施 越 曾 憲 忠

（湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201）

1 引言

生物數(shù)學(xué)模型的研究最早可以追溯到20 世紀20 年代由Lotka 和Volterra 建立的經(jīng)典的捕食模型.Lotka和Volterra建立的模型只考慮物種數(shù)量（或密度）隨時間的變化，沒有考慮捕食者和食餌對空間變量的依賴，因而，建立的模型是常微分方程組動力系統(tǒng).實際情況下物種的分布是依賴于空間的，它們有一種自擴散運動，即物種由種群密度高的地方向種群密度低的運動.此外該模型也沒有考慮捕食者消化食餌的時間，食餌和捕食者相互制約的問題.如考慮上述問題，則可以建立比率依賴的食餌捕食者模型.對于瀕危物種而言，由于其自然增長率較低，如果捕食者對它的捕食量較大，那將會造成瀕危物種滅絕，因此，有必要建立一個保護區(qū)來保護瀕危物種.

本文研究下列捕食模型［1-3］相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)問題的正穩(wěn)解的局部存在性

對于生物保護區(qū)，盡管已有部分研究，但是由于各類問題的復(fù)雜性和對象的多樣性，因而仍有許多問題需要解決，例如有些物種的增長不是Logistic型［2］，捕食者容量與食餌密切相關(guān)的.上述問題不僅有明確的實際意義和廣闊的應(yīng)用前景，而且具有一定的研究難度，因此對這類問題研究是非常有必要的.

顯然，（1.1）有一個奇異的平凡解（0，0）和一個半平凡解（λ，0）.本文使用比較原理和極值原理得到解的基本估計，再利用局部分支定理得到（1.1）解的局部存在性.

2 預(yù)備知識

由文獻［2-6］可知有引理

相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)問題為

3 （1.1）解的估計

該部分首先利用極值原理［6］對（1.1）正解及參數(shù)進行估計，然后利用Crandall-Rabinowitz局部分支定理［7-9］對問題（1.1）的局部正解進行討論.

4 （1.1）解的局部存在性