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兩點(diǎn)邊值特征值問題的弱有限元方法

2020-07-04 08:53徐曉明馮立婷孫軼男
科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2020年18期
關(guān)鍵詞:邊值問題變分特征值

徐曉明 馮立婷 孫軼男

(東北大學(xué),遼寧 沈陽110004)

1 概述

弱有限元方法可以看作是標(biāo)準(zhǔn)有限元方法的推廣,在變分方程中,經(jīng)典導(dǎo)數(shù)被弱有限元函數(shù)上定義的弱導(dǎo)數(shù)所代替。這個(gè)方法的主要特點(diǎn)是可以使用完全不連續(xù)的有限元函數(shù),而有限元函數(shù)在邊界上的值可能與單元內(nèi)部的值無關(guān)。

本文將重點(diǎn)研究一維兩點(diǎn)邊值特征值問題的弱有限元方法。首先建立弱有限元空間,并給出一維兩點(diǎn)邊值問題的弱有限元近似;然后將這些結(jié)果應(yīng)用于一維兩點(diǎn)邊值特征值問題的求解并給出誤差分析。

2 一維兩點(diǎn)邊值問題的弱有限元逼近

考慮一維兩點(diǎn)邊值問題的特征值問題:求實(shí)數(shù)λ 和函數(shù)u是滿足:

則該問題的等價(jià)變分問題為:求λ 和||u||=1 使?jié)M足

現(xiàn)在考慮問題(1)的弱有限元逼近。在區(qū)間I=(0,1)上,對(duì)區(qū)間I 進(jìn)行剖分:

在弱有限元的分析中,在剖分Ih上定義全局離散弱函數(shù)空間,空間如下:

下面在一維空間中定義弱有限元空間:

其中

現(xiàn)在給出(1)的弱有限元方程,對(duì)于uh∈Sh,有

那么一維兩點(diǎn)邊值問題的變分方程為,對(duì)于f∈L(2Ω),求Ω)滿足

則問題(5)的弱有限元逼近為:求uh∈Sh滿足

也即:u=Kf 是問題(5)的唯一解。

然后定義算子K 的弱有限元離散近似Kh:f∈L2(Ω)→(Khf)0∈Sh滿足

可得u=(Khf)0是問題(6)的弱有限元近似。

根據(jù)橢圓問題的有限元逼近理論得到

因?yàn)閒∈L2(Ω),Khf∈Sh而不屬于L2(Ω)空間,所以我們需要引進(jìn)一個(gè)新的算子。

根據(jù)上面兩個(gè)式子整理可以得到

3 特征值問題弱有限元逼近的誤差分析

證明:利用特征函數(shù)的正規(guī)正交性,有

綜合上述,得到

因此結(jié)論成立。

故得到

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