（宿遷學院，江蘇宿遷 223800）

0 引言

羅茨泵作為一種非接觸式凸轉子泵，廣泛應用于真空、抽風、鼓風、水油搬運等領域。其中，主、從轉子的型線與尺寸完全一致，圓弧[1]、漸開線[2]、擺線[3]是目前最為常見的 3種型線類型，對應的轉子稱為常規(guī)轉子，其具有以下共性特點：（1）承擔轉子副本體運動的一對頂部、谷部工作型線段相接于節(jié)圓的兩側，（2）轉子頂與泵殼間為“頂軸向線—殼腔圓弧面”的孔隙，徑向孔口泄漏大[1-3]。頂旋泵（Epitrochoidal Lobe Pump）正好相反，工作型線段位于轉子頂部，頂旋泵也由此得名，且形成相對小泄漏的徑向縫隙。自頂旋轉子因恒流被提出以來[4]，國內外展開的研究還不多[5]。因此，擬就頂旋轉子的輕量化型線構造及性能作進一步研究與分析。

1 頂旋泵的葉型線構造

轉子型線均由節(jié)圓內、外的谷、頂兩部分型線段組成，記轉子葉的頂、谷部的對稱軸為頂軸和谷軸如圖1所示。其中，頂型線為頂圓弧段，谷型線為谷圓弧段，兩者間為過渡曲線段。

圖1 頂旋轉子泵的葉型線構造

頂圓弧段與谷圓弧段共同構成了轉子副的本體共軛運動，則，頂圓弧段圓心角=谷圓弧段圓心角=π/N，其中，N為轉子葉數(shù)，而過渡曲線段由頂圓弧的端點掃掠而成，不參與轉子的本體共軛運動。

設轉子的形狀系數(shù)為ε，節(jié)圓半徑為r，則頂圓弧半徑ra、谷圓弧半徑rb分別為：

2 頂旋泵的輕量化指標

采用掃過面積法考察泵流量的情況。圖2中，設在微小時間dt內，主、從轉子o1，o2的頂徑ra1，ra21轉過dω微小角度；而主轉子谷徑rb1、從轉子頂徑ra22因始終共軛在o1o2線上，其轉過的微小角度為0。此時，主、從轉子的兩頂圓弧段ra1、ra21、泵進口輪廓線、主轉子谷圓弧段rb1、從轉子頂圓弧段ra22和殼腔圓弧封閉圍成圖2剖面線所示的截面積，其對應的微小容積變化量dV為：

式中 bo——轉子的寬度。

由上式可知，頂旋泵為恒流泵，流量脈動為0。

設泵的排量為qs，容積效率為ηs，轉速為n，轉子軸向截面積占轉子腔軸向截面積的百分比為ηrotor，容積利用系數(shù)為λ=1-ηrotor，內泄漏率為ηleakage，轉子腔的空間以雙轉子的頂圓柱腔體積Vcavity=2×πra2bo來表示。則由：

得：

式中 Vq——泵的單位排量體積[6-10]，即輕量化指標。

由式（4）可知，ηrotor↓和ηleakage↓進而Vq↓?，F(xiàn)有研究結果表明，ε主要決定單位節(jié)圓半徑下轉子的型線類型[1-3]，獨立于節(jié)圓半徑r的大小。而ra最大化等價于ε最大化和r最大化，且r↑進而ηleakage↓，且r最大化主要由ε最大化結合泵額定流量加以計算[6]。因此，泵輕量化程度取決于形狀系數(shù)最大化，下面僅就形狀系數(shù)ε的影響加以分析。

圖2 流量計算的掃過面積法

3 頂旋泵的葉型線方程

以主從轉子的頂、谷圓弧端點 a1（b2）、b1（a2）均共軛于中心線o1o2上的位置，作為轉子副旋轉的起始位置，如圖3（a）所示，并以頂軸為y軸，o1為原點，構建xo1y直角坐標系。以頂圓弧端點a1、a2接觸的位置，作為旋轉的終止位置，如圖3（b）所示，對應的轉角為ωa之間的任一位置，如圖3（c）所示，所對應的轉角為ω∈[0，ωa]。

圖3 過渡曲線掃掠的生成過程

圖（b）中，由a1（a2）在中心線 o1o2上的垂足為o1o2的中點，即節(jié)點，得：

圖3（c）中，設σ=∠a2o1a1，∠yo1a2=φ，令

式中 t——0～1間的變量。

由⊿o1a2o2幾何關系可得：

式中 rω——o1a2的長度。

得

式中 （xω，yω）——過渡曲線段在 xo1y中的參數(shù)化坐標；

（xa-arc，ya-arc）——頂半圓弧段、谷半圓弧段在xo1y中的參數(shù)化坐標；

（xb-arc，yb-arc）——谷半圓弧段在 xo1y 中的參數(shù)化坐標。

4 最大形狀系數(shù)及參數(shù)化模型

由圖3可以看出葉最薄弱截面應位于σ最大的地方，如圖3（a）所示，設對應的最薄弱圓弧（定義為根圓?。┑膱A心半角（定義為根圓半角）為β。為此，構建目標函數(shù)：β（t）↓；設計變量：t；約束函數(shù)：0＜t＜1的優(yōu)化模型，得對應于β最小化的 t*（ε）和σ（t*，ε）、rω/r（t*，ε）、β（t*，ε，N），如表1所示。其中，β（t*，ε，N）=φ（N）-σ（t*，ε）。

表1 不同葉數(shù)、不同形狀系數(shù)下的最薄弱截面幾何

由表1知，ε↑→rω/r（ε）↓，ε↑→φ-σ（ε）↓。前者表示最薄弱截面越接近根部，后者表示最薄弱截面寬度越窄，均減弱了轉子葉的抗彎曲能力。N↑→φ-σ（N）↓，表示葉數(shù)越多，轉子葉的抗彎曲能力越弱。

在保證足夠的擬合精度下，β（ε，N）的擬合方程為：

設[β]為β（ε，N）的最小根圓半角，則由

得最大形狀系數(shù)為：

[β]=0時有 N 為2，3，4時 εmax分別為1.804，1.622，1.516。

[β]=0實際上不存在，這里僅為比較用。

ε=1.4時轉子對應的3D參數(shù)化模型如圖4所示。同樣可以看出N↑→β（N）↓→抗彎能力↓。

圖4 不同葉數(shù)的參數(shù)化轉子副

5 容積利用系數(shù)及擬合方程

由式（10）的葉型線方程構建3D轉子模型，通過3D軟件的面分析功能，分別測出不同葉數(shù)、不同形狀系數(shù)的轉子軸向截面積srotor，并由：

計算得到的容積利用系數(shù)λ，如表2所示。其中，ε↑→λ（ε）↑；N↑→λ（N）↑。前者與常規(guī)轉子一樣；但后者卻相反。

表2 不同葉數(shù)、不同形狀系數(shù)下的容積利用系數(shù)

λ（ε，N）的擬合方程為：

6 閉氣現(xiàn)象及簡化加工方案

在圖3（c）中，由于過渡曲線由頂圓弧的端點a2掃掠而成，自然就形成如圖3（c）中剖面線所示的2個分割區(qū)域，從而產(chǎn)生類似于齒輪泵“困油現(xiàn)象”的“閉氣現(xiàn)象”。為消除該現(xiàn)象和利于過渡曲線的加工，提出了一款簡化的結構方案，如圖5所示。

圖5 掃掠過渡曲線的圓弧簡化

由于過渡曲線不參與轉子副的本體工作運動，對其的光滑連續(xù)性沒有特別要求，所以，可以采用兩段圓弧來簡化加工及消除“閉氣現(xiàn)象”。其中，谷過渡圓弧圓心obc及半徑rbc由過谷圓弧端點且外切谷圓弧段，另一端點與原有過渡曲線與節(jié)圓的交點（即節(jié)點）的三點幾何條件唯一確定；頂過渡圓弧圓心oac及半徑以rac由過頂圓弧段端點和節(jié)點，且外切頂部過渡曲線的三點幾何條件唯一確定。由此，該轉子的半葉型線有4段圓弧構成，雖然該方案增加了余隙容積，但并不構成對原有可利用容積系數(shù)的影響。

7 結論

（1）頂旋轉子的過渡曲線段分布在節(jié)圓的兩近側，共軛工作型線段位于兩圓側，具有零流量脈動、小徑向泄漏優(yōu)點。

（2）泵輕量化程度取決于轉子頂徑的最大化，頂徑最大化取決于形狀系數(shù)最大化，所建立的形狀系數(shù)最大化公式依據(jù)葉數(shù)及根圓弧強度條件可直接采用。

（3）葉數(shù)越多，最大形狀系數(shù)越小，但容積利用系數(shù)卻越大，后者與常規(guī)轉子的容積利用系數(shù)越小正好相反。所建立的容積利用系數(shù)擬合公式可直接采用。

（4）過渡曲線的2段簡化圓弧，利于消除“閉氣現(xiàn)象”和簡化加工。