唐 悅

(吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 長春 130000)

1 模型建立

黑麥草是我國重要的牧草資源，在國內(nèi)畜牧飼料市場上有著無可替代的經(jīng)濟地位[1].基于之前的數(shù)學模型并沒有考慮在市場需求波動這一要素，有一定的局限性,為更準確的體現(xiàn)出黑麥草的刈割強度與經(jīng)營者所得利潤之間的關系，建立符合黑麥草資源經(jīng)濟分配管理的捕食者-食餌系統(tǒng)模型[2]：

(1)

E表示黑麥草的數(shù)量;F表示經(jīng)營黑麥草草場的收益；b為市場需求指數(shù);K表示環(huán)境最大容納量;μ表示管理人員對黑麥草草場經(jīng)營治理資金投放系數(shù);χ表示被刈割的黑麥草轉化成利潤的轉化率；p為對黑麥草的刈割強度;v0是黑麥草最初生長率．

2 系統(tǒng)分析

求解方程組：

(2)

得到兩個非零解(K,0),(E*,F*),其中E*>0,F*>0,(K,0)表示在收割者利潤為0，(E*,F*)表示黑麥草生物量和經(jīng)營者利潤都存在的情況下,存在正平衡點.

系統(tǒng)(1)在平衡點(K,0)處的Jacobi矩陣為：

證明 由

由函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)F(E)為連續(xù)單調(diào)遞減函數(shù)，又因為在函數(shù)F(E)中已求出系統(tǒng)的一個奇點，所以在該函數(shù)一定存在唯一點E*使得F(E*)=0，由此可得系統(tǒng)(1)存在唯一正平衡點(E*,F*).

平衡點(E*,F*)處的Jacobi矩陣為：

得到

因此平衡點是局部漸進穩(wěn)定的[3].

3 生物學意義

本文通過分析了解黑麥草所在生態(tài)系統(tǒng)，掌握了黑麥草資源刈割的實際問題，建立了相應的生物數(shù)學模型，并對其進行生物動力學分析，定性地描述了黑麥草資源和刈割強度的相對變化之間的關系.適當?shù)呢赘顝姸?，可促進黑麥草初級生產(chǎn)力提高，促進黑麥草資源更新.系統(tǒng)最終會在正平衡點(E*,F*)達到生態(tài)系統(tǒng)平衡[5],經(jīng)營者的刈割量和黑麥草可持續(xù)生長就可以維持平衡穩(wěn)定狀態(tài)．還能保證黑麥草的經(jīng)濟效益最大化.