曹浩　彭羅

摘 要：為解決以柔順度最小化為目標(biāo)的多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，提出了一種新的拓?fù)鋬?yōu)化求解方法。首先，基于RAMP方法和Heaviside過濾函數(shù)形成設(shè)計(jì)變量和物理變量，構(gòu)建以柔順度為目標(biāo)的多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型及近似優(yōu)化模型;然后，采用榮見華等提出的改進(jìn)交替主動(dòng)相算法，最后，采用MMA求解器優(yōu)化求解。給出的算例結(jié)果表明，與現(xiàn)有方法相比，該方法可以得到更優(yōu)的拓?fù)浣?，并解決多相材料結(jié)構(gòu)單元幾種材料并存的問題。

關(guān)鍵詞：Heaviside過濾;交替主動(dòng)相;MMA求解

中圖分類號：TB34文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1003-5168（2020）13-0055-03

Topological Optimization Design of Multiphase

Materials Based on Heaviside Filtering

CAO Hao PENG Luo

（School of Automotive and Mechanical Engineering， Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan 410076）

Abstract： In order to solve the topology optimization problem of multiphase material structure with the objective of minimizing the flexibility， a new topology optimization method was proposed. Firstly， based on the RAMP method and the Heaviside filter function， the design variables and physical variables were formed， and the topological optimization model and the approximate optimization model of the multiphase material structure with the flexibility as the goal were constructed. Then， the improved alternating active phase algorithm proposed by Rong Jianhua and others was used， and finally， the MMA solver was used to optimize the solution. The results show that compared with the existing method， this method can get better topological solution and solve the problem that there are several materials coexisting in the multiphase material structure element.

Keywords： Heaviside filtering;alternating active phases;MMA solution

1 研究背景

在解決多相材料結(jié)構(gòu)單元幾種材料并存的問題時(shí)仍存在一定的難度。在單相材料拓?fù)鋬?yōu)化中，為減少結(jié)構(gòu)拓?fù)渲写嬖诘囊恍┲虚g密度單元或灰度單元，Guest等首先提出了采用Heaviside函數(shù)進(jìn)行過濾的方法[1]。之后，Sigmund在改進(jìn)的Heaviside密度過濾方法基礎(chǔ)上提出了基于形態(tài)學(xué)的過濾方法，該類方法都能獲得0/1分布較為清晰的優(yōu)化結(jié)果[2]。Sigmund采用密度過濾和Heaviside密度映射對柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，獲得了清晰的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋄3]。Cui等提出用Heaviside閾值函數(shù)解決多相材料結(jié)構(gòu)單元有幾種材料并存的問題[4]。在設(shè)計(jì)變量變化較大時(shí)，結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo)出現(xiàn)較大跳躍，導(dǎo)致出現(xiàn)求解振蕩問題。

2 多相材料插值模型

為了獲得清晰的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化解，采用Guest等[5]提出的光滑Heaviside函數(shù)，將單元設(shè)計(jì)變量[ρsi]形成物理變量場[ρsi]，使用物理變量[ρsi]進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析。

根據(jù)Zhou等[6]提出的RAMP材料插值模型，提出改進(jìn)的RAMP材料插值模型，構(gòu)建單元?jiǎng)偠染仃嚨谋硎臼剑?/p>

式中，[v]為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，取值為6;[Ki]表示當(dāng)[m]相實(shí)體材料的物理變量為[ρsi]時(shí)第[i]號單元的剛度陣;[K0i]表示單元的彈性模量為1.0時(shí)第[i]號單元的剛度陣;[Emin]表示一個(gè)極小的值。

結(jié)構(gòu)中任意的設(shè)計(jì)單元有

本文以結(jié)構(gòu)柔順度最小化為目標(biāo)，實(shí)體材料體積為約束的多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型近似表示為式（4）：

式中，[Cρ]表示結(jié)構(gòu)柔順度;[V（0）]表示初始設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)體積;[Vk+1s]表示第[k+1]步第[s]相材料的體積限，計(jì)算公式為：

式中，[γ1]取0.01（本文中所有算例）;[Vk+1s]相對于外循環(huán)迭代步數(shù)[k]是單調(diào)變化的，從而確保有限迭代步后，[β]為曲率參數(shù)[β]變化后的第一迭代步的迭代步編號的集合;[V（k）]表示第[k]迭代步設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)體積。

3 目標(biāo)函數(shù)和體積的靈敏度分析

結(jié)構(gòu)的任意性能函數(shù)[f（ρ）]對設(shè)計(jì)變量[ρsi]的導(dǎo)數(shù)可表示為：

目標(biāo)函數(shù)結(jié)構(gòu)柔順度對設(shè)計(jì)變量[ρsi]的一階導(dǎo)數(shù)為：

對于任意相實(shí)體材料體積對設(shè)計(jì)變量[ρsi]的一階導(dǎo)數(shù)表示式：

4 改進(jìn)的交替主動(dòng)相算法及求解優(yōu)化

Tavakoli等[7]提出交替主動(dòng)相方法解決多相材料的求解問題，之后俞燎宏等[8]改進(jìn)交替主動(dòng)相算法。本文引用俞燎宏等人的交替主動(dòng)相算法進(jìn)行優(yōu)化求解，用[a]和[b]分別表示這兩相主動(dòng)相材料[[a=1，2，…，m];[b=a+i（i=1，2，…，m-a）]]，則將式（3）轉(zhuǎn)化為：

設(shè)[yq=x（a-1）×N+i]，將[ρa(bǔ)i=x（a-1）×N+i]作為主動(dòng)設(shè)計(jì)變量，[ρbi=x（b-1）×N+i]作為從動(dòng)設(shè)計(jì)變量，其他變量不變。從動(dòng)設(shè)計(jì)變量可以看作是主動(dòng)設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，由式（10）得：

將優(yōu)化模型式（4）的求解轉(zhuǎn)化為式（13）二元相拓?fù)鋬?yōu)化子模型的求解。

最后可采用MMA算法對子模型式（13）進(jìn)行求解，然后，循環(huán)此過程，直到[r=m（m-1）/2]。取[ρsi=x（k+1），m（m-1）/2（s-1）×N+i]更新設(shè)計(jì)變量，完成一次內(nèi)迭代循環(huán)。

5 優(yōu)化算例

采用本文提出的Heaviside函數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化方法解決多相材料結(jié)構(gòu)單元有幾種材料并存的問題，設(shè)計(jì)域如圖1所示。邊界條件為：左邊固定約束，右邊下端點(diǎn)作用一個(gè)垂直向下的載荷[F=1]，泊松比[ν]=0.3。初始設(shè)計(jì)域被離散成4 608（長[L]=96個(gè)，寬[H]=48個(gè)）個(gè)四節(jié)點(diǎn)平面單元，過濾半徑[rmin=3.0?]（[?]是結(jié)構(gòu)單元邊長的最小尺寸）。

假設(shè)結(jié)構(gòu)由2相實(shí)體材料和1相空洞材料組成。第1相和第2相實(shí)體材料的彈性模量分別為1和2，第3相材料（空洞材料）的彈性模量設(shè)為[1.0e-9]。第1相和第2相實(shí)體材料目標(biāo)體積比分別預(yù)定為15%和25%。此算例中，體積指數(shù)[αv]取1.025，體積約束限參數(shù)[γ1]取0.01，收斂參數(shù)取[ε1=0.01]。

表1給出了實(shí)體相體積比、柔順度和灰度值的優(yōu)化特性數(shù)據(jù)，由表1中灰度比值可知，構(gòu)型黑白比轉(zhuǎn)化為0.002，已經(jīng)達(dá)到了0/1分布的要求，拓?fù)錁?gòu)型清晰度已經(jīng)非常清晰了。圖2給出了柔順度和實(shí)體相體積的優(yōu)化歷程曲線。

優(yōu)化歷程曲線

圖3是分別采用本文方法和Tavakoli R等人提出的[7]方法求解優(yōu)化問題時(shí)獲得的局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱D以及其最小柔順度值。從圖3可知，由本文方法優(yōu)化得到的最后的拓?fù)錁?gòu)型，實(shí)體相構(gòu)型邊緣呈鋸齒狀，表明已得到非常清晰的拓?fù)錁?gòu)型。

6 結(jié)論

本文針對多相材料拓?fù)鋬?yōu)化問題，提出了一種新的解決多相材料結(jié)構(gòu)單元幾種材料并存的問題的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化求解方法。通過本章理論推導(dǎo)和數(shù)值算例驗(yàn)證，確定了本文方法的可行性。本文提出一個(gè)新的靈敏度過濾Heaviside函數(shù)，引入改進(jìn)的RAMP插值函數(shù)使得拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)能穩(wěn)定收斂到最優(yōu)解。采用本文方法分別對三相材料進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，對比現(xiàn)有文獻(xiàn)方法，得到更優(yōu)的拓?fù)鋬?yōu)化解。本文方法很好地解決了多相材料拓?fù)錁?gòu)型不清晰的問題，并獲得較好的結(jié)構(gòu)拓?fù)洹?/p>

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收稿日期：2020-04-08

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金 （11772070，11372055）;中國建筑第五工程局有限公司科研項(xiàng)目。

作者簡介：曹浩（1994—），男，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì);彭羅（1995—），男，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。