吳險峰, 趙秀芳, 杜君花, 傅俊偉
(齊齊哈爾大學 理學院數(shù)學系, 黑龍江 齊齊哈爾 161006)
李三系是關于三元括積封閉的李代數(shù)的子空間[1]. 李三系與幾何、 物理密切相聯(lián), 也是李代數(shù)和Jordan代數(shù)之間的橋梁[2-5]. 作為李三系的推廣, 李超三系已成為研究物理系統(tǒng)的重要工具[4,6-7]. 目前, 關于李超三系的研究已有許多成果[8-14]. 特別地, 文獻[4]將Yang-Baxter方程轉(zhuǎn)化為一個三元乘法關系, 從而利用李超三系得出了Yang-Baxter方程的一些新解和一個簡單解. Leger等[15]研究了李代數(shù)的廣義導子代數(shù), 得到了廣義導子代數(shù)及其子代數(shù)的相關性質(zhì), 給出了廣義導子代數(shù)的結(jié)構并描述了李代數(shù)滿足的特殊條件, 指出李代數(shù)的擬導子和上同調(diào)之間存在某種聯(lián)系. 文獻[9,14,16-18]研究了對于更一般的非結(jié)合代數(shù)的廣義導子代數(shù).
目前, 關于Hom-型代數(shù)的研究也得到廣泛關注[17-21]. Hom-李三系是李三系的推廣, 三元Jacobi恒等式由經(jīng)典的三元Jacobi恒等式經(jīng)兩個線性映射扭曲而成, 李三系是Hom-李三系的特殊情形(其中兩個扭曲映射均取為恒等映射). Hom-李超三系是Hom-李三系和李超三系的推廣, 文獻[17]研究了保積Hom-李超三系的廣義導子. 文獻[5]給出了δ-李超三系的概念, 當δ=1時,δ-李超三系即為李超三系. 由于李超代數(shù)均可視為一個特殊的李超三系, 因此δ-李超三系比李超代數(shù)和李超三系更廣泛, 它與Jordan李三系、 李三系、 Freudenthal-Kantor三系、 Jordan李超三系、 Freudenthal-Kantor李超三系、 Jordan李超三系和李超三系等代數(shù)也密切相關. 文獻[21]引入了Hom-δ-李三系的概念, 并給出了其上同調(diào)和形變理論.
作為Hom-δ-李三系和Hom-李超三系的推廣, 本文研究Hom-δ-李超三系的結(jié)構. 首先給出Hom-δ-李超三系T的概念, 通過引入廣義導子、 擬導子、 導子Der(T)、 中心導子之集ZDer(T)、 擬型心QC(T)和型心C(T)的概念, 證明其均可構成線性李超代數(shù)的子代數(shù), 并證明中心導子代數(shù)和型心代數(shù)都是導子代數(shù)的理想, 且ZDer(T)=C(T)∩Der(T). 若T的中心為零, 則[C(T),QC(T)]={0}.
定義1設T是域F上的向量空間, 其上具有三線性映射[·,·,·]:T×T×T→T和線性映射(又稱扭曲映射)α:T→T. 若對任意的x,y,z,u,v∈hg(T), 滿足:
1) ?i,j,k∈Z2, [Ti,Tj,Tk]?Ti+j+k;
2)α([x,y,z])=[α(x),α(y),α(z)];
3) [x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z];
4) (-1)xz[x,y,z]+(-1)xy[y,z,x]+(-1)zy[z,x,y]=0;
5) [α(x),α(y),[z,u,v]]=[[x,y,z],α(u),α(v)]+(-1)(x+y)z[α(z),[x,y,u],α(v)]+δ(-1)(x+y)(z+u)[α(z),α(u),[x,y,v]].
則稱(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系.
由定義1可知, 保積Hom-δ-李超三系是Hom-δ-李三系[21]和Hom-李超三系[17]的推廣.
定義2設(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 存在線性映射D:T→T, 使得對任意的x,y,z∈hg(T), 滿足[D,α]=0和
則D稱為T的η次αk-m-導子, 記Derαk,m(T)為所有αk-m-導子構成的集合.
定義3設(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 存在線性映射D′,D″,D?∈End(T), 使得對任意的x,y,z∈hg(T), 滿足:
[D,α]=[D′,α]=[D″,α]=[D?,α]=0,
δm{[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ηx[αk(x),D′(y),αk(z)]+(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D″(z)]}=D?([x,y,z]),
則稱D∈End(T)為T的η次αk-m-廣義導子.
定義4設(T,[·,·,·],α)是保積Hom-(δ)-李超三系, 存在線性映射D′∈End(T), 使得對任意的x,y,z∈hg(T), 滿足:
[D,α]=[D′,α]=0,
則稱D∈End(T)為T的η次αk-m-擬導子.
令GDerαk,m(T)和QDerαk,m(T)分別是T的η次廣義αk-m-導子和T的η次αk-m-擬導子的集合, 則
易證GDer(T)和QDer(T)都是U的Hom-δ-子代數(shù).
則C(T)稱為T的αk-m-型心.
[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],
則QC(T)稱為T的η次αk-擬型心.
[D(x),αk(y),αk(z)]=D([x,y,z])=0,
則ZDer(D)稱為T的η次αk-m-中心導子.
注3ZDer(T)?Der(T)?QDer(T)?GDer(T)?End(T).
命題1設(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 則下列結(jié)論成立:
1) GDer(T),QDer(T)和C(T)均為U的Hom-δ-子代數(shù);
2) ZDer(T)是Der(T)的Hom-δ-理想.
且
于是, 對任意的x,y,z∈hg(T), 有
假設D1∈Cαk,m(T),D2∈Cαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ. 對任意的x,y,z∈hg(T), 有
注意到
類似地, 有
[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(θ+η)xδm+n[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)].
從而[D1,D2]∈Cαk+s,m+n(T), 于是C(T)是U的Hom-δ-子代數(shù).
2) 假設D1∈ZDerαk(T),D2∈Derαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ. 對任意的x,y,z∈hg(T), 有
注意到
且
則[D1,D2]∈ZDerαk+s,m+n(T), 故ZDer(T)是Der(T)的Hom-δ-理想.
命題2設(T,[·,·,·],α)是特征不等于3的域F上的保積Hom-δ-李超三系, 則:
1) [Der(T),C(T)]?C(T);
2) [QDer(T),QC(T)] ?QC(T);
3) [QC(T),QC(T)]?QDer(T);
4) C(T)?QDer(T);
5) ?D∈C(T),D(Der(T))?Der(T).
證明: 1) 假設D1∈GDerαk,m(T),D2∈Cαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則對任意的x,y,z∈hg(T), 有
類似地, 有
[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(η+θ)xδm+n[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)],
且
[D1,D2]([x,y,z])=(-1)(η+θ)(x+y)δm+n[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)].
則[D1,D2]∈Cαk+s,m+n(T), 從而[Der(T),C(T)]∈C(T).
2) 假設D1∈QDerαk,m(T),D2∈QC(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則
因此
[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(θ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)].
類似地, 有
[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(θ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)].
從而[D1,D2]∈QC(T), [QDer(T),QC(T)]∈QC(T).
3) 假設D1∈QCαk(T),D2∈QCαs(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則對任意的x,y,z∈hg(T), 有
易驗證:
4) 假設D∈Cαk,m(T), 且D的次數(shù)分別為η, 則對任意的x,y,z∈hg(T), 有
δmD([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],
因此
δm3D[x,y,z]=[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ηx[αk(x),D(y),αk(z)]+(-1)η(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],
且D′=3δmD∈End(T), 即D∈QDerαk,m(T).
5) 假設D1∈Cαk,m(T),D2∈Derαs,n(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ, 則對任意的x,y,z∈hg(T), 有
因此D1D2∈Derαk+s,m+n(T).
定理1設(T,[·,·,·],α)是保積Hom-δ-李超三系, 且Z(T)是T的中心. 若α是滿射, 則[C(T),QC(T)]?End(T,Z(T)). 特別地, 若Z(T)={0}, 則[C(T),QC(T)]={0}.
證明: 假設D1∈Cαk,m(T),D2∈QCαs,m(T), 且D1,D2的次數(shù)分別為η,θ. 對任意x,y,z∈hg(T),α是滿射, ?y′,z′∈T, 使得y=αk+s(y′),z=αk+s(z′), 則
因此[D1,D2](x)∈Z(T)且[D1,D2]∈End(T,Z(T)). 特別地, 若Z(T)=0, 則[C(T),QC(T)]={0}.
定理2設(T,[·,·,·],α)是特征不等于2的域F上的保積Hom-δ-李超三系, 則ZDer(T)=C(T)∩Der(T).
證明: 假設D∈Cαk,m(T)∩Derαk,m(T), 且D的次數(shù)為η, 則對任意x,y,z∈hg(T), 有
且
于是2D([x,y,z])=0, 因為域F的特征不等于2, 所以D([x,y,z])=0. 故D∈ZDerαk(T)且C(T)∩Der(T)?ZDer(T). 另一方面, 假設D∈ZDerαk(T), 則D([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=0. 直接驗證可知,D∈Cαk(T)∩Derαk,m(T), ZDer(T)?C(T)∩Der(T). 證畢.