徐 玲， 張娟娟， 馬巧珍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引 言

假設(shè)Ω是R2中的具有光滑邊界?Ω的有界開區(qū)域. 本文主要討論帶有強(qiáng)阻尼項(xiàng)Δ2ut的非自治Kirchhoff型吊橋方程

拉回D-吸引子的存在性，其中u(x,t)表示橋面在垂直方向的運(yùn)動，k2>0表示彈性系數(shù)，常數(shù)p∈R表示作用在橋面末端的軸向外力，當(dāng)p>0時(shí)表示橋被擠壓，否則橋被拉伸,

(F3) |f(u)|≤C2(1+|u|p)，?p≥1，?u∈R,

1990年，Lazer和McKenna[1]討論了吊橋方程

utt+Δ2u+αut+ku+=w(x,t)+f(x)

(2)

弱解的存在性.隨后，諸多學(xué)者研究了問題(2)的周期解和數(shù)值模擬[2-4].另一方面，鑒于吸引子能夠有效地描述非線性發(fā)展方程所產(chǎn)生的動力系統(tǒng)的最終狀態(tài)或長時(shí)間的發(fā)展行為, 很好地反映自然界的許多非線性現(xiàn)象，人們也開始廣泛研究非線性發(fā)展方程的吸引子及其性質(zhì)[5-11]. 特別地，2005年，文獻(xiàn)[5]獲得了耦合吊橋方程全局吸引子的存在性.接著，人們對吊橋方程及耦合系統(tǒng)整體強(qiáng)解和吸引子的存在性進(jìn)行了廣泛的研究[6-11].如果考慮到橋梁的軸向拉伸而產(chǎn)生的軸向拉力[12]，就得到了Kirchhoff型吊橋方程(1).

在文獻(xiàn)[13]中，當(dāng)外力項(xiàng)g∈L(R+;L2(Ω))和時(shí)，作者獲得了方程(1)有界吸收集的存在性，并在g不顯含時(shí)間t時(shí)證明了該問題弱解的全局吸引子的存在性及正則性.然而對于問題 (1)拉回吸引子的存在性尚無相關(guān)結(jié)果.本文運(yùn)用文[14-15]中的方法研究非線性項(xiàng)滿足條件(F1)～(F3)時(shí)問題(1)拉回D-吸引子的存在性.

2 預(yù)備工作

((u,v))，?u,v∈V.

(3)

其中λ1>0是A的第一個(gè)特征值.

下面介紹本文用到的基本概念和抽象結(jié)論，參見文獻(xiàn)[14-15].

設(shè)(E,d)是完備的度量空間，(Q,ρ)為度量空間，也被稱為符號空間.我們定義共圈映射φ:R×Q×E為非自治動力系統(tǒng)，它是由連續(xù)的動力系統(tǒng)作用在符號空間Q上而獲得.特別地，θ={θt}t∈R是定義在Q上的動力系統(tǒng)，滿足以下性質(zhì)：

(i)θ0(q)=q，?q∈Q；

(ii)θt+τ(q)=θt(θτ(q))，?q∈Q，τ,t∈R；

(iii) 映射(t,q)→θt(q)連續(xù).

定義2.1若φ滿足

(i)φ(0,q,x)=x，?(q,x)∈Q×E；

(ii)φ(t+s,q,x)=φ(s,θt(q),φ(t,q,x)x)，?s,t∈R+，(q,x)∈Q×E,

則稱映射φ:R+×Q×E→E是由θ誘導(dǎo)出的共圈映射.

根據(jù)上述定義可知，(θ,φ)構(gòu)成Q×E上的非自治動力系統(tǒng).

φ(t,θ-t(q),Dθ-t(q))?Bq，

(i)P(∪t≥t0φ(t,θ-t(q),Dθ-t(q)))有界；

(ii) ‖(I-P)(∪t≥t0φ(t,θ-t(q),Dθ-t(q)))‖E≤ε，

則稱(θ,φ)為拉回D-條件(C)，其中P:E→E1是有界投影算子.

定理2.4設(shè)(θ,φ)是定義在Q×E上的非自治動力系統(tǒng).如果

3 主要結(jié)果

問題(1)的解的適定性以及解對初值的連續(xù)依賴性可由Faedo-Galerkin逼近方法獲得，這里不再陳述，我們直接給出下面的結(jié)果.

ut∈C(Rτ;V)，ut(t)∈C(Rτ;H)

(4)

其中Rτ=[τ,+).

φ(t,τ,yτ0)=y(t+τ,τ,y0)=(u(t+τ),ut(t+

τ))，τ∈R，t≥0，y0∈E0

且

φ(t+s,τ,y0)=φ(t,s+τ,φ(s,τ,y0))，

τ∈R，s≥0，t≥0.

由上述定義可知，映射φ:E0→E0是連續(xù)共圈映射.

(5)

設(shè)Rδ是由全體泛函r:R→(0,+)構(gòu)成的集合，存在常數(shù)δ>0，使得

(6)

引理3.2[7,9]假設(shè)f∈C2(R)，f(0)=0且滿足(F3)，則f:V→H緊連續(xù).

?t∈R,

其中δ>0是常數(shù)，Pm:V→span{w1,w2,…,wm}是正交算子.

k2(u+,ψ)=(g(t),ψ)-(f(u),ψ)

(7)

由Young不等式和H?lder不等式可得

(8)

(9)

根據(jù)條件(F2)可得，存在常數(shù)K1>0,使得

(10)

由 (10) 式可得

(11)

由于

(12)

(13)

(14)

由條件(F1)可得，存在常數(shù)K2>0,使得

?u∈V

(15)

定義

根據(jù) (15) 式有W(t)≥0且

‖g(t)‖2+εp2

(16)

兩邊同時(shí)乘以eδt,有

‖g(t)‖2+εp2).

在[t-τ,t]上對上式取積分，可得

(17)

(18)

從而由(15)式可得到

(19)

因此我們有

(20)

令

(21)

我們要得到問題 (1) 在E0中存在拉回Dδ,E-吸引子，由定理2.4知，我們只需驗(yàn)證拉回Dδ,E0-條件(C).

在H中用ψ2=u2t+εu2和方程(1)作內(nèi)積可得

(g(t),ψ2)-(f(u),ψ2)

(22)

由于

(23)

(24)

由Poincaré不等式，Young不等式和H?lder不等式得

(25)

由于

|f(u),ψ2|≤|((I-Pm)f(u),ψ2)|≤

(26)

|g(t),ψ2|≤|((I-Pm)g(t),ψ2)|≤

(27)

將(23)～(27)式代入(22)式，得到

(28)

(29)

記

由(4)式可知

(30)

其中

則由(29)式可得到

(31)

上式兩邊同乘eηt可得

(32)

利用Gronwall引理，對上式在[t-τ,t]上積分可得

χ(t)≤χ(t-τ)e-η τ+

(33)

由于

對?t∈R,ε1>0，存在t1∈(t-τ,t),τ1>0使得u(s)=u(s,t-τ,y0)∈Bδ.因此對任意τ≥τ1,s∈[t-τ,τ1],y0∈D(t-τ)有

(34)

?s∈[t1,t],y0∈D(t-τ).

由引理3.2可知，?ε1>0,m≥m1,τ≥τ1，可得

(35)

再次，由引理3.3，取足夠大的m，使得

(36)

最后，由(6)式可知，存在τ2≥0，使得

(37)

取τ0=max{τ1,τ2}，由(34)～(37)式即得

y0∈D(t-τ).

從而由定理2.4可得到，問題(1)對應(yīng)的非自治動力系統(tǒng)(θ,φ)在E0中存在拉回Dδ,E0-吸引子.證畢.