汪明武，徐新宇，周天龍，董景銓

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院，合肥 230009)

1 引 言

土體應力松弛特性與巖土工程的長期穩(wěn)定性問題緊密相關，是巖土材料的重要流變特性之一，但基于已有文獻報導[1]，關于土體的松弛試驗和模型的研究較蠕變本構關系研究要少的多。已有的土體松弛模型主要有經驗模型[2]和元件模型，如西原模型[3,4]、Burgers模型[5,6]和廣義Maxwell模型[7]等，但這些模型為整數階模型，僅能描述線性粘彈性能，描述土體非線性流變行為存在局限性[8,9]，且適用性較差[10]，故為更真實準確反映土體的松弛時效特性，有必要進一步深入開展土體應力松弛模型的研究。而近期發(fā)展起來的分數階微積分理論是整數階微積分向任意階的推廣[11,12]，并具有全局相關性好，物理意義明確，能更好描述巖土非線性力學行為的優(yōu)點[13]，為網紋紅土松弛本構研究提供了新思路。學者將分數階微積分理論應用于巖土體流變非線性的描述[14-20]，取得了有效成果，如于懷昌等[10]建立了巖石分數階Poynting-Thomson松弛模型；張春曉等[21]構建了膨脹土的三元件分數階松弛模型；Liu等[22]推導了高階分數導數本構模型，但至今罕有應用分數階微積分理論針對網紋紅土非線性松弛模型的研究。

本文基于分數階微積分理論，推導了網紋紅土的分數階FVMS(Fractional Voigt and Maxwell model in series)松弛模型和分數階FVMP(Fractional Voigt and Maxwell model in parallel)松弛模型，進而結合網紋紅土的三軸松弛試驗數據驗證模型的適用性，為網紋紅土的非線性松弛特性分析和長期穩(wěn)定性評價提供依據。

2 分數階應力松弛模型

2.1 分數階微積分理論簡介

分數階微積分是指微分的階數或積分的階數不是整數，而是任意的實數或者復數，相對于整數階微積分，可描述復雜的時效力學過程，刻畫時間上的記憶性和空間上的路徑依賴性。分數階微積分的定義有多種形式[11]，本文采用Riemann-Liouville 型分數階微積分算子理論定義函數f(t)的分數，

(1)

(Re(β)>0)

(2)

分數階的微積分Laplace公式為

(3)

式中s是變換參量，F(s)是f(t)的拉普拉斯變化。

基于Riemann-Liouville型分數階微積分理論的軟體元件本構模型方程為

σ(t)=ξdβε(t)/dtβ

(4)

式中σ(t)為應力，ε(t)為應變，t為時間，ξ為類粘滯系數。顯然，當β=0,1時，軟體元件退化成理想的彈塑性體和理想的流體。當ε(t)為常數，分數階元件所描述的是松弛現象。

2.2 基于分數階微積分的應力松弛模型

以往的非線性粘彈性本構關系大多是由彈性元件和粘性元件串聯或并聯來描述，基于分數階的簡單流變模型常用Maxwell模型和Kelvin模型，是時間的一個指數函數，而網紋紅土成分復雜，且運動單元具有多重性，僅用一個松弛時間關系描述已不能滿足實際要求，需發(fā)展擬合精度更高的多元件廣義分數階模型來描述[22]。為此，本文探討了黏彈性四元件的FVMS模型和FVMP模型，如 圖1 所示。

圖1 四元件分數階松弛模型

Fig.1 Fractional relaxation model of four elements

從圖1(a)可以看出，根據元件的串并聯法則可得

σ=σ1=σ2=σ3,ε=ε1+ε2+ε3

(5)

σ1=(E1+ξ1D1)ε1,σ2=ξ2D2ε2,σ3=E2ε3

(6)

式中σ為總應力；ε為總應變；σ1和ε1分別是分數階Kelvin-Voigt模型中總應力和應變；σ2和σ3與ε2和ε3分別是分數階Maxwell模型中分數階元件和彈簧元件的應力和應變；E1和E2分別是兩個彈簧的彈性模量；ξ1和ξ2為類粘滯系數；D1和D2是分數階算子，D1=dβ1/dtβ1,D2=dβ2/dtβ2；β1和β2為分數階階數。聯立式(5，6)，可得

σ=G(t)ε

(7)

(8)

式中G(t)為松弛模量。令

(9)

(10)

對式(10)第一項進行級數變換，可得

(11)

對式(10)中各項進行拉普拉斯逆變化可得

(12)

(13,14)

將式(12～14)代入式(10)，并結合式(9)可得FVMS模型的松弛模量為

(15)

從圖1(b)可以看出，根據元件的串并聯法則可得

σ=σ1=σ2+σ3,ε=ε1=ε2+ε3

(16)

σ1=(E1+ξ1D1)ε1,σ2=ξ2D2ε2,σ3=E2ε3

(17)

聯立式(16,17)，可得

(18)

對式(18)進行拉普拉斯變換，并令ε0(t)=ε0H(t), 則式(18)可變形為

(19)

式中ε0為初始應變，在應力松弛過程中為一恒定值。根據式(19)可得松弛模量的拉普拉斯逆變換式為

(20)

為得到式(20)的拉普拉斯逆變換，引入Mittag-Leffler(簡稱M-L)函數來完成。廣義M-L函數的定義如下[11]。

M-L函數的拉普拉斯變換為

(22)

將式(20)與式(22)的第三部分進行對比，將式(20)第三部分中各參數取為k=0,v=1,u=β2,n=E2/ξ2,可得FVMP模型的松弛模量為

(23)

3 模型驗證及參數識別

為驗證本文提出的松弛模型的適用性和正確性。首先，采用基于GDS非飽和土三軸儀對網紋紅土進行了不同應變條件下的應力松弛試驗，并用上述的應力松弛模型對試驗結果進行反演，確定了相關的模型參數。

3.1 三軸應力松弛試驗

松弛試驗用土取自安徽宣城地區(qū)，土體呈淡紅色，物理性質指標列入表1。在圍壓σ3=300 kPa和吸力ua-uw=100 kPa的條件下，開展了應變水平分別為0.5%，0.75%，1.0%，1.45%，2.0%和4.0%的應力松弛試驗。應力松弛試驗主要由吸力平衡、等吸力固結、剪切及松弛階段構成，不同應變水平下，網紋紅土應力松弛試驗的實測曲線如圖2所示。

3.2 模型驗證

本文選取L-M(Levenberg-Marquardt)算法確定模型的參數取值，可避免最小二乘法通常存在初始值選取不當的問題，根據式(15,23)，采用L-M算法對圖2的實驗數據結果進行非線性擬合，模型參數結果列入表2和表3，擬合曲線如圖3所示。

4 討 論

由表2和表3可知，在不同加載條件下的應力松弛試驗中，盡管分數階FVMS模型和分數階FVMP模型中的彈性模量E1和E2以及類粘滯系數ξ1和ξ2有一定的差異，但總體變化不大，而且擬合系數R2在0.989以上，最高達到 0.998，說明與實測數據誤差較小。從圖3可以看出，用FVMS松弛模型和FVMP松弛模型擬合試驗數據可以得到較好的效果，且兩者的分數階模型都能很好地反映網紋紅土松弛的應力快速下降和應力緩速下降兩個階段。同時可以看到，兩個分數階模型中的分數階階數β基本保持不變，限于篇幅，這里僅考慮分數階階數β的敏感性分析。在保持其他參數不變的條件下，如E1=3 kPa，E2=4 kPa,ξ1=5 kPa·d，ξ2=6 kPa·d，改變分數階階數β的數值，可以得到分數階階數β對本文提出模型在描述應力松弛行為時的影響，如圖4所示?？梢钥闯觯謹惦A數β的不同值主要影響FVMP模型松弛量的大小，對松弛速率影響較小；對FVMS模型松弛速率和松弛大小都影響較大。

表1 網紋紅土的物理性質指標

Tab.1 Physical properties of net-like red soil

最大干密度/g·cm-3含水率/%液限/%塑限/%塑性指數最優(yōu)含水率/%1.8123.648.528.220.017.9

圖2 網紋紅土應力松弛實測曲線

Fig.2 Stress relaxation measured curve of net-like red soil

表2 FVMS模型參數擬合值

Tab.2 Fitted values of FVMS model parameters

ε/%E1/kPaE2/kPaξ1/kPa·dξ2/kPa·dβ1β2R20.50908.45306.202437.9855309.440.8510.580.9900.75563.26350.122648.2426957.480.8020.600.9971.00261.15398.034861.8236802.250.740.600.9911.45519.83346.681609.3221302.660.8330.610.9952.001374.07395.292335.4827596.270.8290.590.9974.00169.54453.303777.7823768.210.7500.620.996

表3 FVMP模型參數擬合值

Tab.3 Fitted values of FVMP model parameters

ε/%E1/kPaE2/kPaξ1/kPa·dξ2/kPa·dβ1β2R20.50311.5858.913.3662.090.7500.210.9890.75304.2581.5812.40328.230.7450.200.9941.00404.6035.335.9914.640.7420.200.9981.45336.46108.297.01119.670.7510.220.9952.00385.1983.496.4364.840.7670.240.9904.00462.5744.989.3135.160.7610.210.994

圖3 FVMP松弛模型和FVMS松弛模型計算值和試驗曲線實際值對比

Fig.3 Comparison of the calculated datas of FVMP model and FVMS model with the measured datas

為了定量描述本文提出的分數階松弛模型反映網紋紅土松弛時效特性的優(yōu)越性，用應變?yōu)?%條件下的網紋紅土應力松弛數據，分別對西原模型、Burgers模型以及本文提出的FVMS模型和FVMP模型進行擬合，并選取均方差(RMSE)、殘差平方和(SSE)、相關系數(R2)、卡方系數以及F統(tǒng)計值作為定量的指標，結果列入表4。由表4可知，由于RMSE，SSE和卡方系數在描述擬合效果時，數值越小表示擬合精度越高，而R2和F統(tǒng)計值則是越大表示擬合效果更好，故綜合五個指標值，本文提出的FVMS松弛模型和FVMP松弛模型擬合效果均優(yōu)于西原模型及Burgers模型，也表明本文模型能較好地反映網紋紅土應力松弛的全過程，擬合精度較高。

圖4 不同分數階階數β下的FVMP模型和FVMS模型松弛曲線

Fig.4 Stress relaxation curve of various fractional orders of FVMP model and FVMS model

表4 模型擬合評價

Tab.4 Evaluation of fitting effects of various models

松弛模型RMSESSER2卡方系數F統(tǒng)計值西原模型2.32237.230.9860.233006.84Burgers模型2.43260.120.9900.252735.03FVMS模型1.65121.010.9960.125924.21FVMP模型2.05185.030.9940.183861.52

5 結 論

網紋紅土是一種黏性土，應用整數階模型很難刻畫其松弛非線性特性和松弛全過程。本文基于分數階微積分理論，探討了網紋紅土分數階應力松弛模型，進而應用模型反演了實測三軸松弛數據，并與其他模型進行對比分析，得到如下結論。

(1)利用分數階微積分理論，推導了網紋紅土的FVMS松弛模型和FVMP松弛模型。構建模型公式推導嚴格，且具有明確物理意義，可實現網紋紅土非線性松弛時效特性的準確描述。

(2)實測數據的模擬結果表明，本文的分數階應力松弛模型模擬結果與試驗實測結果吻合，并能有效模擬網紋紅土的松弛全過程。

(3)對比西原模型和Burgers模型與FVMS松弛模型和FVMP松弛模型的擬合結果表明，本文推導的四元件分數階應力松弛模型具有更高的可靠性和擬合精度，且參數較少，便于實際應用。同時，在討論分數階階數敏感性時發(fā)現，分數階階數對兩個分數階模型的應力松弛量影響大，但對FVMS模型的松弛速率影響較小，而對FVMP模型的松弛速率影響則較大。