shè)計(jì)中，經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)、類比設(shè)計(jì)仍然是主要的設(shè)計(jì)方法，雖然能滿足性能要求，但設(shè)計(jì)過(guò)于保守，普遍存在著尺寸偏大的問(wèn)題，出現(xiàn)了材料的冗余，造成材料的大量浪費(fèi)。對(duì)拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，不僅可以降低材料成本，而且還能改善叉車(chē)燃油經(jīng)濟(jì)性、減少能源消耗以及降低尾氣排放。

在實(shí)際的拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝生產(chǎn)過(guò)程中，存在很多不確定性因素，如加工、制造等，這些不確定性因素的存在會(huì)導(dǎo)致工裝的質(zhì)量特性表現(xiàn)為一定的概率分布。而傳統(tǒng)的確定性輕量化設(shè)計(jì)往往具有最優(yōu)解邊界化的特點(diǎn)[1]，這就導(dǎo)致確定性輕量化設(shè)計(jì)結(jié)果可能并不可靠。因此，應(yīng)在工裝的輕量化設(shè)計(jì)中充分考慮不確定性因素的影響，進(jìn)行基于不確定性的輕量化設(shè)計(jì)?？煽啃詢?yōu)化設(shè)計(jì)考慮了設(shè)計(jì)變量的不確定性信息，通過(guò)將設(shè)計(jì)響應(yīng)遠(yuǎn)離其約束邊界以達(dá)到提高設(shè)計(jì)可靠度的目的[2]，而穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)則在追求目標(biāo)最優(yōu)的同時(shí)，通過(guò)降低設(shè)計(jì)響應(yīng)對(duì)不確定性因素的敏感性以提高設(shè)計(jì)的穩(wěn)健性[3]。6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)通過(guò)將6σ 質(zhì)量管理、可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)、穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)相結(jié)合，以σ 水平作為質(zhì)量狀態(tài)的定量描述，在保證產(chǎn)品質(zhì)量在均值6σ 范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)均能滿足設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上，追求目標(biāo)的最優(yōu)化和響應(yīng)波動(dòng)的極小化，此時(shí)的可靠度至少為99.9999998%[4]。由于6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)能極小化由不確定性因素帶來(lái)的影響，目前已廣泛應(yīng)用于設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)及生產(chǎn)制造等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[5]將6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法引入到平面連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，建立了基于容差模型的再現(xiàn)軌跡連桿機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，不僅提高了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的穩(wěn)健性，而且使約束函數(shù)遠(yuǎn)離約束邊界，保證了設(shè)計(jì)的可靠性。文獻(xiàn)[6]在柔性懸臂梁的柔度優(yōu)化設(shè)計(jì)中充分考慮了設(shè)計(jì)變量的隨機(jī)波動(dòng)和外界載荷的不確定性信息，通過(guò)引入6σ 穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，對(duì)懸臂梁進(jìn)行了柔度穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。文獻(xiàn)[7]針對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命離散性較大的問(wèn)題，將6σ 穩(wěn)健設(shè)計(jì)與疲勞壽命設(shè)計(jì)相結(jié)合，對(duì)某型攪拌車(chē)副車(chē)架進(jìn)行疲勞壽命的6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證副車(chē)架疲勞壽命可靠性的基礎(chǔ)上，有效提高了其疲勞壽命的穩(wěn)健性。

針對(duì)地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝設(shè)計(jì)過(guò)于保守的問(wèn)題，且充分考慮到尺寸參數(shù)的不確定性信息，通過(guò)引入6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，以探尋在盡可能減輕工裝重量的同時(shí)，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的可靠性與穩(wěn)健性的新方法。通過(guò)優(yōu)化前后結(jié)果的對(duì)比及將優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)的確定性輕量化設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證該方法的有效性。

2 在輕量化設(shè)計(jì)中引入6 穩(wěn)健設(shè)計(jì)理念

傳統(tǒng)的確定性輕量化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型可表示為：

式中：X=（x1，x2，…，xn）T—設(shè)計(jì)變量；

m（x）—重量數(shù)；

gj（x）—第j個(gè)約束函數(shù)；—設(shè)計(jì)變量xi的上下限。

由式（1）可知，傳統(tǒng)的確定性輕量化設(shè)計(jì)并沒(méi)有考慮設(shè)計(jì)變量的不確定性信息，沒(méi)有考慮到響應(yīng)關(guān)于隨機(jī)設(shè)計(jì)變量變化的波動(dòng)性，這與工程實(shí)際并不相符，且確定性優(yōu)化解往往具有最優(yōu)解邊界化的特點(diǎn)，這就導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果可能具有較低的可靠度和穩(wěn)健性，從而具有較低的工程可行性。

針對(duì)確定性輕量化設(shè)計(jì)沒(méi)有考慮設(shè)計(jì)變量的不確定性信息而導(dǎo)致設(shè)計(jì)可靠度和穩(wěn)健性不高的問(wèn)題，引入6σ 穩(wěn)健設(shè)計(jì)理念，將6σ 質(zhì)量管理、可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)、基于容差模型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)、輕量化設(shè)計(jì)相結(jié)合。在目標(biāo)函數(shù)中，通過(guò)引入重量和其他性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差，以降低各響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量變化的敏感性，達(dá)到提高穩(wěn)健性的目的；在約束條件中，通過(guò)引入約束函數(shù)和設(shè)計(jì)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，使得最優(yōu)解遠(yuǎn)離約束邊界，并達(dá)到6σ 水平，從而顯著提高設(shè)計(jì)的可靠性?；?σ 穩(wěn)健性的輕量化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型如下：

式中：μm、σm—重量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差—第i個(gè)約束函數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、下限、上限；w1、w2—重量m的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的權(quán)重系數(shù)；wi—第i個(gè)約束函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的權(quán)重系數(shù)；k—約束函數(shù)個(gè)數(shù)—第i個(gè)設(shè)計(jì)變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、下限、上限。

3 基于6σ 穩(wěn)健性的工裝輕量化設(shè)計(jì)流程

基于6σ 穩(wěn)健性的工裝輕量化設(shè)計(jì)流程，如圖1 所示。首先根據(jù)工裝的設(shè)計(jì)要求確定設(shè)計(jì)變量、約束以及目標(biāo)，并構(gòu)建相應(yīng)的有限元模型，基于此模型，結(jié)合中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法構(gòu)建各響應(yīng)關(guān)于各隨機(jī)設(shè)計(jì)變量的響應(yīng)面模型，然后對(duì)工裝進(jìn)行基于6σ 穩(wěn)健性的輕量化設(shè)計(jì)，最后利用蒙特卡羅模擬技術(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行可靠性分析。

圖1 基于6σ 穩(wěn)健性的工裝輕量化設(shè)計(jì)流程Fig.1 Lightweight Design Scheme of Tooling Based on Six Sigma

4 基于6σ 穩(wěn)健性的工裝輕量化設(shè)計(jì)

4.1 工裝靜、動(dòng)態(tài)特性分析

地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝主要由底座、側(cè)架、橫梁和底梁四部分組成。通過(guò)Solidworks 軟件建立其三維模型，如圖2 所示。

圖2 工裝三維模型Fig.2 Three-dimensional Model of Tooling

由于拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝具有對(duì)稱性，為了減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率，取其一半進(jìn)行有限元分析，將工裝三維模型導(dǎo)入ANSYS Workbench 中，設(shè)置其材料為Q235 鋼，屈服強(qiáng)度σs=235MPa，密度ρ＝7850kg/m3，彈性模量E=210GPa，泊松比μ=0.3，設(shè)置網(wǎng)格尺寸大小為10mm，最終生成16948 個(gè)單元和91246 個(gè)節(jié)點(diǎn)。在運(yùn)輸過(guò)程中，為了避免車(chē)輪和工裝直接接觸以刮傷輪面，在側(cè)架的接觸面上設(shè)置有2mm 厚度的橡膠墊，因此車(chē)輪與側(cè)架的接觸實(shí)際上是面接觸，但接觸面積很小，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)定車(chē)輪與側(cè)架的接觸為線接觸。叉車(chē)貨叉通過(guò)底梁與橫梁接觸，設(shè)置它們的接觸面為固定約束。由于拖車(chē)輪對(duì)質(zhì)量為1370kg，因此在車(chē)輪與側(cè)架的接觸線上施加6850N 豎直向下的力。經(jīng)過(guò)靜力學(xué)分析和模態(tài)分析得到工裝最大等效應(yīng)力為24.5MPa，車(chē)輪與側(cè)架的接觸線最外側(cè)O點(diǎn)的豎直位移為0.13mm，一階模態(tài)頻率為99.7Hz。最大等效應(yīng)力云圖和一階模態(tài)振型，如圖3、圖4 所示。從靜態(tài)特性來(lái)看，工裝最大等效應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料的屈服極限，O點(diǎn)的變形量遠(yuǎn)小于設(shè)計(jì)極限5mm；從動(dòng)態(tài)特性來(lái)看，一階固有頻率為99.7Hz，大于常用叉車(chē)怠速時(shí)的干擾基頻（22～27）Hz、工作車(chē)速下的激勵(lì)頻率（40～67）Hz 和差等路面的激勵(lì)頻率17Hz[8-9]。因此原工裝的設(shè)計(jì)是安全的，但同時(shí)又是不合理的，設(shè)計(jì)過(guò)于保守，出現(xiàn)了材料的冗余，造成了材料的浪費(fèi)，增加了材料成本，提高了燃油的消耗以及尾氣的排放。

圖3 等效應(yīng)力云圖Fig.3 Equivalent Stress Nephogram

圖4 一階模態(tài)振型Fig.4 First Order Modal Shape

4.2 構(gòu)建工裝響應(yīng)面模型及精度檢驗(yàn)

代理模型技術(shù)通過(guò)建立滿足一定精度要求的系統(tǒng)響應(yīng)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的映射關(guān)系來(lái)代替工程實(shí)際中復(fù)雜高成本的仿真模型以進(jìn)行相應(yīng)的分析與優(yōu)化，可大幅提高求解效率，降低計(jì)算成本[10-11]。采用響應(yīng)面法構(gòu)建工裝的響應(yīng)面模型，常用的二階響應(yīng)面模型可表示為：

式中：k—設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)；β0、βi、βii、βij—響應(yīng)面模型回歸系數(shù)；ζ—擬合誤差。

選取底座厚度x1、橫梁厚度x2、底梁厚度x3、側(cè)架底面與圓弧面最低處的距離x4作為為設(shè)計(jì)變量，根據(jù)工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)及相關(guān)文獻(xiàn)[12]可知，各設(shè)計(jì)變量均服從正態(tài)分布，其取值范圍及分布情況，如表1 所示。

表1 設(shè)計(jì)變量的取值范圍及分布Tab.1 Value Range and Distribution of Design Variables

運(yùn)用中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行樣本點(diǎn)的采集，并對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行仿真分析，采用最小二乘法對(duì)樣本點(diǎn)的響應(yīng)進(jìn)行擬合，得到的拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝最大等效應(yīng)力、O點(diǎn)豎直位移、一階固有頻率、重量的響應(yīng)面模型分別為：

為了確定所構(gòu)建的響應(yīng)面模型是否可以替代實(shí)際工程中的真實(shí)模型以用于后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，需要對(duì)所構(gòu)建的響應(yīng)面模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)，采用復(fù)相關(guān)系數(shù)作為響應(yīng)面模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)，復(fù)相關(guān)系數(shù)越接近于1，則響應(yīng)面模型精度越高，越能反映實(shí)際的工程情況。復(fù)相關(guān)系數(shù)可表示為：

式中：n—實(shí)際值總個(gè)數(shù)—第i個(gè)響應(yīng)的實(shí)際值、擬合值和實(shí)際值均值。

通過(guò)式（8）計(jì)算得到各響應(yīng)的復(fù)相關(guān)系數(shù)均接近于1，說(shuō)明所建立的工裝最大等效應(yīng)力、O點(diǎn)豎直位移、一階固有頻率、重量的響應(yīng)面模型擬合精度高，能準(zhǔn)確反映4 個(gè)響應(yīng)和設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，可以替代真實(shí)模型用于后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，各響應(yīng)面模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)，如表2 所示。

表2 各響應(yīng)面模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)Tab.2 Multiple Correlation Coefficients of Each Response Surface Model

4.3 工裝6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

綜合考慮工裝的輕量化要求、性能的可靠性及穩(wěn)健性要求，基于構(gòu)建的滿足精度要求的各響應(yīng)響應(yīng)面模型，以x1、x2、x3、x4為設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)設(shè)定為工裝重量均值、最大等效應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差、O點(diǎn)豎直位移標(biāo)準(zhǔn)差、一階固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差最小，約束條件設(shè)置為最大等效應(yīng)力均值、O點(diǎn)豎直位移均值、一階固有頻率均值、各設(shè)計(jì)變量遠(yuǎn)離其約束邊界并達(dá)到6σ 水平，建立的基于6σ 穩(wěn)健性的地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝輕量化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為：

式中：w1、w2、w3、w4、w5—工裝重量均值、重量標(biāo)準(zhǔn)差、最大等效應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差、O點(diǎn)豎直位移標(biāo)準(zhǔn)差、一階固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差的權(quán)重系數(shù)；μ（δ）、σ（δ）—工裝最大等效應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；μ（d）、σ（d）—工裝O點(diǎn)豎直位移的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；μ（f）、σ（f）—工裝一階固有頻率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；σ（x1）、σ（x2）、σ（x3）、σ（x4）—工裝各隨機(jī)設(shè)計(jì)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝進(jìn)行基于6σ 穩(wěn)健性的輕量化設(shè)計(jì)的首要目的是在保證可靠性的基礎(chǔ)上盡可能地減輕工裝重量，然后是降低結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)的波動(dòng)，最后是保持重量的一致性。因此取w1、w2、w3、w4、w5分別為0.45、0.1、0.15、0.15、0.15。

為了比較基于6σ 穩(wěn)健性的地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝輕量化設(shè)計(jì)的效果，構(gòu)建了地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝確定性輕量化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，其可表示為：

表3 確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)和6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.3 The Results of Deterministic Optimization and Six Sigma Robust Optimization

采用尋優(yōu)收斂迅速且能簡(jiǎn)化計(jì)算復(fù)雜度的序列二次規(guī)劃算法對(duì)構(gòu)建的穩(wěn)健優(yōu)化模型和確定性優(yōu)化模型進(jìn)行求解，基于穩(wěn)健優(yōu)化和確定性優(yōu)化結(jié)果，根據(jù)各隨機(jī)設(shè)計(jì)變量服從的分布類型和標(biāo)準(zhǔn)差，通過(guò)蒙特卡羅描述性抽樣分別得到1000 組設(shè)計(jì)變量，將這2000 組設(shè)計(jì)變量分別帶入δ、d、f和m的響應(yīng)面模型中，求得各響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，統(tǒng)計(jì)計(jì)算各設(shè)計(jì)變量及約束的可靠度，并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的σ 水平，結(jié)果如表3 所示。

4.4 優(yōu)化前后性能指標(biāo)及重量對(duì)比

由表3 可知，經(jīng)過(guò)6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)后，工裝的最大等效應(yīng)力由初始的24.5MPa 增加到168.7MPa，但仍小于材料的屈服極限235MPa；O點(diǎn)豎直位移由0.13mm 增加到4.73mm，小于設(shè)計(jì)極限的5mm；一階固有頻率由99.7Hz 降至69Hz，大于最大激勵(lì)頻率67Hz；重量由227.9kg 減為115.6kg。結(jié)果表明，在強(qiáng)度和剛度滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，工裝重量得到了顯著地降低，達(dá)到了輕量化設(shè)計(jì)的目的。

4.5 6σ 穩(wěn)健優(yōu)化與確定性優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

由表3 可知，從結(jié)構(gòu)性能角度來(lái)看：相比確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，由6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的最大等效應(yīng)力、O點(diǎn)豎直位移均有所降低，而一階固有頻率有所增大，表明工裝強(qiáng)度、靜剛度、動(dòng)剛度得到了一定程度的提高。從可靠性角度來(lái)看：確定性優(yōu)化解的x1、x4的可靠度分別為0.4941、0.5035，對(duì)應(yīng)的σ 水平分別為0.665、0.68，約束函數(shù)d的可靠度為0.9965，相應(yīng)的σ 水平為2.917，這三個(gè)變量的可靠度距離1 均還有很長(zhǎng)一段距離，遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到6 個(gè)σ 水平。在實(shí)際工程中，當(dāng)設(shè)計(jì)變量發(fā)生隨機(jī)波動(dòng)時(shí)，x1、x4和d極有可能超出他們各自的約束邊界而導(dǎo)致失效。因此，確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果并不可靠。而經(jīng)過(guò)6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的各設(shè)計(jì)變量和約束函數(shù)的可靠度均為1，均達(dá)到了8 個(gè)σ 水平，滿足可靠性要求。從穩(wěn)健性角度來(lái)看：相較于確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，6σ 穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)降低了各響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，不僅提高了重量的一致性，而且降低了強(qiáng)度和剛度對(duì)各隨機(jī)設(shè)計(jì)變量變化的敏感性，降低了工裝對(duì)社會(huì)的質(zhì)量損失。從輕量化角度來(lái)看：6σ 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的工裝重量相較于確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)提高了2.4kg，但與工裝的初始值227.9kg 相比，重量減少了112.3kg，完全在可接受范圍內(nèi)。

5 結(jié)論

通過(guò)將響應(yīng)面法、輕量化設(shè)計(jì)、6σ 質(zhì)量管理、可靠性設(shè)計(jì)、穩(wěn)健設(shè)計(jì)、蒙特卡羅模擬技術(shù)相結(jié)合，對(duì)地鐵車(chē)輛拖車(chē)輪對(duì)運(yùn)輸工裝進(jìn)行了基于6σ 穩(wěn)健性的輕量化設(shè)計(jì)。優(yōu)化結(jié)果表明，在滿足強(qiáng)度和剛度要求的前提下，工裝的重量由初始的227.9kg，減至115.6kg，減少了112.3kg，減重率達(dá)49.3%，輕量化效果顯著；且與傳統(tǒng)的確定性輕量化設(shè)計(jì)相比，該方法不僅增強(qiáng)了工裝的強(qiáng)度和剛度，而且提高了優(yōu)化設(shè)計(jì)的可靠性、強(qiáng)度與剛度的穩(wěn)健性以及重量的一致性，而付出的代價(jià)僅僅是增加了2.4kg 重量，完全在可接受范圍內(nèi)；為地鐵零部件工裝的輕量化設(shè)計(jì)提供了一種新思路。