張穎超

摘 要：作者在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)對(duì)一些概念理解不透徹或者存在誤解，本文對(duì)鄰域，無(wú)窮小和高階無(wú)窮小做了解釋，希望為同學(xué)們解惑。

關(guān)鍵詞：鄰域;無(wú)窮小;高階無(wú)窮小

Abstract： in the teaching process of " Advanced Mathematics"， the author found that many students do not understand some concepts thoroughly or have misunderstanding， this paper explains the neighborhood， infinitesimal and higher order infinitesimal， hoping to solve the confusion for students.

Keywords： neighborhood; An infinitesimal. Higher order infinitesimal

高等數(shù)學(xué)建立在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于學(xué)生的邏輯思維以及運(yùn)算能力有較高的要求，是各理工學(xué)科的基礎(chǔ)。筆者在《高等數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于一些概念要么理解不透徹，要么后期的運(yùn)用過(guò)程中出現(xiàn)誤解。在此，本文對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)概念加以解讀，希望為同學(xué)們解惑。

一.鄰域

定義1[1]：以點(diǎn)a為中心的任何開(kāi)區(qū)間為點(diǎn)a的鄰域，記為 U（a）。設(shè)δ是任一正數(shù)，則開(kāi)區(qū)間（a-δ，a+δ）就是點(diǎn)a的一個(gè)鄰域，這個(gè)鄰域稱為a的δ鄰域，記為U（a，δ）。

從鄰域的定義可以看出，所謂鄰域就是以a為中心的開(kāi)區(qū)間，而a的δ鄰域就是以a為中心δ為半徑的開(kāi)區(qū)間，δ可以是任何正數(shù)。

但是在后期的應(yīng)用過(guò)程中，同學(xué)們可能產(chǎn)生一個(gè)誤解：認(rèn)為a的δ鄰域中的δ是小于1的。從而導(dǎo)致對(duì)高數(shù)中其他概念產(chǎn)生誤解。

二、無(wú)窮小

定義2[2]：如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或者x→∞）時(shí)的極限是零，那么稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或者x→∞）時(shí)的無(wú)窮小。特別的，以零為極限的數(shù)列{xn}稱為n→∞時(shí)的無(wú)窮小。

從定義上看，無(wú)窮小是一個(gè)過(guò)程：隨著x→x0時(shí)，f（x）的極限是零，即f（x）是→x0時(shí)的無(wú)窮小。注意，不能說(shuō)f（x）是無(wú)窮小。

關(guān)于無(wú)窮小，同學(xué)們?nèi)菀准m結(jié)的地方有兩個(gè)：第一，無(wú)窮小和很小的數(shù);第二，無(wú)窮小和零的關(guān)系。

首先，無(wú)窮小和很小的數(shù)。通過(guò)剛才的分析我們可以看出，無(wú)窮小是一個(gè)過(guò)程，是函數(shù)f（x）隨著x→x0逐漸趨近于零的過(guò)程。而很小的數(shù)，無(wú)論這個(gè)數(shù)多么小也是一個(gè)具體的數(shù)。

三、高階無(wú)窮小

在教學(xué)過(guò)程中，總是聽(tīng)到有人問(wèn)，高階無(wú)窮小是0還是函數(shù)？其實(shí)高階無(wú)窮小既不是0也不是函數(shù)，他是兩個(gè)無(wú)窮小量的比較。在同一個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，雖然同時(shí)都趨向于零，但是它們趨向于零的快慢程度有時(shí)卻不一樣，甚至差別很大。

上述解釋很多同學(xué)都能理解，但是還是有部分同學(xué)容易陷入誤區(qū)，比如下面例題

但是，從圖形上看，在x<1時(shí)，對(duì)于相同的變化幅度，x2是比x3變化大;換言之，x2變化速度比x3快，這樣，x2應(yīng)該是x3的高階無(wú)窮小，這不是和定義矛盾嗎？

解答，例題1的說(shuō)法，其實(shí)還是對(duì)高階無(wú)窮小的定義沒(méi)有理解。

高階無(wú)窮小中變化速度不是指變化的量，而是指相對(duì)于自身所變化的比例。比如當(dāng)x從 變?yōu)?時(shí)，x2從 變?yōu)?，縮小為原來(lái)的 ，x3從 變?yōu)?，縮小為原來(lái)的 ，x3變化的量小，但變化的比例大，所以認(rèn)為它收斂于0的速度更快。

以上就是作者在教學(xué)過(guò)程中遇到的眾多概念中的幾個(gè)，學(xué)生對(duì)這幾個(gè)概念或者存在疑惑，或者理解有誤，因此作者在此整理，希望為同學(xué)解惑。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].第六版：高教出版社出版。

[2]孫洪波.高等數(shù)學(xué)[M].第二版：中國(guó)鐵道出版社