哈爾濱市第七十中學(xué) 王世強(qiáng)

解數(shù)學(xué)題時(shí)有何規(guī)律可循？解題時(shí)怎樣分析思考才能找到解題思路？怎樣從有限的“已知”（顯性條件）出發(fā)挖掘更多的“可知”（隱性條件），進(jìn)而順理成章地走向“未知”結(jié)論？這是每一個(gè)與數(shù)學(xué)打交道的人都不自覺(jué)地去思考、求索的問(wèn)題。

人們常說(shuō)一千個(gè)人眼中就有一千個(gè)哈姆雷特，一千個(gè)人有一千種看待事物、分析問(wèn)題的思想和方法，解題也是一樣。筆者旨在拋開(kāi)人的主觀因素和個(gè)性化的思維特質(zhì)，立足于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等相關(guān)理論，從中汲取思想的營(yíng)養(yǎng)，探尋數(shù)學(xué)解題的奧秘。

我們知道，高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也離不開(kāi)八個(gè)核心關(guān)鍵詞：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、推理能力、模型思想、幾何直觀、空間想象、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為符號(hào)意識(shí)和數(shù)感，推理能力即邏輯推理，模型思想即數(shù)學(xué)模型，直觀想象體現(xiàn)的就是幾何直觀和空間想象。這六大核心素養(yǎng)（八個(gè)核心關(guān)鍵詞）既是培養(yǎng)學(xué)生的能力要素，又可以成為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)的思維方法和思維工具，對(duì)培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題能力至關(guān)重要。

下面以哈爾濱市2019年中考數(shù)學(xué)第26題為例，談一下基于核心素養(yǎng)的解題思路。

已知：MN為⊙O直徑，OE為⊙O半徑，AB、CH是兩條弦，AB⊥OE于D，CH⊥MN于K，連接HN、HE，HE與MN交于P．（1）如圖1，若AB與CH交于點(diǎn)F，求證：∠HFB=2∠EHN；（2） 如圖 2，連接 ME、OA，OA 與 ME 交于 Q，若OA⊥ME，∠EON=4∠CHN，求證：MP=AB；（3）如圖 3，在（2）的條件下，連接OC、BC、AH，OC與EH交于G，AH與MN交于 R，連接 RG，若 HK：ME=2：3，求RG的長(zhǎng)．

1.利用“數(shù)學(xué)模型（模型思想）”全面把握條件和結(jié)論信息，進(jìn)行初步分析思考。

圖1

圖2

圖3

從哲學(xué)角度來(lái)說(shuō)，定義、概念等“數(shù)學(xué)知識(shí)模型”是思維的基本單位。對(duì)數(shù)學(xué)題目初步的分析思考就是建立在對(duì)題目中所有條件信息和結(jié)論信息與相對(duì)應(yīng)“數(shù)學(xué)知識(shí)模型”緊密聯(lián)結(jié)和深度聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的，我們只有全面把握已知，深入理解與每一個(gè)已知相關(guān)聯(lián)的所有知識(shí)點(diǎn)，明確命題的本質(zhì)，才能為后繼解題過(guò)程筑牢堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

解題實(shí)操經(jīng)驗(yàn)：借助對(duì)“信息點(diǎn)”的線性聯(lián)想，進(jìn)行“信息點(diǎn)”與“知識(shí)點(diǎn)”的對(duì)接，完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)模型的建構(gòu)性揭示。

①M(fèi)N為直徑，OE為半徑.由直徑、半徑模型聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)有直徑和半徑的定義和性質(zhì)，還有直徑所對(duì)的圓周角是直角.②AB⊥OE，CH⊥MN ，OA⊥ME.由圓中半徑與弦垂直模型聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)有垂徑定理.③∠HFB=2∠EHN，∠EON=4∠CHN.由圓中角模型聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)有圓周角和圓心角的性質(zhì).④MP=AB.由兩條線段相等聯(lián)想它們分別等于其他哪條線段.⑤HK：ME=2：3.由比的數(shù)學(xué)模型聯(lián)想到引入?yún)⒘?利用線段間數(shù)量關(guān)系盡可能多地表示其他線段.⑥求RG的長(zhǎng)，根據(jù)“解題信息就近集中原則”聯(lián)想RG所在的圖形ΔORG,為解三角形模型做鋪墊.

2.利用“直觀想象（幾何直觀）”梳理基本圖形，為挖掘隱性條件提供框架支撐。

綜合題難想、難做，原因在于顯性條件數(shù)量有限，而隱性條件卻深藏不露。隱性條件是指題目中未明確表達(dá)而客觀存在的條件。這些條件常常巧妙地隱沒(méi)在題目和圖形之中，極易被學(xué)生忽視。隱性條件具有藏得深、數(shù)量多，若明若暗、不易識(shí)別的特點(diǎn)，所以學(xué)生常常感到無(wú)處下手、思路受阻而使解題陷入困境。此時(shí)全面挖掘隱含條件，為解題打開(kāi)入口就成為問(wèn)題解決的關(guān)鍵。如何挖掘？分兩步進(jìn)行：第一步就是上面談到的借助“數(shù)學(xué)知識(shí)模型”對(duì)顯性條件進(jìn)行初步淺層次直線性挖掘，第二步就是借助日常解題經(jīng)驗(yàn)中歸納梳理出的基本圖形（數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停┘捌渲刑N(yùn)含的邊角數(shù)量關(guān)系進(jìn)行深層次發(fā)散性挖掘。這是彰顯解題功力的核心環(huán)節(jié)。

除了數(shù)學(xué)知識(shí)外，每一種代數(shù)、幾何基本題型的解題方法和一般處理方式，及基本圖形中的邊角數(shù)量關(guān)系也可視為數(shù)學(xué)模型，即“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?。在解綜合題過(guò)程中，借助“直觀想象（幾何直觀）”對(duì)題目復(fù)雜圖形進(jìn)行自由而靈活的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀弊R(shí)別和拆解，進(jìn)行思維方法的遷移和重組，都是有效的解題路徑。

古往今來(lái)的數(shù)學(xué)家都十分重視直覺(jué)思維的作用。迪瓦多內(nèi)說(shuō)：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無(wú)疑是使學(xué)生對(duì)他要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠‘直覺(jué)’。”當(dāng)下的教學(xué)過(guò)程，教師過(guò)度強(qiáng)調(diào)證明過(guò)程的嚴(yán)格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺(jué)的光環(huán)，學(xué)生也片面地把解題成功歸于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺(jué)”，這恰恰是我們教育的失敗。加強(qiáng)直覺(jué)思維練習(xí)是提升解題能力的有效途徑。

解題實(shí)操經(jīng)驗(yàn)：借助題中“信息點(diǎn)”間的組合式聯(lián)想全面挖掘“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀薄?/p>

①AB⊥OE，CH⊥MN兩個(gè)垂直組合式聯(lián)想發(fā)現(xiàn)“對(duì)角互補(bǔ)四邊形模型”（圖4），進(jìn)而與條件∠HFB產(chǎn)生思維聯(lián)結(jié)，等量推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)∠HFB=∠EON，進(jìn)而第一問(wèn)可證；②由∠EON=4∠CHN和第一問(wèn)的結(jié)論∠HFB=2∠EHN組合式聯(lián)想得到“圓周角、圓心角模型”（圖5、6），發(fā)現(xiàn)∠PHC=∠CHN和∠HPN=∠HNP，挖掘出“等腰三角形HPN三線合一模型”和“八字雙等腰三角形模型MEP和HPN”（圖7），進(jìn)而得到MP=ME；③由OA⊥ME和之前的垂直條件AB⊥OE組合式聯(lián)想發(fā)現(xiàn)“共疊合角∠AOE全等雙等腰三角形模型OME和OAB”（圖8），進(jìn)而等量代換推出第二問(wèn)結(jié)論MP=AB。

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

3.利用數(shù)學(xué)抽象（數(shù)感）發(fā)散式聯(lián)想，深度挖掘隱性條件，提升學(xué)生合情推理能力。

數(shù)感是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須培養(yǎng)和提升的一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它能將數(shù)與實(shí)際背景聯(lián)系起來(lái)，它使學(xué)生看到的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀敝械倪吔侵g有了特殊的數(shù)量關(guān)系，從而自然引入特殊數(shù)據(jù)深入表達(dá)這種特殊的數(shù)量關(guān)系，解題時(shí)這是一種主動(dòng)、自覺(jué)或自動(dòng)化地理解和運(yùn)用數(shù)及運(yùn)算的基本能力。

解題實(shí)操經(jīng)驗(yàn)：借助“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀敝刑N(yùn)藏的特殊數(shù)據(jù)深刻表達(dá)邊角數(shù)量關(guān)系。

圖9中蘊(yùn)藏著鄰補(bǔ)角的角分線互相垂直基本圖形，聯(lián)想到特殊數(shù)據(jù)90度；進(jìn)而聯(lián)想到圖10中蘊(yùn)藏著互補(bǔ)的兩個(gè)圓周角45度和135度；依次聯(lián)想到圖11中的特殊數(shù)據(jù)，做135度的鄰補(bǔ)角45度。即延長(zhǎng)CB，過(guò)點(diǎn)A做BC的垂線AS，構(gòu)等腰直角三角形ABS，還有圖11中的特殊圖形等腰直角三角形RHK，得到RK=HK；由圖12中∠CON=2∠CHN=2∠CHP，tan∠COK，聯(lián)想到特殊數(shù)據(jù)=tan∠CHN=tan∠CHP。這些邊角間的特殊數(shù)據(jù)為后續(xù)挖掘新一輪的隱性條件搭建了溝通的橋梁。

圖10

圖11

4.利用數(shù)學(xué)抽象（符號(hào)意識(shí)）發(fā)散式聯(lián)想，深度挖掘隱性條件，提升學(xué)生合情推理能力。

挖掘隱性條件進(jìn)行解題是一種極具創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。隱性條件是數(shù)學(xué)題目中的固有條件，它或以邏輯演化螺旋遞進(jìn)的方式內(nèi)隱于顯性條件之中，或以“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀睘楣羌艿靡砸栏健哪撤N意義上講，數(shù)學(xué)也是語(yǔ)言的藝術(shù)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，往往需要借助文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言來(lái)對(duì)思維路徑進(jìn)行刻畫(huà)。特別是利用符號(hào)語(yǔ)言（符號(hào)意識(shí)）對(duì)顯性條件進(jìn)行邏輯推理等價(jià)變式，對(duì)“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀敝械倪?、角元素進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的全面深度刻畫(huà)和多元符號(hào)化表達(dá)，往往可以讓隱性條件在不經(jīng)意間自然而然地顯露出來(lái)。

解題實(shí)操經(jīng)驗(yàn)：借助對(duì)題中“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀边吔菙?shù)量關(guān)系的符號(hào)化表達(dá)，全面挖掘隱性條件。

圖12中，引入符號(hào)α表示∠CHN、∠CHP、∠CON、∠EMN，發(fā)現(xiàn)OC//ME和等腰三角形OGP；再應(yīng)用HK：ME=2：3引入符號(hào)x表示線段，借助垂徑定理與等腰三角形HPN三線合一復(fù)合圖和M型全等圖，用符號(hào)x來(lái)表示所 有 能 夠 表 示 的 線 段 ：HK=4x=KC=OQ，ME=AB=6x，MQ=OK=3x，MO=OC=5x=OA=ON；然后再回到圖11中，借助四邊形 OABC中的四個(gè)條件 OA=OC=5x，AB=6x，BC=，∠ABC=135°解 四 邊 形 OABC。 方 法 為 看 到∠ABC=135°，自然想到鄰補(bǔ)角45°，外擴(kuò)出等腰直角三角形ABS，繼續(xù)符號(hào)化表達(dá),最后在直角三角形ACS中利用勾股定理列方程解出x=1,再借助，繼續(xù)符號(hào)化表達(dá)隱性條件線段PK=NK=2x=2，RO=OP=1=OG，所有可用x表示的線段自然全部求出。最后根據(jù)“條件就近集中突破”的解題原則，線段RG在ΔRGP中，具備RO=OP=1=OG,tan∠COK=，做垂直可輕松解ΔRGP，求得RG的值。

數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)，數(shù)學(xué)解題是一門(mén)藝術(shù)。通過(guò)數(shù)學(xué)解題教學(xué)和研究，讓學(xué)生親身去體會(huì)最原初的思維模式和最本真的思維路徑，感悟思維的無(wú)為發(fā)散與策略收斂，在真實(shí)的情境中培養(yǎng)解題能力，我們能夠培養(yǎng)出更多的藝術(shù)家，思維演繹的藝術(shù)家，而不是打造解題的工人和解題的機(jī)器。那種跳進(jìn)題海盲目刷題的教學(xué)方式是對(duì)學(xué)生未來(lái)的幸福人生極大不負(fù)責(zé)任的行為，需要我們嚴(yán)厲的批判和無(wú)情的摒棄。實(shí)踐告訴我們，在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念指引下，持續(xù)高揚(yáng)“學(xué)科核心素養(yǎng)”的旗幟，用理論的航標(biāo)指引解題教學(xué)的航程,學(xué)生必將會(huì)感受到豁然開(kāi)朗、水到渠成的解題境界，也必然會(huì)體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美妙和數(shù)學(xué)解題的美妙。