楊瑞云

摘要：概率統(tǒng)計(jì)不僅在解決數(shù)學(xué)問題中扮演著重要的角色，也是研究經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的有效工具，其有助于提高工作效率、增加經(jīng)濟(jì)收益。例如：隨機(jī)事件、參數(shù)估計(jì)、回歸分析、假設(shè)檢驗(yàn)以及隨機(jī)變量的數(shù)字特征。本文就數(shù)學(xué)中最常見的數(shù)學(xué)方差在經(jīng)濟(jì)生活中的具體應(yīng)用進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方差;離散程度;經(jīng)濟(jì)問題

在20世紀(jì)90年代之前，世界上人們關(guān)注的還是宏觀經(jīng)濟(jì)，宏觀經(jīng)濟(jì)指整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)活動(dòng)總量，當(dāng)概率統(tǒng)計(jì)被應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)生活中，人們才把目光轉(zhuǎn)移到微觀經(jīng)濟(jì)當(dāng)中。當(dāng)司空見慣的經(jīng)濟(jì)中的常識(shí)可以被數(shù)學(xué)中的理論解釋，每一件經(jīng)濟(jì)學(xué)事件都有理可依的時(shí)候，經(jīng)濟(jì)學(xué)就有了極大的進(jìn)步，有了質(zhì)的飛躍。經(jīng)濟(jì)學(xué)不再是一個(gè)空想主義，不再是難以想象的幾何空間，從此經(jīng)濟(jì)學(xué)可以被形象的描繪出來，經(jīng)濟(jì)學(xué)與人們的生活聯(lián)系起來[1]。著名的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者馬克威茨曾說過：“偉大的經(jīng)濟(jì)學(xué)家無一例外都是數(shù)學(xué)家?！笨梢娊?jīng)濟(jì)學(xué)是建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)是緊密不可分割。

1 方差定義以及性質(zhì)概述

1.1 方差的定義

方差是用來描述波動(dòng)情況的一個(gè)不可忽視的數(shù)字。與平均數(shù)不同的是，方差不會(huì)受極大值或者級(jí)小的值的影響，因此能更為準(zhǔn)確的體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。在一組數(shù)據(jù)中，如果方差越大則穩(wěn)定性越差;方差越小則穩(wěn)定性越好。

1.2 方差的性質(zhì)

（1）設(shè)a是常數(shù)，則D（a）=0

（2）設(shè)X是離散隨機(jī)變量，a是常數(shù)，則D（aX）=a2D（X），D（X+a）=D（X）

（3）設(shè)X與Y 是兩個(gè)離散的隨機(jī)變量，則D（XY）=D（X）D（Y）Cov（X，Y）

2 方差在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用

2.1 在投資決策中的應(yīng)用

組合投資是為了分散較大的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，每一只股票或者債券的組合的投資收益與其相對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)是通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)算得出。專業(yè)的投資者都不是盲目的進(jìn)行投資，在進(jìn)行投資之前都會(huì)進(jìn)行投資的預(yù)算計(jì)量，在投資收益一定的情況下選擇風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小的投資組合，同樣的，在投資風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下選擇收益情況更好的投資組合[2]。方差的大小直接顯示了投資組合風(fēng)險(xiǎn)的高低，那么在相同的收益下可以選擇方差較小的組合，從而來分散風(fēng)險(xiǎn)。以下以一個(gè)例子做出說明。

假設(shè)一投資者想投資持有一只股票，現(xiàn)在他有三只股票可以選擇，分別為A股票、B股票、C股票三支股票，當(dāng)經(jīng)濟(jì)景氣的時(shí)候投資的概率p1為20%，當(dāng)經(jīng)濟(jì)適中打時(shí)候投資的概率p2為40%，當(dāng)經(jīng)濟(jì)困難時(shí)候投資的概率p3為40%。三只股票的年收益（萬元）在不同經(jīng)濟(jì)的情況下變化，具體情況如下表。

由數(shù)學(xué)期望可知，C股票的數(shù)學(xué)期望最高，B股票的數(shù)學(xué)期望最小，那么C股票的預(yù)期收益會(huì)較高，B股票的預(yù)期收益就相對(duì)來說比較低;那么就可能選擇股票C，現(xiàn)在來考慮它們的方差。

由三只股票的方差來看，A股票的方差最大，B股票的方差最小，說明B股票的收益的波動(dòng)性也越小，其承受的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)來說就比其他兩只股票小，綜合來看選擇股票B是相對(duì)最正確的選擇。

2.2 在農(nóng)產(chǎn)品選擇中的應(yīng)用

當(dāng)數(shù)學(xué)還沒有名字的時(shí)候就已經(jīng)被人們應(yīng)用到實(shí)際生活中了。市場(chǎng)上每一種農(nóng)產(chǎn)品的種子的選擇也都是經(jīng)歷重重檢驗(yàn)與考察，一個(gè)種子品種的選擇不是一次試種比另一種品種的種子強(qiáng)就可以優(yōu)勝，而是通過無數(shù)次的比較從而確定。以下通過一個(gè)例子說明。

兩種大豆的品種分別為大豆一號(hào)與大豆二號(hào)，通過連續(xù)試種9年的單位面積的產(chǎn)出量，具體數(shù)據(jù)如下表：

由兩種品牌的方差可以看出，大豆一號(hào)的方差相對(duì)來說比大豆二號(hào)的小，從而說明大豆一號(hào)的單位面積產(chǎn)出量相對(duì)大豆一號(hào)較為穩(wěn)定，波動(dòng)較小。通過比較兩個(gè)品種的數(shù)學(xué)期望和方差，從而選擇方差較小的大豆一號(hào)品種上市。雖然大豆二號(hào)的數(shù)學(xué)期望更高，但是種植不是博弈，農(nóng)民們更想要的是長(zhǎng)久的收益，穩(wěn)定的產(chǎn)量，所以選擇大豆一號(hào)。

2.3 在公司管理中的應(yīng)用

上市公司的重大決策往往是通過股東大會(huì)表決執(zhí)行的，然而并不是每一個(gè)提議都會(huì)被通過，但是每一個(gè)提議都要有理可言。通常一個(gè)公司決定要收購(gòu)另一個(gè)公司都會(huì)考慮收購(gòu)帶來的成本與收益，當(dāng)收益能完全覆蓋成本并且還有額外收益的時(shí)候，此次收購(gòu)或者并購(gòu)才算成功的[3]。通常公司的收益用數(shù)學(xué)期望來表示，公司的風(fēng)險(xiǎn)可以用方差來計(jì)量，那么公司的選擇是選擇期望值較大點(diǎn)的且方差值相對(duì)較小的決策。以下通過一個(gè)例子來說明：

一汽車公司想要收購(gòu)另一汽車配件公司，收購(gòu)成功的概率p1為0.7，收購(gòu)失敗的概率 p2為0.3。收購(gòu)成功的話每年收益200萬元，收購(gòu)失敗的話損失500萬元。收購(gòu)成功時(shí)間記為A，失敗記為B。

由題意可知此次收購(gòu)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算如下

3 修正方差與方差

通常我們的方差的計(jì)算是通過標(biāo)準(zhǔn)差的連加再除以n，然而修正方差此時(shí)除以的不再是n而是n-1，為什么我們除以的不再是n而是n-1呢？其實(shí)樣本方差要除以n-1是因?yàn)檫@樣的話，得到的結(jié)果才是符合總體方差的無偏估計(jì)量。我們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的方差的計(jì)算方法雖然可以解決一些問題，但是對(duì)于總體實(shí)際情況的估計(jì)度量還是過于粗糙，不夠精細(xì)。傳統(tǒng)方差相對(duì)于修正方差而言，因?yàn)榉肿邮莕，大于 n-1，所以沒有修正過的方差小于修正過的方差，沒有修正過的方差的波動(dòng)情況更小，穩(wěn)定性更好，傳統(tǒng)的方差不能夠反映出總體的實(shí)際波動(dòng)情況，相比較而言修正方差更能準(zhǔn)確的描繪出總體的穩(wěn)定情況。雖然修正方差對(duì)于估計(jì)總體的無偏程度更加貼切也更加符合真實(shí)的總體情況，我們文中用到的卻是沒有經(jīng)過修正過的方差，但是我們需要的是比較不同情況下的方差的大小情況，追求的并不是更加貼合總體的真實(shí)情況，與此同時(shí)我們對(duì)于不同的選擇決策運(yùn)用的是同一種方法，即沒有修正過的方差，所以得到的結(jié)果仍然是準(zhǔn)確的，符合我們想要達(dá)到的結(jié)果 。

修正方差通常在計(jì)量較為精確的總體情況時(shí)被用到，它的無偏性能把誤差縮小到一定的程度，甚至忽略不計(jì)。從而能準(zhǔn)確的把握總體的情況。通常修正方差被運(yùn)用在抽樣檢測(cè)一些較為精密的儀器設(shè)備，檢測(cè)一些具有危害性的氣體，還有一些較為稀有珍貴的材料上。

4 總結(jié)

數(shù)學(xué)方差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義在經(jīng)濟(jì)學(xué)上具有舉足輕重的地位，與此同時(shí)數(shù)學(xué)方差在經(jīng)濟(jì)生活中同樣具有不可小覷的地位。例如：著名的博弈理論、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)、投資決策、抽樣檢查等等。經(jīng)濟(jì)生活離不開數(shù)學(xué)，當(dāng)人們還沒有意識(shí)到數(shù)學(xué)的存在的時(shí)候就已經(jīng)在使用數(shù)學(xué)方法了，例如古代的結(jié)繩計(jì)數(shù)，經(jīng)濟(jì)生活充斥著數(shù)學(xué)，而方差在數(shù)學(xué)中扮演了非常重要的地位。即使經(jīng)濟(jì)生活可以離開數(shù)學(xué)方差，但是擁有了數(shù)學(xué)方差才會(huì)使經(jīng)濟(jì)生活得到極大的進(jìn)步，擁有跨世紀(jì)的飛躍。同樣，當(dāng)數(shù)學(xué)只是為了計(jì)算而計(jì)算，不服務(wù)于經(jīng)濟(jì)社會(huì)的時(shí)候，那么數(shù)學(xué)就是失去了它存在的意義，更不會(huì)被人們所重視。只有為經(jīng)濟(jì)服務(wù)的數(shù)學(xué)方差才是有存在價(jià)值的數(shù)學(xué)方差，只有數(shù)學(xué)的助力，經(jīng)濟(jì)生活才能達(dá)到更發(fā)達(dá)的階段。

參考文獻(xiàn)

[1]田兵.單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用[J].陰山學(xué)刊（自然科學(xué)），2013，27（02）：24-27.

[2]董斌斌.數(shù)學(xué)期望與方差在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用[J].科技信息，2011（01）：254-255.

[3]丁迎秀.數(shù)學(xué)期望與方差在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010，29（11）：62-64.