王利波，徐瑰瑰

（凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

0 引言

近年來(lái)，相互干擾的食餌-捕食模型吸引了許多學(xué)者的關(guān)注[1-6]，其模型由Hassell[6]在1971年引入的，形式為：

其中，x,y表示食餌，捕食者的人口密度，0＜m＜1為相互干擾系數(shù).

現(xiàn)實(shí)中，由于模型的瞬時(shí)變化，使得脈沖系統(tǒng)能更加真實(shí)反映物種間的關(guān)系，所以，在文獻(xiàn)［7］中，作者研究了如下系統(tǒng)的持久性和全局吸引性：

在上述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，在文獻(xiàn)［8］中，Wang等引入了時(shí)滯，使得系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

作者研究了系統(tǒng)（2）的周期解、持久性和全局吸引性.但是，我們注意到在文獻(xiàn)［7-8］中假設(shè)脈沖條件滿足：（F）-1＜dk≤0,-1＜fk≤0.顯然，這是不合理的.另外，由于環(huán)境隨季節(jié)呈現(xiàn)的是非嚴(yán)格意義上的周期性變化，概周期性變化對(duì)描述自然界的變化規(guī)律更為準(zhǔn)確；因此，建立概周期生態(tài)系統(tǒng)對(duì)種群動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究更具有現(xiàn)實(shí)意義.因此，本文的目的之一是改變條件（F），研究如下系統(tǒng)的持久性及概周期解：

其中，hik,i=1,2表示食餌、捕食者在t時(shí)刻的脈沖作用，脈沖時(shí)刻tk滿足0=t0＜t1＜t2＜…,且=+∞，序列集,j∈Z為一致概周期的.在本文中我們假設(shè)hik＞-1,i=1,2.ri(t),bi(t),ci(t),τ(t),σ(t),i=1,2為非負(fù)連續(xù)概周期函數(shù)有界函數(shù).顯然，系統(tǒng)（1）、（2）是系統(tǒng)（3）的特殊情況.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Rn是n維歐式空間，定義范數(shù)||x||=令I(lǐng)=，用I表示關(guān)于距離是無(wú)界且嚴(yán)格單增的所有序列集.令引入以下記法：

PC(ξ0)為以點(diǎn)μ1,μ2,…∈[ξ0-ζ,ξ0]為第一類間斷點(diǎn)且在這些點(diǎn)左連續(xù)的函數(shù)φ:[ξ0-ζ,ξ0]→Ω的全體.

對(duì)于J?R，PC(J,R)為J→R2上以點(diǎn)tk為第一類間斷點(diǎn)且左連續(xù)的分段連續(xù)函數(shù)的全體.

令φ,φ∈PC(0)，記x(t)=x(t;0,φ),y(t)=y(t;0,φ),x,y∈Ω為系統(tǒng)（3）滿足如下初值條件的解：

設(shè)T,P∈I,s(T?P):I→I為使得s(T?P)是一個(gè)嚴(yán)格增序列的映射；若D?R且ε＞0，則θε(D)={t+ε:t∈D},Fε(D)=?{θε(D):ε＞0}.

記φ=(φ(t),T)為空間PC×I的元素，對(duì)于實(shí)數(shù)序列{}αn，令θαnφ={φ(t-αn),T-αn}?PC×I，其中T-αn={tk-αn:k∈Z,n=1,2,…}.

定義1[9]稱序列是一致概周期的，若對(duì)?ε＞0，存在任何序列的ε-概周期的相對(duì)稠密集.

定義2[9]函數(shù)φ∈PC(R,R)被稱為概周期函數(shù)是指：

（2）對(duì)?ε＞0,?δ＞0使得若t′和t″屬于φ(t)的同一個(gè)連續(xù)區(qū)間，當(dāng)|t′-t″|＜δ時(shí)，有|φ(t′)-φ(t″)|＜ε.

（3）對(duì)?ε＞0，存在相對(duì)稠密集T，使得若η∈T，有|φ(t+η)-φ(t)|＜ε,?t∈R,|t-tk|＞ε,k∈Z成立.稱T的元素是ε-概周期的.

引理1[9]序列為一致概周期的當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)無(wú)限平移序列{tkαn},k∈Z,n=1,2,…,αn∈R中有一個(gè)在I中收斂的子列.

定義3[9]序列φn,φn=(φn(t),Tn)∈PC×I一致收斂到φ,φ=(φ(t),T)∈PC×I當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε＞0,?n0＞0使得當(dāng)n≥n0,t∈RFε(s(Tn?T))時(shí)，ρ(T,Tn)＜ε,||φn(t)-φ(t)||＜ε一致成立.

定義4[9]稱φ∈PC為具有T中第一類間斷點(diǎn)的分段連續(xù)的概周期函數(shù)，若對(duì)任一實(shí)數(shù)序列存在一子列{αn}使得θαnφ在PC×I上是緊的.

引理2[9]令{tk}∈I，則存在一個(gè)正整數(shù)A，使得對(duì)于每個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間，序列{}tk的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)A，即i(s,t)≤A(t-s)+A，其中i(s,t)是區(qū)間(s,t)內(nèi)點(diǎn)tk的個(gè)數(shù).

為方便行文，我們引入以下符號(hào)：

其中f(t)是非負(fù)有界函數(shù).

2 持久性

引理3[10]假設(shè)x∈PC(R)在t=tk,(k∈Z+)處為間斷且是左連續(xù)的，若

其中，f∈C(R×R,R),Ik∈(R,R),且Ik(x),(k∈Z+)關(guān)于x非減.設(shè)如下脈沖微分方程在[t0,∞)上存在最大解u?(t)

則當(dāng)t≥t0時(shí)，由可得x(t)≤u?(t).

注：如果引理3中不等式反號(hào)，u?(t)系統(tǒng)（4）在[t0,∞)上的最小解，則當(dāng)t≥t0時(shí)，由可得x(t)≥u?(t).

引理4[11]假設(shè)a,b＞0，對(duì)于如下脈沖方程：

存在唯一全局漸進(jìn)概周期解x?(t)，且，其中A如引理2中定義

利用上述引理的證明，不難證明：

引理5假設(shè)a,b＞0，對(duì)于如下脈沖方程：

存在概周期解x?(t)，且

引理6假設(shè)a,b＞0,0＜m＜1，對(duì)于如下脈沖方程：

存在概周期解x?(t)，且

引理7假設(shè)a,b＞0，對(duì)于如下脈沖方程：

當(dāng)t≠tk,k∈Z+，考慮區(qū)間[t-τ(t),t),t∈(0,+∞)，不妨設(shè)t1＜t2＜…＜tj是[t-τ(t),t)內(nèi)的脈沖點(diǎn)，對(duì)不等式（9）從t-τ(t)到t積分，可得

將上式代入（8）式可得

利用引理3和引理4可得結(jié)論.

引理8假設(shè)a,b＞0,x(t)≤M，對(duì)于如下脈沖方程：

證 有假設(shè)x(t)≤M，即對(duì)于?ε＞0，存在T＞0，當(dāng)t≥T，有x(t)≤M+ε.

由（11）式，可得：

定理1如果(H1)Δ1＞0,Δ2＞0成立，則系統(tǒng)（3）的每個(gè)解(x(t),y(t))T都滿足m1≤x(t)≤M1,m2≤y(t)≤M2.

證由系統(tǒng)（3）可得

3 全局吸引性

定理2假設(shè)定理1成立，并且滿足以下條件：(1-σ′(t))＞0，其中τ(t),σ(t)在[0,+∞)上連續(xù)可微；

則系統(tǒng)（3）是全局吸引的.

證：若(x(t),y(t))T,((t),(t))T是系統(tǒng)（3）的任意兩個(gè)正解，由定理1知，存在T0＞0和正常數(shù)mi,Mi(i=1,2)，使得：

當(dāng)t≠tk,k∈Z+，由系統(tǒng)（3）的解，計(jì)算（16）式的右上導(dǎo)數(shù)得

由于（H2）、（H3）可知對(duì)足夠大的T＞T0，存在正常數(shù)p,q使得

即系統(tǒng)（3）是全局吸引的，定理得證.

4 概周期解

令{sn}為任意整數(shù)序列，使得當(dāng)n→∞時(shí)，有sn→∞.如有必要取其一子列，對(duì)于t∈R有ri(t+

σ(t+sn)→σ*(t).由引理1可知，當(dāng)n→∞時(shí)，序列集{tk-sn},k∈Z關(guān)于k∈Z一致收斂到序列

則系統(tǒng)（3）的殼方程為：

由概周期理論，可以得到如果系統(tǒng)（3）滿足條件（H1）-（H3），則系統(tǒng)（3）的殼方程（19）同樣滿足（H1）-（H3）.

由文獻(xiàn)［9］中的引理，容易得到如下引理.

引理9若系統(tǒng)（3）的每個(gè)殼方程都有唯一嚴(yán)格正解，則系統(tǒng)（3）有唯一嚴(yán)格正概周期解.

引理10若系統(tǒng)（3）滿足（H1）-（H3），則系統(tǒng)（3）存在唯一嚴(yán)格正概周期解.

證：由引理9，我們僅需證明系統(tǒng)（3）的每一個(gè)殼方程都存在一個(gè)唯一嚴(yán)格正解即可.

令xn(t)=x(t+sn),yn(t)=y(t+sn)，對(duì)所有t≥-sn+T0,n=1,2,…，使得

下面證明每一個(gè)殼方程（19）嚴(yán)格正解的唯一性.假設(shè)殼方程（19）有兩個(gè)任意嚴(yán)格正解(x(t),y(t))T,(x*(t),y*(t))T，其滿足

類似定理2，定義Lyapunov泛函：V*(t)=

其中

D+V(t)≤-p|x(t)-(t)|-q|y(t)-(t)|,?t∈R.

上式兩端從t到0積分，有

注意到V*是有界的.因此

對(duì)?ε0＞0，存在正常數(shù)L使得max{|x(t)-x*(t)|,|y(t)-y*(t)|}＜ε0,?t＜-L.

因此，對(duì)?t＜-L有

即存在正常數(shù)ρ使得V*(t)＜ρε0,?t＜-L.所以

注意到V*(t)在R上是非增泛函，則V*(t)≡0.即x(t)=x*(t),y(t)=y*(t),?t∈R.

因此，系統(tǒng)（3）的每一個(gè)殼方程都有唯一的嚴(yán)格正解.根據(jù)引理9，系統(tǒng)（3）有唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定的正概周期解.

由定理2和引理10，可得如下結(jié)論.

定理3假設(shè)（H1）-（H3）成立，則系統(tǒng)（3）有唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定的正概周期解.

注1 定理3給出了系統(tǒng)（3）的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的正概周期解的充分條件.因此，定理3推廣了文獻(xiàn)［8］的相應(yīng)結(jié)論.