楊前華，趙 力

（1.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，江蘇 南京 210023；2.東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210018）

0 引言

磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging，MRI）是一種常用的臨床研究和疾病診斷的診斷工具，因為它提供了有關(guān)組織化學(xué)和生理信息。磁共振成像與其它醫(yī)學(xué)成像方法相比，具有對人體無損害、可以采用多種參數(shù)成像和能夠反映器官或組織的生化特征等特點，成為醫(yī)學(xué)臨床診斷重要的手段之一。然而，由于成像機(jī)制的限制，磁共振成像的時間/空間分辨率和信噪比之間存在矛盾。在磁共振圖像中，噪聲主要來自硬件電路的熱噪聲和被成像對象的生理學(xué)噪聲兩個方面。這些噪聲會大大降低磁共振圖像的質(zhì)量，使得一些組織的邊界變得模糊，細(xì)微結(jié)構(gòu)難以辨別，增加了對圖像細(xì)節(jié)識別與分析的難度，影響醫(yī)學(xué)診斷。因此，采用后處理的方法進(jìn)行圖像去噪很有意義。

關(guān)于磁共振幅度圖像中的噪聲數(shù)學(xué)模型目前仍存在爭議，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為磁共振幅度圖像中的噪聲是Rician 噪聲，但是，也有些學(xué)者認(rèn)為是高斯白噪聲。大多數(shù)MRI 系統(tǒng)都是通過正交檢波在頻域采集成像對象的數(shù)據(jù)：

這里以yi,j是復(fù)觀測數(shù)據(jù)，si,j是復(fù)無噪數(shù)據(jù)，ni,j是復(fù)高斯白噪聲?？紤]相位誤差的影響，通常使用yi,j的模構(gòu)成重建圖像，幅度圖像定義為：

式中nRe和nIm分別表示實部通道和虛部通道的高斯白噪聲，θ表示相位差。由于|yi,j|是兩個獨立高斯隨機(jī)變量平方和的平方根，服從Rician 分布。Rician 噪聲是一種與信號相關(guān)的噪聲，在信噪比高的區(qū)域表現(xiàn)為高斯噪聲，而在信噪比低的區(qū)域是瑞利噪聲。一般MRI 圖像背景區(qū)域的信噪比非常低，因此，圖像背景區(qū)域的噪聲接近瑞利噪聲。Rician噪聲不僅可以引起像素值的隨機(jī)波動，而且可以引入與信號相關(guān)的偏差。

Rician 噪聲的聯(lián)合概率密度從兩個正交通道可以表示為：

它的均值和方差的期望值分別是：

其中，I0和I1表示第一類Bessel 函數(shù)，其中σ0表示噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。

可以看出，不同于被高斯噪聲污染，如果一幅MRI 圖像信號被Rician 噪聲污染，噪聲與信號相關(guān)，并且是真實信號是含噪信號的有偏估計。這些特征也會從空域傳遞到小波域，很難對小波域里的Rician 噪聲建立數(shù)學(xué)模型。所以和高斯噪聲相比，Rician 噪聲更難去除。早期的一些去除Rician 噪聲的方法[1-3]效果都不太理想。比較有代表性的去除Rician 噪聲的方法是文獻(xiàn)[4]中提出了一種多功能的小波噪聲濾波器，它基于廣義似然比的Bayes 萎縮函數(shù)，巧妙的回避了噪聲數(shù)學(xué)模型的這個問題。

考慮Rician 噪聲和高斯噪聲的相關(guān)性，把這些去高斯噪聲算法整合到去除Rician 噪聲的算法中也是一個有效的思路。

1 一種多功能的小波噪聲濾波器

一幅MRI 圖像信號被Rician 噪聲污染，很難對該圖像小波域里的噪聲建立數(shù)學(xué)模型；而對于大多數(shù)的小波去噪方法，噪聲模型是非常重要的，它直接影響著去噪的效果，這是基于小波域去Rician噪聲的主要困難。在文獻(xiàn)[4]中，Pi?urica 提出了一種多功能的小波噪聲濾波器，它基于廣義似然比的Bayes 萎縮函數(shù)，巧妙的解決了這個問題。

設(shè)H1表示假設(shè)“小波系數(shù)對應(yīng)的是信號”，H0表示假設(shè)“小波系數(shù)對應(yīng)的是噪聲”。由統(tǒng)計理論，真實信號的概率密度為：

x的最小均方誤差估計（MMSE）為：

由于在小波域中，式（7）簡化為：

運用根據(jù)Bayes 公式和一些近似，Pi?urica 提出了在實際應(yīng)用時可以選擇的一種基于似然比的萎縮濾波器：

它們分別表示了三個因素，這三個因素決定了某個小波系數(shù)是信號的概率：系數(shù)自身的大?。ㄓ忙莵肀硎荆?；周圍小波系數(shù)的大?。ㄓ忙蝸肀硎荆┖驮撓禂?shù)所在子帶系數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律（用μ來表示）。

μ用來表示先驗信息，一種簡單計算方法可通過統(tǒng)計子帶中二值掩模值為1 和0 的系數(shù)占全部系數(shù)的百分比得到?？梢詫D像做冗余小波分解，這樣每一個小波子帶都具有相同的尺寸。根據(jù)小波系數(shù)的尺度傳遞性，有用信號（如圖像邊緣）小波系數(shù)的幅度隨著分解尺度的增加而增加，而表示噪聲的小波系數(shù)正好系數(shù)則相反。利用該性質(zhì)，令xp表示子帶中小波系數(shù)x的父系數(shù)，可用下式對二值掩模標(biāo)記進(jìn)行估計：

其中，K為控制感興趣信號的因子，σn表示噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，可以利用本層小波系數(shù)的HH 子帶來估計：

進(jìn)而得到：

其中ek=|yk|。

2 基于高斯小波的迭代去Rician 噪聲方法

如前所述，不同于被高斯噪聲污染，如果一幅MRI 圖像信號被Rician 噪聲污染，噪聲與信號相關(guān)，并且是真實信號是含噪信號的有偏估計。這些特征也會從空域傳遞到小波域，很難對小波域里的Rician 噪聲建立數(shù)學(xué)模型，這是基于小波域去Rician噪聲的主要困難。但其實考慮到第四章所討論的諸多小波域中去高斯噪聲的優(yōu)秀算法，以及Rician 噪聲和高斯噪聲的相關(guān)性，把這些算法盡量整合到去除Rician 噪聲的算法中是一個有效的思路。

如果在小波域還是利用去除高斯噪聲的算法，那么可以在進(jìn)行小波變換之前，考慮直接先在空域中減掉這部分偏差。這樣，可以得到一個無偏的MRI 圖像：

和高斯噪聲不一樣，Rician 噪聲的方差也和信號相關(guān)。如果有較為準(zhǔn)確的MRI 復(fù)原圖像，在空域中可以用式（5）估計噪聲方差。對該方差進(jìn)行小波變換，可以在小波域得到比較為準(zhǔn)確的噪聲方差信息，回避了無法在小波域?qū)υ肼暯?shù)學(xué)模型的問題。

可以看到，對于的上面的兩點，MRI 圖像質(zhì)量非常重要，為了得到更加準(zhǔn)確的估計MRI 圖像，可以考慮利用迭代的辦法。所以迭代算法如下：

（1）初始化：

（a）對噪聲圖像進(jìn)行小波變換；

（b）對每一個高頻子帶，估計信號的小波系數(shù)；

（c）小波逆變換得到第一次的估計MRI 圖像。

（2）迭代：

（a）利用式（15），估計無偏MRI 圖像；

（c）對（a）步估計出的無偏MRI 圖像進(jìn)行小波變換；

（d）對（b）步估計出的噪聲方差圖像進(jìn)行小波變換；

（d）對每一個高頻子帶，估計信號的小波系數(shù)（這里噪聲的方差的大小是根據(jù)（d）步的結(jié)果計算）；

（e）小波逆變換得到估計的MRI 圖像；

（f）如果（e）步估計的MRI 圖像和前面一次迭代估計的結(jié)果的絕對平均差大于某個閾值，更新估計圖像，回到2（a）步，繼續(xù)迭代；否則，結(jié)束迭代，得到最終的復(fù)原MRI 圖像。

一般經(jīng)過3～5 次迭代，得到最終的MRI 去噪圖像。可以看到，利用迭代可以一步一步得到越來越準(zhǔn)確的MRI 去噪圖像，而這個MRI 去噪圖像可以幫助在空域中得到無偏MRI 圖像和準(zhǔn)確的噪聲估計，有了這兩點，就可以利用上章中的諸多小波域中去高斯噪聲的優(yōu)秀算法去除MRI 圖像中的Rician噪聲。

3 實驗結(jié)果與分析

將上述提出的迭代算法與一些其他現(xiàn)有的去噪算法進(jìn)行比較。實驗對象是兩個MRI 圖像，對其添加不同噪聲水平的Rician 噪聲。將上述的迭代算法結(jié)合小波域中的Wiener 濾波器（I-WF）和第四章中的三元萎縮濾波器（I-TRISF）與小波域中的Wiener 濾波器（WF）及文獻(xiàn)[4]中多功能的小波噪聲濾波器（VF）進(jìn)行比較。從圖1 和圖2 中可以看出，VF和I-TRISF取得了比較好的去噪效果；另外，相比于WF算法，迭代的I-WF有了明顯的進(jìn)步。從表1 中可以看出，迭代算法能夠有效地提高去噪圖像的信噪比[5-6]。

圖1 不同算法對噪聲MRI 圖像去噪對比

圖2 不同算法對噪聲MRI 圖像去噪對比

表1 不同算法對Rician 噪聲噪聲MRI 圖像去噪SNR（dB）指標(biāo)的比較

4 結(jié)語

核磁共振醫(yī)學(xué)圖像中常出現(xiàn)的Rician 噪聲，如前所述，不同于高斯噪聲，Rician 噪聲與信號相關(guān)，并且是真實信號是含噪信號的有偏估計。實驗證明，基于高斯小波去噪聲方法的迭代算法可以非常有效的去除Rician 噪聲，但仍然有提高的空間，主要的著手點應(yīng)該是對噪聲圖像的理解與識別，使得去噪聲更有針對性和選擇性，后續(xù)將基于邊緣去噪方法進(jìn)行進(jìn)一步的研究。