仲 秦，閆 杰，張曉峰，武文斌

(1 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072； 2 西安現(xiàn)代控制技術研究所，西安 710065)

0 引言

為保障超燃沖壓發(fā)動機穩(wěn)定工作，吸氣式高超聲速飛行器姿態(tài)角及姿態(tài)角速度都必須滿足一定約束。針對狀態(tài)輸出的約束問題，國內(nèi)外學者開展了一系列的研究[1-7]：文獻[3-4]基于不變集控制方法，設計滑?？刂破鳎谡{(diào)節(jié)狀態(tài)受約束的問題上效果良好，但沒有對跟蹤問題加以研究。文獻[5]采用一種基于障礙Lyapunov函數(shù)的狀態(tài)約束航跡傾角跟蹤控制方法，對航跡傾角模型的參數(shù)化方程采用BLF反步法，在滿足攻角約束的條件下，可實現(xiàn)對航跡傾角的無差跟蹤。文獻[6]考慮了高超聲速飛行器工作過程的多狀態(tài)約束，在高度回路中引入了指令調(diào)節(jié)器，基于PI+LQ的方法設計過載控制器，產(chǎn)生的過載信號生成指令、控制器跟蹤指令完成高度跟蹤，該控制系統(tǒng)能夠滿足一定條件下的狀態(tài)約束并實現(xiàn)快速跟蹤。文獻[7]提出了一種兼顧多約束和控制性能的魯棒姿態(tài)控制方法，采用IBLF方法保證攻角約束，通過輔助誤差子系統(tǒng)降低飛行器輸入飽和非線性對閉環(huán)系統(tǒng)的影響，同時引入非線性干擾觀測器對參數(shù)攝動及外部干擾進行估計和補償，最終通過Lyapunov理論證明及仿真實驗，驗證了該控制器的有效性。

文中針對前述受限控制問題，利用單向輔助面滑模控制方法，設計跟蹤控制器，使其滿足狀態(tài)及控制量約束，求解簡單，跟蹤指令信號迅速，通過對飛行器的姿態(tài)控制器的設計，對方法進行仿真驗證，證明了其的有效性。

1 受限控制問題的單向輔助面設計

對于一個線性時不變系統(tǒng)，其描述如下：

(1)

式中：A∈Rn×n，B∈Rn×n，輸出矩陣C∈Rq×n，且A、B可逆。約束要求為系統(tǒng)狀態(tài)不能超過預設的邊界，表示如下：

對于任意的t≥0有x(t)∈Ψ，并有：

(2)

(3)

可以得到，平衡狀態(tài)下，控制量和狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)值為：

(4)

(5)

設控制器結(jié)構如下所示：

(6)

(7)

單向輔助面滑?？刂破髟O計步驟如下：

Step 1選擇合適的組合切換面

(8)

式中：c1=diag[c11,…,c1n],c2=diag[c21,…,c2n],S1(e)=[S11,…,S1n]T,S2(e)=[S21,…,S2n]T,c1i>0,c2i>0,c1i≠c2i,i∈{1,2,…,n}。

將第i維的誤差和誤差積分組成的平面分為4個子區(qū)域，分別記為第ki子區(qū)域，k=0,1,2,3。如圖1所示。

圖1 切換面劃分二維空間示意圖

根據(jù)誤差的選取要求，如圖1所示取適當?shù)狞cPS1i+、PS1i-、PS2i+、PS2i-,滿足：

點PS1i+、PS1i-、PS2i+、PS2i-組成凸四邊形Δ，滿足-ai≤ei≤ai(ai>0)，并組成線段H0i、H1i、H2i、H3i，作為該系統(tǒng)的單向輔助面。

(9)

式中：H0i=0,H1i=0,H2i=0,H3i=0分別表示單向輔助面線段所在直線的數(shù)學方程；ωki1,ωki2,Mki,k∈{0,1,2,3},表示這4個直線方程中對應的系數(shù)。

Step 3考慮當前單向輔助面的第i個分量

其中：

設計對于誤差動態(tài)方程(7)的狀態(tài)輸出約束滑?？刂破?，即：

(10)

對原系統(tǒng)而言，所需的控制信號即為式(6)所示。

對于任意給定的初始條件P(t0)，選定了組合切換面后，可組成以P(t0)為邊界的凸四邊形，構成正不變集。所設計的控制器能夠完成正不變集控制[8]。常值跟蹤問題中，當跟蹤信號確定后，控制器初值由系統(tǒng)狀態(tài)初值與誤差信號初值確定，隨狀態(tài)演進，誤差信號最終將單調(diào)達到0，系統(tǒng)完成跟蹤。

圖2 誤差狀態(tài)變化趨勢圖

具體設置如下：

由于控制量單調(diào)變化，對于滿足控制約束和給定跟蹤范圍的初始狀態(tài)范圍也由下式確定：

(11)

不論起點在0i子區(qū)域還是在3i子區(qū)域，c1-1c2都是常值矩陣(0i子區(qū)域或3i子區(qū)域c1、c2數(shù)值大小相等，符號相同)。求解u(t0)、u(t)∈[umin,umax]，就可以得到在給定控制范圍xi∈[ni,mi]，控制受限情況下起控點x0應該滿足的范圍。在此范圍內(nèi)，控制器可實現(xiàn)在控制量受限時跟蹤參考信號且狀態(tài)單調(diào)收斂于參考信號。起控點x0滿足的范圍即為該型控制結(jié)構下，控制系統(tǒng)所能滿足跟蹤指標要求的狀態(tài)邊界。通過對c1-1c2的合理取值，可以得到滿足要求的控制器。

2 仿真驗證

以某鴨尾舵復合控制的高超聲速飛行器為研究對象[9]，其縱向平面姿態(tài)運動微分方程為：

其中：ue、uc分別表示飛行器尾舵、鴨舵控制量。飛行器攻角要求保持在2°±1°范圍內(nèi)，俯仰角速率達到誤差范圍[-1°/s,5°/s],飛行器舵偏應滿足的條件為:ue、uc∈[-20°,20°]。

欲使該范圍都處于正不變集，需要使范圍內(nèi)的4個頂點((3,5),(3,-1),(1,5),(1,-1))代入式(11)中，滿足控制量約束。

設置切換面為：

圖3 正不變集區(qū)域示意圖

圖3中三角形標注的位置表示控制指令。小長方形表示要求的狀態(tài)量變化范圍。實線與虛線之間的區(qū)域為控制量約束所形成的正不變集。在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)都能滿足控制量約束的情況下跟蹤控制指令。

取初始值α0=-2°，q0=10°/s?？刂浦噶钤O為[2,0]。得到的響應曲線如圖4～圖7。

圖4 飛行器攻角誤差變化曲線

圖5 飛行器俯仰角速率誤差變化曲線

由仿真可知，用該方法設計的控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)飛行器俯仰角速率的快速穩(wěn)定，攻角的快速無靜差跟蹤，用舵量保持在±20°內(nèi)，滿足要求，系統(tǒng)狀態(tài)滿足約束條件。

圖6 狀態(tài)量變化曲線

圖7 控制量變化曲線

3 結(jié)論

文中研究了線性系統(tǒng)狀態(tài)輸出及控制量輸入有界約束跟蹤問題。通過理論證明和仿真實驗可知，對于給定的狀態(tài)約束，可以設計包含該約束的不變集控制器。當初始狀態(tài)滿足控制量約束時，系統(tǒng)狀態(tài)能夠無靜差跟蹤指令，且各個狀態(tài)量單調(diào)收斂，達到約束邊界條件后將始終滿足狀態(tài)約束。對于未知的瞬時干擾，只要不使系統(tǒng)狀態(tài)出離該不變集控制區(qū)域，系統(tǒng)依然能夠?qū)顟B(tài)調(diào)節(jié)到指定位置，且控制量滿足約束。基于不變集控制方法的調(diào)節(jié)器可以完成對非線性控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié),文中所推導的跟蹤控制器如何應用于非線性系統(tǒng)尚待進一步研究。另外，如何加強系統(tǒng)的魯棒性，克服由于模型不確定性引起的偏差，也值得深入探討。