彭鐘琪, 李 媛, 薛益民

(1. 沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 沈陽 110870； 2. 徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221018)

分數(shù)階微分方程在科技、 工程、 經(jīng)濟等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 目前, 關(guān)于分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性和唯一性的研究已取得了許多成果[1-8]. 文獻[9]用錐上不動點定理與Leray-Schauder非線性抉擇理論研究了如下非線性分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性、 多重性和唯一性:

受文獻[9]啟發(fā), 本文考慮如下非線性分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題：

(1)

1 預(yù)備知識

1) ‖Ax‖≤‖x‖, ?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≥‖x‖, ?x∈P∩?Ω2；

2) ‖Ax‖≥‖x‖, ?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≤‖x‖, ?x∈P∩?Ω2.

引理2[12]設(shè)函數(shù)h(t)∈C[0,1], 1<α<2, 則邊值問題:

類似可得

引理3[12]Gi(t,s)(i=α,β)有如下性質(zhì)：

1)Gi(t,s)∈C([0,1]×[0,1]), 且?t,s∈(0,1)有Gi(t,s)>0；

2) 存在函數(shù)γi∈C(0,1), 使得

其中:

易知γi(s)≥1/8.

2 主要結(jié)果

?(u,v)∈X×X, 定義算子T:X×X→X×X為

由引理2知算子T的不動點即為耦合系統(tǒng)(1)的解.

引理4[12]設(shè)f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞)), 則算子T:U→U和T:V→V均是全連續(xù)的.

為方便敘述, 記：

其中:σ={0+,∞};i={α,β};j={1,2,3,4}.

定理1設(shè)f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞)), 若下列條件成立：

1) 存在常數(shù)0

0≤f0+

2) 存在常數(shù)c1>1,d1>1/2, 滿足

則耦合系統(tǒng)(1)至少存在兩個正解(u1,v1)和(u2,v2), 使得0<‖(u1,v1)‖

證明： 由0≤f0+

0<ε1

(2)

0<ε2

(3)

從而存在0

f(t,u,v)≤(f0++ε1)(ua1+vb1) ,t∈[0,1], (u,v)∈[0,L1],

(4)

g(t,u,v)≤(g0++ε2)(ua2+vb2),t∈[0,1], (u,v)∈[0,L1].

(5)

令Ωr1={(u,v)∈V: ‖(u,v)‖

r1

(6)

由式(2),(4),(6)及引理3中2)知, ?(u,v)∈V∩?Ωr1,t∈[0,1], 有

即

(7)

由式(3),(5),(6)及引理3中2)知, ?(u,v)∈V∩?Ωr1,t∈[0,1], 有

即

(8)

由式(7),(8)得, ?(u,v)∈V∩?Ωr1,t∈[0,1], 有

由0≤f∞0, 滿足:

0<ε3

(10)

0<ε4

(11)

從而存在常數(shù)0

f(t,u,v)≤(f∞+ε3)(ua3+vb3),t∈[0,1],u,v>L2,

(12)

g(t,u,v)≤(g∞+ε4)(ua4+vb4),t∈[0,1],u,v>L2.

(13)

由f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞))知, 當(dāng)t∈[0,1]時, 存在非負常數(shù)cα,cβ, 使得

(14)

由式(12)～(14)有

f(t,u,v)≤(f∞+ε3)(ua3+vb3)+cα,t∈[0,1],u,v>0,

(15)

g(t,u,v)≤(g∞+ε4)(ua4+vb4)+cβ,t∈[0,1],u,v>0.

(16)

令ΩR1={(u,v): ‖(u,v)‖

(17)

由式(10),(15),(17)及引理3中2)知, ?(u,v)∈V∩?ΩR1,t∈[0,1], 有

即有式(7). 由式(11),(16),(17)及引理3中2)知, ?(u,v)∈V∩?ΩR1,t∈[0,1], 有

即有式(8). 由式(7),(8)知, ?(u,v)∈V∩?ΩR1,t∈[0,1], 有式(9). 令Ωc1={(u,v):‖(u,v)‖1/2知, ?(u,v)∈V∩?Ωc1,t∈[1/4,3/4], 有

即

(18)

又

即

(19)

由式(18),(19)知, ?(u,v)∈V∩?Ωc1,t∈[1/4,3/4], 有

定理2設(shè)f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞)), 若下列條件成立：

1) 存在常數(shù)m,n≥1, 0

mNα

2) 存在常數(shù)c2>1, 0

則耦合系統(tǒng)(1)至少存在兩個正解(u3,v3)和(u4,v4), 使得0<‖(u3,v3)‖

證明： 由mNα0, 滿足

0<η1

(21)

0<η2

(22)

從而存在常數(shù)0

f(t,u,v)≥(f0+-η1)(um1+vn1),t∈[0,1],u,v∈[0,L3],

(23)

g(t,u,v)≥(g0+-η2)(um2+vn2),t∈[0,1],u,v∈[0,L3].

(24)

對s∈[1/4,3/4], 由V的定義有

所以

(25)

r2

(26)

由式(21),(23),(25),(26)及引理3中2)知, ?(u,v)∈V∩?Ωr2,t∈[1/4,3/4], 有

即

(27)

由式(22),(24)～(26)及引理3中2)知, ?(u,v)∈V∩?Ωr2,t∈[1/4,3/4], 有

即

(28)

由式(27),(28)知, ?(u,v)∈V∩?Ωr2,t∈[1/4,3/4], 有

由nNα0, 滿足:

0<η3≤f∞-η3,

(30)

0<η4≤g∞-η4.

(31)

從而存在1

f(t,u,v)≥(f∞-η3)(um3+vn3),t∈[0,1],u,v>L4,

(32)

g(t,u,v)≥(g∞-η4)(um4+vn4),t∈[0,1],u,v>L4.

(33)

令ΩR2={(u,v)∈V: ‖(u,v)‖

R2>max{c2,16L4}.

(34)

由式(30),(32),(34),(25)及引理3中2)知, 當(dāng)t∈[1/4,3/4], ?(u,v)∈V∩?ΩR2, 有

即有式(27). 由式(31),(33),(34),(27)及引理3中2)知, 當(dāng)t∈[1/4,3/4], ?(u,v)∈V∩?ΩR2, 有

即有式(28). 由式(27),(28)知, ?(u,v)∈V∩?ΩR2,t∈[1/4,3/4], 有式(29). 令Ωc2={(u,v): ‖(u,v)‖

即

(35)

又

即

(36)

由式(35),(36)知, ?v∈V∩?Ωc2,t∈[0,1], 有