莊科俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

溶解氧既是水生生系統(tǒng)中有氧群落的必需元素，也是水質(zhì)和營(yíng)養(yǎng)動(dòng)力學(xué)的一項(xiàng)重要指標(biāo).作為海洋食物網(wǎng)的關(guān)鍵因素，浮游生物對(duì)氧氣的數(shù)量有著重要的影響.浮游生物又可以分為浮游植物和浮游動(dòng)物兩大類，浮游植物一方面通過光合作用產(chǎn)生氧氣，另一方面又通過呼吸消耗氧氣.近年來(lái)，已有學(xué)者通過數(shù)學(xué)模型研究了溶解氧的動(dòng)力學(xué)行為.其中，文獻(xiàn)[1]分別基于常微分方程、反應(yīng)擴(kuò)散方程，建立了一類溶解氧-浮游植物-浮游動(dòng)物的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)值角度研究了生態(tài)系統(tǒng)對(duì)全球變暖的影響；文獻(xiàn)[2]研究了該反應(yīng)擴(kuò)散模型的斑圖動(dòng)力學(xué)；文獻(xiàn)[3-4]還研究了對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)階模型的時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為.此外，文獻(xiàn)[5-6]則詳細(xì)研究了一類溶解氧-浮游生物模型的穩(wěn)定性與Hopf分支.

目前，盡管已有文獻(xiàn)研究了水生生態(tài)系統(tǒng)中溶解氧的時(shí)空演化，但其動(dòng)力學(xué)的很多方面尚不明確，仍需進(jìn)一步的研究.因此，本文主要研究一類考慮溶解氧的浮游生態(tài)模型解的基本性質(zhì)穩(wěn)定性.

1 模型與預(yù)備知識(shí)

本文考慮如下的溶解氧-浮游植物-浮游動(dòng)物反應(yīng)擴(kuò)散模型：

(1)

下面，給出模型(1)的常數(shù)平衡解的存在性.

引理1[7]如果mγc1

引理2[7]如果α2>μ且Bc*>γu*(c*+c1)，則模型(1)存在共存平衡解E*=(c*,u*,v*)，其中

2 解的基本性質(zhì)

利用文獻(xiàn)[8]的方法，容易得到模型(1)解的適定性.

引理3模型(1)存在唯一的有界非負(fù)解，且如果非負(fù)初始函數(shù)不恒等于零，則該非負(fù)解還是嚴(yán)格正的.

定理1模型(1)的解是最終一致有界的.

從而對(duì)任意的ε2>0，存在T2≥T1，當(dāng)(x,t)∈Ω×[T2,+)時(shí)，有

從而

進(jìn)一步地，令t→+可得：

證畢.

定理2如果α2≤μ，則模型(1)是非持續(xù)的.

3 平衡解的穩(wěn)定性

為了便于分析，令0=μ0<μ1<μ2<…<μi<…<+是-Δ算子在齊次Neumann邊界條件下的特征值.接下來(lái)，主要利用線性穩(wěn)定性理論研究非負(fù)平衡解E1和E*的局部漸近穩(wěn)定性.

證明 模型(1)在E1處對(duì)應(yīng)的特征方程為：

(2)

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，在定理?xiàng)l件下，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)i，方程(2)的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，從而平衡解E1是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 模型(1)在E*處的特征方程為：

λ3+Aiλ2+Biλ+Ci=0，

(3)

其中：

再由Routh-Hurwitz判據(jù)可知，特征方程(3)的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，從而E*是局部漸近穩(wěn)定的.

4 結(jié)論

海洋中溶解氧的動(dòng)力學(xué)行為已經(jīng)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.盡管已有研究表明，氧氣的減少會(huì)導(dǎo)致全球氣候變化，特別是全球變暖.然而，氧氣減少的原因和機(jī)制仍然存在爭(zhēng)議.據(jù)估計(jì)，大氣中70%左右的氧氣是由海洋所產(chǎn)生的.作為海洋生態(tài)系統(tǒng)中最基礎(chǔ)的生物，浮游植物和浮游動(dòng)物在全球碳循環(huán)和氣候變化中起著舉足輕重的作用.因此，本文主要研究了一類考慮溶解氧的浮游生態(tài)系統(tǒng)模型.如果浮游動(dòng)物的增長(zhǎng)率較小或者死亡率較大，定理2和定理3的條件則容易滿足，從而浮游動(dòng)物種群會(huì)滅絕.反之，如果浮游動(dòng)物增長(zhǎng)率較大而死亡率較小，則定理4的條件容易滿足，從而溶解氧、浮游植物和浮游動(dòng)物在水生環(huán)境的密度會(huì)趨于穩(wěn)定.

另外，微小亞歷山大藻、費(fèi)氏藻等浮游植物能夠產(chǎn)生毒素，對(duì)浮游動(dòng)物和魚類有毒害作用，而浮游動(dòng)物也會(huì)對(duì)有毒藻類做出響應(yīng).因此，在模型(1)的基礎(chǔ)上，還可進(jìn)一步研究具有毒素和趨向效應(yīng)的溶解氧-浮游生物模型.