楊 靜，楊 鳴，陸征一

（1.中國科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所，四川成都610041； 2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049；3.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

1 預(yù)備知識(shí)

時(shí)間可逆是自然科學(xué)中最重要的對(duì)稱性原理之一，其概念源于Birkhoff對(duì)三體運(yùn)動(dòng)的研究[1].文獻(xiàn)[1]的模型存在對(duì)合映射，且此模型是關(guān)于這個(gè)對(duì)合映射的不動(dòng)點(diǎn)集合對(duì)稱的.周期解一直是微分動(dòng)力系統(tǒng)關(guān)注的對(duì)象.特別是1900年Hilbert提出了著名的23個(gè)問題后，極限環(huán)和中心成為學(xué)者們不斷關(guān)注的焦點(diǎn).1976年，Devaney[2]給出了可逆系統(tǒng)的定義.特別地，對(duì)平面解析微分系統(tǒng)，可逆中心也是一個(gè)廣泛研究的課題.關(guān)于可逆微分動(dòng)力學(xué)的研究見文獻(xiàn)[2-3].2000 年，Zhang 等[4]得到了一類特殊三次可逆系統(tǒng)弱中心的條件.2001年，Teixeira等[5]得到：如果系統(tǒng)的一次近似為（-y，x），那么系統(tǒng)是φ-時(shí)間可逆的當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)是它的中心，并獲得當(dāng)系統(tǒng)一次近似為（y，0）時(shí)，原點(diǎn)是中心的充分或必要條件.2008年，Romanovski[6]給出了尋找給定二維多項(xiàng)式自治微分系統(tǒng)是時(shí)間可逆系統(tǒng)的 Zariski閉集的算法.2011 年，Giné等[7]研究了退化和非退化情形下的時(shí)間可逆和中心的關(guān)系.2017年，Wei等[8]研究了廣義對(duì)合微分可逆系統(tǒng)的性質(zhì).2018年，Han等[9]研究了平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)可以通過仿射變換變成時(shí)間可逆系統(tǒng)的條件.

對(duì)于給定的多項(xiàng)式微分系統(tǒng)

判斷原點(diǎn)是否為該系統(tǒng)的中心型平衡點(diǎn)，一般地，用Poincaré形式冪級(jí)數(shù)法.但實(shí)際上該方法依賴于焦點(diǎn)量的計(jì)算，這對(duì)計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)來說是十分復(fù)雜的任務(wù).因此，通常將得到中心充要條件的過程分為兩步：首先通過計(jì)算系統(tǒng)的前幾階焦點(diǎn)量得到中心的必要條件，然后再判斷這些必要條件是否充分.充分性的驗(yàn)證，可以通過積分因子[10]和Poincaré原理[11]來做到.實(shí)際上，時(shí)間可逆是Poincaré對(duì)稱原理的一般化.這是因?yàn)?，滿足Poincaré對(duì)稱原理的系統(tǒng)也是在特殊映射下的時(shí)間可逆系統(tǒng)，只需要映射使得系統(tǒng)的相圖關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.后面將在第二節(jié)對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)討論.即便如此，計(jì)算焦點(diǎn)量仍舊十分困難，特別是在階數(shù)高的情形.理論上可以利用時(shí)間可逆系統(tǒng)和中心的關(guān)系，得到標(biāo)準(zhǔn)型中心焦點(diǎn)系統(tǒng)為中心的充要條件，從而避免復(fù)雜的焦點(diǎn)量計(jì)算.

Wang[12]考慮了一類三次系統(tǒng)

并給出了該系統(tǒng)原點(diǎn)為中心的充分條件.最近，唐璐等[13]利用時(shí)間可逆系統(tǒng)的性質(zhì)得到了系統(tǒng)（2）的另一組原點(diǎn)為中心的充分條件.本文利用時(shí)間可逆系統(tǒng)性質(zhì)，得到了其在線性對(duì)合下時(shí)間可逆的充要條件.再利用時(shí)間可逆與中心的關(guān)系，更大程度地?cái)U(kuò)展了系統(tǒng)原點(diǎn)為中心的充分條件.解決上述問題的關(guān)鍵在于確定多項(xiàng)式系統(tǒng)的零點(diǎn).計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)中的結(jié)式、Gr?bner 基方法[14]和 Regular Chain方法[15]常被用于解決這類問題.本文通過Regular Chain方法來求解多項(xiàng)式系統(tǒng)，從而得到上述多項(xiàng)式系統(tǒng)零點(diǎn)集的一個(gè)劃分，并通過討論這些劃分中的含參系統(tǒng)有實(shí)數(shù)解的充要條件，得到系統(tǒng)是時(shí)間可逆的充要條件.

2 Poincaré對(duì)稱原理與時(shí)間可逆系統(tǒng)

考慮 Cr微分系統(tǒng)（r∈N∪｛∞，ω｝），

F（x）∈R2是一個(gè)向量值函數(shù)，且原點(diǎn)是其對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心.N是正整數(shù)集合，C∞表示無窮光滑代數(shù)，Cω表示在規(guī)定區(qū)域內(nèi)定義的解析函數(shù).

定義1[5]系統(tǒng)（3）是時(shí)間可逆的，如果存在一個(gè)微分同胚映射φ滿足φ?φ=Id，使得

其中，XF是與系統(tǒng)（3）對(duì)應(yīng)的向量場(chǎng)，Id表示恒等映射，?表示2個(gè)映射的合成，φ*表示φ的切映射，即在局部坐標(biāo)系上 φ*XF=Dxφ（x）F（x），其中Dxφ（x）是 φ 關(guān)于 x的雅可比矩陣.滿足 φ ?φ=Id的映射φ被稱為對(duì)合.

引理1[11]令系統(tǒng)（3）的向量場(chǎng)

若其關(guān)于x1軸或x2軸對(duì)稱，即

或

則原點(diǎn)必為中心.

稱引理1為Poincaré原理，它給出了系統(tǒng)（3）為中心的充分條件，即向量場(chǎng)是關(guān)于x1軸或x2軸對(duì)稱的.可以注意到系統(tǒng)（3）在滿足向量場(chǎng)是關(guān)于x1軸或 x2軸對(duì)稱的條件（5）或（6）時(shí)，也是關(guān)于映射

或

時(shí)間可逆的.一般地，有如下直接的結(jié)果.

引理2若系統(tǒng)（3）在映射φ下是時(shí)間可逆的，則原點(diǎn)是系統(tǒng)（3）的中心，其中

或

考慮二維多項(xiàng)式微分系統(tǒng)

其中

f（x）=o（｜x｜）是一個(gè) 2 維多項(xiàng)式函數(shù)，而（R2，0）表示原點(diǎn)的鄰域.我們有引理3.

引理3[5]系統(tǒng)（7）是時(shí)間可逆的當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)是中心.

3 線性對(duì)合時(shí)間可逆的充要條件

下面給出系統(tǒng)（7）在線性映射下是時(shí)間可逆的充要條件.令

其中 λ1，λ2，δ1，δ2∈R，而

由定義1可知系統(tǒng)（7）在φ下時(shí)間可逆，需要滿足以下條件：

1）φ是一個(gè)對(duì)合，即滿足條件（不考慮B=±E這種平凡的情況）

2）（4）式成立，即

其中包含條件 φ（Ax）=-（Aφ（x）），因?yàn)?/p>

所以有λ2=δ1且-λ1=δ2.

自然地，有如下直接的結(jié)果.

引理4系統(tǒng)（7）在映射 φ（x1，x2）=（λ1x1+λ2x2，δ1x1+δ2x2）下時(shí)間可逆當(dāng)且僅當(dāng)

其中 x=（x1，x2）.

由引理4，不妨假設(shè)線性對(duì)合φ為

令

令

由引理4，系統(tǒng)（7）在線性對(duì)合下時(shí)間可逆的充要條件即為多項(xiàng)式方程組Cof關(guān)于變量λ1和λ2有實(shí)數(shù)解的充要條件.

考慮三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)（2）線性對(duì)合時(shí)間可逆的問題，得到了系統(tǒng)在線性對(duì)合下是時(shí)間可逆的充要條件.

定理1系統(tǒng)（2）在線性對(duì)合下是時(shí)間可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立：

再由引理3，得到此條件也是原點(diǎn)為系統(tǒng)（2）的中心的充分條件.

4 定理1的證明

首先，由引理4提取出與系統(tǒng)（2）對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式方程組Cof，含有15個(gè)方程，特別地，

使用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple上的實(shí)三角化命令RegularChain：-RealTriangularize得到了方程組Cof解集的10個(gè)正則半代數(shù)集 T1，T2，…，T10（變量序?yàn)锳＞B＞C＞E＞F＞a＞b＞d＞λ1＞λ2）.定理1中除條件3）、4）和10）以外的條件都可以直接由正則半代數(shù)集 Ti（i=2，3，…，10）得到.而條件 3）、4）和10）則可通過討論正則半代數(shù)集T1關(guān)于λ1和λ2有實(shí)解的充要條件得到的，其中，正則半代數(shù)集T1為

當(dāng) A≠B 時(shí)，由（13）和（14）式得到

將其代入（16）式，經(jīng)過變換可以得到 d（25（AB）2+d2）ω =0.因?yàn)?λ2≠0，所以 d≠0，則需 ω =0.由不等條件可以得到d2-75（AB）2≠0.由 A-B≠0，d≠0即可滿足 -1＜λ2＜1.從而得到定理1中條件10）.

當(dāng)A=B時(shí)，由（14）式可得dλ1=0.因?yàn)?λ1=0與（13）式使得 λ2=±1，與不等式（17）矛盾，所以d=0.又因?yàn)椋?5）式成立，所以C=E=F=0.將A=B，C=E=F=d=0代入T1得到

當(dāng) a=0 時(shí)，（19）式化簡(jiǎn)為 bλ2（2λ1+1）=0，其中λ2≠0，而與（19）式使得，與不等式（17）矛盾，所以b=0.這就得到定理1中條件 3）.

當(dāng)a≠0時(shí)，將（18）與（19）式關(guān)于變量 λ2作結(jié)式得到

因?yàn)?λ2≠0且（19）式成立，所以 λ1≠ -1.所以（20）式等于零，需要

有關(guān)于變量λ1的實(shí)解，且滿足不等條件（17）.當(dāng)a≠0且b=0時(shí)，（21）式可以化為

此時(shí)λ2的取值與不等式（17）矛盾；而當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，因?yàn)棣ぃ?1）=-2b2＜0且 Δ（1）=2a2＞0，所以方程（21）有滿足 -1＜λ1＜1的實(shí)解.又由于該解也是方程（18）和（19）的公共解，同時(shí)也需要由它解出的λ2滿足不等式（17）.所以還要求Δ（0）=a2-b2≠0，即 a≠ ±b.而要求的 Δ（1/2）=-2b2≠0，Δ（-1/2）=2a2≠0 也是滿足的.這就得到了定理1的條件4）.

5 討論

Wang[12]考慮了系統(tǒng)（2），并借助于計(jì)算機(jī)推導(dǎo)和Poincaré原理給出了此系統(tǒng)在線性對(duì)合下時(shí)間可逆中心的一組充分條件.唐璐等[13]借助于時(shí)間可逆系統(tǒng)性質(zhì)得到了系統(tǒng)（2）在線性對(duì)合下時(shí)間可逆中心的另一組充分條件.本文利用時(shí)間可逆系統(tǒng)性質(zhì)得到了系統(tǒng)（2）在線性對(duì)合下時(shí)間可逆中心的充要條件.定理1中的條件1）、2）和7）～10）是不同于 Wang[12]的新的充分條件.而唐璐等[13]所得三組充分條件均屬于定理1的第10）組條件.

同時(shí)，在限制A≠B，d≠0 和d2-75（A-B）2≠0的情形下回答了Wang[12]提出的一個(gè)公開問題：

猜想當(dāng)如下條件成立時(shí)：

原點(diǎn)是系統(tǒng)（2）的中心.

而當(dāng)限制條件不滿足時(shí)，此猜想還沒有結(jié)果.而文獻(xiàn)[12，16]通過不變曲線方法，利用首次積分理論判斷原點(diǎn)為中心，是另一種典型的中心存在性論證方式，可望在非線性對(duì)合時(shí)間可逆的中心判斷方面有所作用.