【摘 要】極限的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。極限計(jì)算方法眾多，學(xué)生通常容易掌握各種不同類型的未定式的極限計(jì)算，但對(duì)數(shù)列極限的計(jì)算普遍感到比較困難。本文從一道數(shù)列極限的計(jì)算題出發(fā)，結(jié)合教材常規(guī)題型，分析數(shù)列極限計(jì)算題型的解題思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列極限;單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則;遞推式

1? ?問題提出

極限的思想貫穿高等數(shù)學(xué)整本教材。因此，極限的計(jì)算在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中非常重要，而且，由于極限思想滲透到各個(gè)章節(jié)，所以極限的計(jì)算方法也豐富多彩。這一方面激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)這一塊的興趣，另一方面學(xué)習(xí)這一塊是比較具有挑戰(zhàn)性的，學(xué)生會(huì)時(shí)常遇到困難。抽象的數(shù)列極限計(jì)算題或者證明題，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)難點(diǎn)。筆者在教學(xué)過程中，遇到學(xué)生問這樣一道計(jì)算數(shù)列極限的題。

這是一道給出通項(xiàng)遞推式的極限題。學(xué)生給出的上述解答過程是不是正確的呢？不妨回憶教材所學(xué)內(nèi)容，尋找突破口。在教材中，常遇到已知通項(xiàng)遞推式求數(shù)列極限的題，如例2。

2? ?問題分析

例2 已知，證明存在并求出該極限。

例2的求解過程分為兩步，第一步先證明數(shù)列單調(diào)有界，保證極限存在;第二步在遞推公式兩邊同時(shí)取極限，解出具體的極限值?？梢园l(fā)現(xiàn)例1（解法一）直接進(jìn)行了第二步，而沒有證明該極限存在，因此還必須先證明該極限是存在的。而對(duì)例1的前面幾項(xiàng)進(jìn)行試算，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列不具有單調(diào)的趨勢(shì)。這就給解題造成了困難，常規(guī)的單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則不能用了，那該怎么辦呢？遇到這種情況，通常有兩種思路，一種是另尋他法來(lái)證明極限存在，如例3所示;另一種是找出的通項(xiàng)表達(dá)式，直接計(jì)算。

例3是先假設(shè)極限存在，推算出極限值后，再根據(jù)極限的定義證明該極限等于推算出的極限值。我們知道極限的定義可以用來(lái)證明極限存在，但不能直接求出極限值。因此對(duì)于沒有單調(diào)性的數(shù)列，可以采用這樣一種方式來(lái)處理。那么，回到例1，按照例3的思路，如果要完善解法一的解答過程，就可以嘗試去證明。

對(duì)于例1的解法一，由于，用數(shù)學(xué)歸納法證明，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立;設(shè)時(shí)，，則有，結(jié)論成立。下面證明。

經(jīng)過這樣一個(gè)補(bǔ)充，就完善了例1解法一的解答過程。那么在做完善工作時(shí)都是對(duì)已有的題型進(jìn)行分析，做一個(gè)類似的模仿。這種模仿不僅幫助學(xué)生有效地解決了問題，同時(shí)也展示了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方法。學(xué)生不斷模仿，不斷摸索，不斷總結(jié)，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，提高自己的解題能力。特別是在遇到復(fù)雜問題的時(shí)候，要從更基礎(chǔ)的更簡(jiǎn)單的類似問題尋找突破口。只有常規(guī)思路用得得心應(yīng)手了，才能一眼發(fā)現(xiàn)問題，從而解決問題。

在上述解答過程中用到了無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的知識(shí)，等比級(jí)數(shù)。解法二成功地避開了證明，但也對(duì)解題者知識(shí)掌握的綜合程度要求更高。

例1的求解過程，很好地展現(xiàn)了“已知，求”這一類數(shù)列極限題的常規(guī)思路：先用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明存在，再設(shè)遞推式對(duì)兩邊同時(shí)求極限，得到最后的極限值A(chǔ);如果單調(diào)有界準(zhǔn)則證明受阻，就退而求其次，先假設(shè)極限存在并求出A，然后再用定義去證明。這里還有一種思路就是由遞推式得到具體的，然后直接計(jì)算，從而避開極限單調(diào)性的證明。

3? ?結(jié)語(yǔ)

本文從一道數(shù)列極限題入手，提供了一種解題的思路，那就是當(dāng)學(xué)生遇到比較困難、比較復(fù)雜的題型的時(shí)候，要善于跟教材上的基礎(chǔ)題型、跟已接觸過的一些題型作類比，作思維的遷移，從而保證探索復(fù)雜題的有效性。這樣既能快速找到解題的切入口，也能提高解題的準(zhǔn)確率。

【作者簡(jiǎn)介】

鄭彭丹（1981～），女，湖南岳陽(yáng)人，碩士研究生，講師，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。