吳曉麗

【摘要】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，把解決問(wèn)題作為重要的課程目標(biāo)，并指出：學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能?chē)L試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)了從問(wèn)題想起、從條件想起、畫(huà)圖、枚舉、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等解決問(wèn)題的策略。畫(huà)圖的策略是眾多的解題策略中最基本最重要的策略之一。通過(guò)畫(huà)圖，為學(xué)生解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題搭好了橋，幫助學(xué)生化抽象為直觀，揭示概念本質(zhì)。本文以蘇教版小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)為例，介紹畫(huà)圖的策略在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】畫(huà)圖策略；解決問(wèn)題；應(yīng)用；小學(xué)數(shù)學(xué)

小學(xué)一二年級(jí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題中形象思維居多，三年級(jí)漸漸出現(xiàn)了抽象思維的問(wèn)題。面對(duì)一些稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們可以運(yùn)用畫(huà)圖的策略來(lái)解決。

畫(huà)圖的策略，是數(shù)形結(jié)合思想方法的一種體現(xiàn)，是運(yùn)用數(shù)和形的相互關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種策略?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，是直觀與抽象在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形相結(jié)合，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)來(lái)研究問(wèn)題，思路與方法便在圖形中直觀地顯示出來(lái)，以形助數(shù)，可顯現(xiàn)直觀，簡(jiǎn)化解答，往往起到事半功倍的效果。

一、畫(huà)圖策略在小數(shù)數(shù)學(xué)中的地位

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，畫(huà)圖策略是最基礎(chǔ)的，也是很重要的解決問(wèn)題的策略。現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排中運(yùn)用了大量的畫(huà)圖，許多例題滲透數(shù)形結(jié)合的思想和畫(huà)圖策略，如分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)、一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)這兩個(gè)比較抽象的算理時(shí)，就是通過(guò)長(zhǎng)方形圖與線(xiàn)段圖來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解與探究的。其價(jià)值在于用圖形語(yǔ)言刻畫(huà)問(wèn)題；用圖形語(yǔ)言尋找解決問(wèn)題的思路，用圖形語(yǔ)言刻畫(huà)問(wèn)題的結(jié)果。畫(huà)圖策略不僅蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想方法———數(shù)形結(jié)合思想，而且圖文并茂深受小學(xué)生的喜愛(ài)。往往一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖策略可以輕松解決問(wèn)題，給人“柳暗花明又一村”的喜悅。

二、畫(huà)圖策略在小數(shù)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

畫(huà)圖策略在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，如：求經(jīng)過(guò)時(shí)間的時(shí)間圖，倍數(shù)關(guān)系中的線(xiàn)段圖，長(zhǎng)方形正方形周長(zhǎng)和面積計(jì)算中的畫(huà)圖等等。

（一）在求經(jīng)過(guò)時(shí)間中的應(yīng)用

求經(jīng)過(guò)時(shí)間的問(wèn)題中，會(huì)出現(xiàn)跨越兩天的問(wèn)題，如果借助畫(huà)圖可以更好地解決問(wèn)題。

例1：一位警察叔叔從23時(shí)開(kāi)始上班執(zhí)勤，第二天6時(shí)下班。這次夜間執(zhí)勤的時(shí)間是多少小時(shí)？

分析：這一題求經(jīng)過(guò)時(shí)間，難點(diǎn)在于時(shí)間跨越了兩天要先求出第一天經(jīng)過(guò)的時(shí)間，再求出第二天經(jīng)過(guò)的時(shí)間，最后把兩天經(jīng)過(guò)的時(shí)間相加。列式計(jì)算為：24- 23=1（小時(shí)），6-0=6（小時(shí)），1+6=7（小時(shí)）。如果采用畫(huà)圖策略就非常簡(jiǎn)單（圖1）：可以直觀地看出夜間執(zhí)勤的時(shí)間是7小時(shí)。

（二）在差倍問(wèn)題中的應(yīng)用

有些差倍問(wèn)題比較復(fù)雜，學(xué)生讀完題目后往往無(wú)從下手，此時(shí)若借助線(xiàn)段圖，許多難題便能迎刃而解了。

例2：小芳比媽媽小27歲，媽媽今年的歲數(shù)正好是小芳的4倍。媽媽和小芳今年各是多少歲？

分析：這是蘇教版第六冊(cè)33頁(yè)的一道思考題，部分學(xué)生讀完題目一頭霧水。根據(jù)題意老師可以先引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出線(xiàn)段圖（如圖2），再啟發(fā)他們由線(xiàn)段圖直觀地看出：今年小芳與媽媽年齡的差正好是小芳年齡的3倍。因此，可以先算小芳的年齡，再算媽媽的年齡，即：今年小芳的年齡是27÷3=9（歲），媽媽的年齡是9×4=36（歲）。

（三）在長(zhǎng)方形正方形相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用

蘇教版三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)的計(jì)算，三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的面積的計(jì)算。之前學(xué)生學(xué)習(xí)的代數(shù)類(lèi)問(wèn)題居多，第一次接觸幾何計(jì)算類(lèi)題目，如果不借助圖形，理解起來(lái)還是有些吃力的。對(duì)于一些用文字語(yǔ)言描述的問(wèn)題，部分學(xué)生無(wú)從下手，如果能按題目要求畫(huà)出草圖，便能將抽象問(wèn)題直觀化，再難的題也能迎刃而解。

例3：用兩個(gè)長(zhǎng)4厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形拼成正方形或長(zhǎng)方形，拼成的正方形、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)各是多少厘米？

錯(cuò)解：先求出一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（4+2）×2=12（厘米），然后誤認(rèn)為拼成的長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)為一個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的2倍，于是用12×2=24（厘米），于是得到了錯(cuò)誤的結(jié)果。

分析：文字描述很簡(jiǎn)單，但是如果憑空想象而不畫(huà)圖還是極易出錯(cuò)的。根據(jù)題意可以引導(dǎo)學(xué)生先畫(huà)出草圖，再由草圖更加直觀地解決這個(gè)問(wèn)題。圖3為拼成的正方形，由草圖可以直觀地看出邊長(zhǎng)為4厘米，所以周長(zhǎng)為：4×4=16 （厘米）；圖4為拼成的長(zhǎng)方形，由草圖可以直觀地看出長(zhǎng)為2×4=8（厘米），寬為2厘米，所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（8+2）×2=20（厘米）。

例4：王大媽沿著一條河用籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)25米、寬10米的長(zhǎng)方形菜地。她至少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的籬笆？

錯(cuò)解：至少需要籬笆的長(zhǎng)度為25×2+10=60（米）。

分析：通過(guò)畫(huà)圖（圖5）可以判斷出，當(dāng)長(zhǎng)邊沿著河邊時(shí)所需的籬笆最短。此時(shí)可以求出至少需要籬笆的長(zhǎng)度為：10×2+25=45（米）。

例5：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是11厘米，寬是4厘米。現(xiàn)要在這個(gè)長(zhǎng)方形中剪最大的正方形。

（1）求剪得的最大正方形的面積是多少平方厘米？

（2）最多能剪幾個(gè)這樣的正方形？（先在圖中畫(huà)一畫(huà)，再回答）

（3）把所有能剪的最大正方形都剪下后，剩下的面積是多少平方厘米？

分析：在以前的學(xué)習(xí)中，通過(guò)讓學(xué)生實(shí)際操作，已經(jīng)知道：在一個(gè)長(zhǎng)方形中剪一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)就是原來(lái)長(zhǎng)方形的寬。

解：那么在（1）中，這個(gè)最大正方形的邊長(zhǎng)是4厘米（即為原來(lái)長(zhǎng)方形的寬），面積是4×4=16（平方厘米）；（2）通過(guò)在圖中畫(huà)一畫(huà)，得知在這個(gè)長(zhǎng)方形中最多能剪2個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形（如圖6）；（3）剪下兩個(gè)最大的正方形（邊長(zhǎng)為4厘米）后，剩下部分即為圖6中的陰影部分，從圖中可以直觀地看出它是一個(gè)長(zhǎng)為4厘米，寬為11-2×4=3（厘米）的長(zhǎng)方形，所以剩下部分的面積為4×3=12（平方厘米）。

三、畫(huà)圖策略的應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力的培養(yǎng)

有的代數(shù)問(wèn)題（如差倍問(wèn)題），可以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)（線(xiàn)段圖）的問(wèn)題研究；有的幾何問(wèn)題把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來(lái)研究，相應(yīng)問(wèn)題就會(huì)化抽象為直觀，化難為易，一些原本看來(lái)很難的問(wèn)題就能迎刃而解，使問(wèn)題得以快速地解決。在日常教學(xué)中，教師要盡可能發(fā)覺(jué)“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。

著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)，算術(shù)符號(hào)是寫(xiě)下來(lái)的圖形，幾何圖形是畫(huà)下來(lái)的公式，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一關(guān)系，使得數(shù)形結(jié)合思想成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本思想。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生善于運(yùn)用直觀圖形來(lái)分析、探索、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法和思維習(xí)慣，從而形成數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí)并增強(qiáng)應(yīng)用能力。

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（江蘇省常州市新北區(qū)小河中心小學(xué)，江蘇常州213038）