南北彤

（中煤北京煤礦機(jī)械有限責(zé)任公司，北京 102400）

0 引言

MATLAB 是“Matrix Laboratory”2 個(gè)單詞前3 個(gè)字母的組合，意為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，是一個(gè)包含眾多科學(xué)、工程計(jì)算的龐大系統(tǒng)。

MATLAB 語言的產(chǎn)生與數(shù)學(xué)計(jì)算緊密聯(lián)系在一起。1980 年，美國新墨西哥州大學(xué)計(jì)算機(jī)系主任Cleve Moler為了減少學(xué)生在高級(jí)語言編程上花費(fèi)的時(shí)間而編寫了該程序，隨后成立了軟件開發(fā)公司，從1984 年推出商業(yè)版本以來，經(jīng)過30 余年的補(bǔ)充與完善以及不斷升級(jí)換代，軟件的功能已非常之強(qiáng)大，成為國際上最流行的科學(xué)計(jì)算與工程計(jì)算軟件工具之一，被稱為“第四代”計(jì)算機(jī)語言。

MATLAB 以其友好的工作平臺(tái)和編程環(huán)境，簡單易用的編程語言，應(yīng)用廣泛的模塊集合工具箱、強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)處理能力等優(yōu)點(diǎn)，在研究單位和工程界也成為工程師們必須掌握的一種工具，是公認(rèn)的進(jìn)行高效研究與開發(fā)的首選軟件工具[1]。

在機(jī)械設(shè)計(jì)工作過程中，常常遇到優(yōu)化問題，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法常在調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，參照同類產(chǎn)品，通過估算、經(jīng)驗(yàn)類比或試驗(yàn)來確定初始設(shè)計(jì)方案，如不能滿足指標(biāo)要求，則反復(fù)進(jìn)行“分析計(jì)算——性能檢驗(yàn)——參數(shù)修改”的循環(huán)過程，直到滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求為止。整個(gè)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)過程就是人工湊試和定性分析比較的過程，是被動(dòng)地重復(fù)分析產(chǎn)品性能，不是主動(dòng)地設(shè)計(jì)產(chǎn)品參數(shù)。按照傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法做出的設(shè)計(jì)方案，有改進(jìn)余地，但不是最佳設(shè)計(jì)方案。目前較為先進(jìn)的做法還可以用三維繪圖軟件模擬、估算。繪圖軟件并不能完全解決很多實(shí)際問題，且一般必須從繪圖開始，再利用繪圖軟件內(nèi)置插件進(jìn)行計(jì)算，然后再回到繪圖，工作量大，還容易造成設(shè)計(jì)的裕度過大而增加生產(chǎn)成本。

而現(xiàn)代化的機(jī)械產(chǎn)品參數(shù)設(shè)計(jì)工作可以借助專門的計(jì)算軟件，應(yīng)用精確度較高的力學(xué)數(shù)值分析方法，進(jìn)行優(yōu)化分析計(jì)算，找到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，實(shí)現(xiàn)理論設(shè)計(jì)代替經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，用精確計(jì)算代替近似計(jì)算，用優(yōu)化設(shè)計(jì)代替一般的安全壽命可行性設(shè)計(jì)。

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 液壓缸優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的提出

液壓缸是液壓系統(tǒng)的執(zhí)行元件之一，是將液體的壓力能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，實(shí)現(xiàn)往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換裝置，也是液壓系統(tǒng)中應(yīng)用最多的執(zhí)行元件。礦用液壓支架中，立柱可以說是最重要的液壓執(zhí)行元件，也是支架最重要的動(dòng)力部件和支撐件。立柱的性能和可靠性直接影響著支架的性能和可靠性，進(jìn)而影響著采煤工作面的安全和生產(chǎn)效率。每根立柱承載數(shù)千千牛的頂板壓力，長期處于高壓受力狀態(tài)，除應(yīng)具有合理的工作阻力和可靠的工作特性之外，還必須有足夠的抗壓和抗彎強(qiáng)度，良好的密封，結(jié)構(gòu)簡單且能適應(yīng)液壓支架工作的要求。液壓支架上廣泛采用的是雙作用活塞式立柱，該文所研究的是雙伸縮立柱。

立柱大缸的缸管選用關(guān)系到支架立柱的抗彎曲、抗高壓能力，直接影響立柱整體的使用效果。而有時(shí)由于受到運(yùn)輸、使用條件的限制，要求在滿足使用條件的前提下，降低總體產(chǎn)品重量，所以必須在有限條件下將產(chǎn)品的每一部分重量盡可能降至最低，這樣也使材料成本更加節(jié)約。

1.2 立柱大缸管優(yōu)化問題描述

現(xiàn)在需要設(shè)計(jì)一種立柱，已知選用的鋼管材料為30CrMnSi，工作壓強(qiáng)為31.5 MPa，最大工作載荷根據(jù)支架產(chǎn)品整體設(shè)計(jì)的需要定為Pmax=1 960 kN，最小工作載荷可以近似為0，缸管壁厚δ 的取值范圍為20 mm～38 mm，缸管內(nèi)徑D 的取值范圍為200 mm～300 mm，所需鋼管材料長度為1 500 mm。查得，30CrMnSi 合金結(jié)構(gòu)鋼的密度為7.85×103kg/m3。該文所涉及的主要尺寸參數(shù)含義如圖1 所示。

圖1 主要尺寸參數(shù)示意圖

1.3 目標(biāo)函數(shù)和約束條件公式

忽略缸口連接部分切削掉的質(zhì)量和底部焊接坡口加工時(shí)去掉的質(zhì)量，則大缸管質(zhì)量計(jì)算公式為：

式中：M—大缸管質(zhì)量（kg），ρ—大缸管材料密度（kg/m3），D—大缸管內(nèi)徑（m），δ—大缸管壁厚（m）。

變量設(shè)計(jì)，即主要尺寸參數(shù)D 與x1、δ 與x2一一對(duì)應(yīng)，便于MATLAB 軟件進(jìn)行計(jì)算：

式中：x1—大缸管內(nèi)徑，x2—壁厚。

整理后，目標(biāo)函數(shù)為：

為方便計(jì)算，以下數(shù)據(jù)均按國際單位制給出。

液壓缸設(shè)計(jì)中，計(jì)算公式有很多，但不是所有的公式形成函數(shù)后都能起到約束作用，不能起到約束作用的函數(shù)，應(yīng)在選擇時(shí)不予考慮，以減少工作量。該題目必要的約束條件有2 個(gè)。

1.3.1 根據(jù)負(fù)載大小選定系統(tǒng)壓力表計(jì)算D

式中：F—液壓缸的推力（kN），P—選定的工作壓力（MPa），計(jì)算的時(shí)候經(jīng)常是用試驗(yàn)壓力，低于16 MPa時(shí)，取實(shí)際工作壓力的1.5 倍，高于16 MPa 時(shí)，取實(shí)際工作壓力的1.25 倍。所以該題中應(yīng)選31.5×1.25=39.375 MPa。

將變量設(shè)計(jì)值和已知量代入公式（4），并將式（4）轉(zhuǎn)換為不等式，則得到約束函數(shù)為：

式中：g1（x）為約束條件函數(shù)符號(hào)，下文中的g2（x）、g3（x）同理。

1.3.2 缸壁厚度δ

當(dāng)D/δ 比值不同時(shí)，所用公式也不同。

1.3.2.1 當(dāng)D/δ ≥16時(shí)，按薄壁筒計(jì)算

式中：δ—缸壁厚度（m），Py—試驗(yàn)壓力（MPa），當(dāng)工作壓力≥16 MPa 時(shí)，Py=1.25Pa，[σ]—缸體材料的許用應(yīng)力（MPa）。

按g1（x）代換和轉(zhuǎn)換方式可得：

1.3.2.2 按中等壁厚

當(dāng)3.2 ≤D/δ ＜16 時(shí)

式中：ψ—強(qiáng)度系數(shù)，對(duì)無縫管ψ=1，C—計(jì)入壁厚公差及腐蝕的附加厚度，通常圓整到標(biāo)準(zhǔn)厚度值，在工作中常取2 mm。

同理可得：

1.3.2.3 按厚壁筒計(jì)算

對(duì)中、高壓D/δ ＜3.2 時(shí)，常用第二或第四強(qiáng)度理論，該題中不需要考慮。

形狀限制：

0.20 ≤x1≤0.30

0.02 ≤x2≤0.038

1.4 數(shù)學(xué)模型的建立

經(jīng)過上面的分析步驟，可以把上述問題抽象為數(shù)學(xué)模型。

2 運(yùn)行程序及結(jié)果分析

2.1 求解程序

2.1.1 目標(biāo)函數(shù)子程序

暫且命名為“gangguan1.m”，即“缸管1”:

function f=gangguan1(x)

f=37*10^3*(x(1)*x=(2)+x(2)^2);

2.1.2 約束函數(shù)子程序

命名為“gangguan2.m”，即“缸管2”:

function [c,ceq]=gangguan2(x)

c(1)=0.0634-x(1)^2;c(2)=0.11581*x(1)-x(2);c(3)=0.11198*x(1)-x(2)+0.002;c(4)=x(1)-0.30;c(5)=0.20-x(1);c(6)=x(2)-0.038;c(7)=0.02-x(2);

ceq=[];

2.1.3 主程序

命名為“gangguanyouhua.m”，即“缸管優(yōu)化”：

x0=[1,1];lbnd=[0,0];ubnd=[];options=[];

[c,ceq]=fmincon('gangguan1',x0,[],[],[],[],lbnd,ubnd,'ganggu an2',options)

該題為求解非線性多變量約束最優(yōu)化問題，所以使用的MATLAB 函數(shù)是fmincon[2]。

2.2 運(yùn)行結(jié)果

在命令欄輸入主程序名后運(yùn)行，得以下結(jié)果，c 后顯示的是x1、x2的計(jì)算結(jié)果，ceq 后顯示的是質(zhì)量優(yōu)化后的最小值：

c=

0.2518 0.0302

ceq=

315.0516

根據(jù)計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果，當(dāng)大缸管內(nèi)徑x1=0.2518m，壁厚x2=0.0302m 時(shí)，代入質(zhì)量公式之后得到最小質(zhì)量等于315.0516 kg。

當(dāng)然，優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果可以經(jīng)過驗(yàn)算證明其數(shù)值的可靠性。例如，如求得缸管壁厚δ，可以做一下幾方面的驗(yàn)算，保證立柱可以安全有效工作。

2.2.1 立柱額定壓力必須低于一定的極限值

式中：Pn—立柱額定壓力（內(nèi)部壓強(qiáng)，MPa），D1—液壓缸大缸管外徑（m），也就是D+2δ，σs—材料的屈服強(qiáng)度（MPa）。

經(jīng)過計(jì)算可知，大缸管完全滿足該極限驗(yàn)證要求。

2.2.2 其他驗(yàn)證方式

此外還有很多驗(yàn)證方式，如通過Pn與塑性變形關(guān)系的驗(yàn)證，大缸管徑向變形ΔD 允許范圍的驗(yàn)證，費(fèi)帕爾（Faupel）計(jì)算大缸管爆裂壓力的驗(yàn)證，根據(jù)梅拉公式與第四強(qiáng)度理論驗(yàn)證過載強(qiáng)度，進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真模擬等[3]。

當(dāng)然，按照常用液壓缸缸徑序列，必須選擇比所求數(shù)值稍大的內(nèi)徑和壁厚的常用缸徑規(guī)格，當(dāng)內(nèi)徑和壁厚有相應(yīng)變化時(shí)，質(zhì)量也會(huì)隨之變化。上述各值與日常工作中所接觸的立柱參數(shù)相吻合，而且更加精確，達(dá)到了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果。

該例中雖然是將質(zhì)量引入優(yōu)化設(shè)計(jì)中，但是影響產(chǎn)品安全性和可靠性的重點(diǎn)參數(shù)也在該過程中得以確定，不但可以對(duì)選擇常用規(guī)格系列中的已有規(guī)格有所幫助，而且能夠?qū)ξ磥磉M(jìn)一步優(yōu)化規(guī)格系列，改進(jìn)設(shè)計(jì)提供重要參考。

3 可能出現(xiàn)的問題及優(yōu)化步驟總結(jié)

3.1 程序運(yùn)算中可能出現(xiàn)的問題

在設(shè)計(jì)參數(shù)的過程中，如果添加了更多的約束條件，運(yùn)算仍然可以得到結(jié)果，但運(yùn)算結(jié)果不符合形狀約束條件，而且會(huì)出現(xiàn)如下警告:"Warning:Trust-region-reflective method does not currently solve this type of problem,using active-set(line search)instead."提示的“active-set”為有效集運(yùn)算，此時(shí)則需要改變所用函數(shù)的類型，或者修改約束條件。

此外，還會(huì)出現(xiàn)持續(xù)運(yùn)算，而不出現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果的可能，這是由于所寫程序出現(xiàn)死循環(huán)運(yùn)算，即一直持續(xù)運(yùn)算，但不能得出最優(yōu)化結(jié)果。此時(shí)則需要重新檢查所設(shè)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

3.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題求解步驟總結(jié)

綜合所做的其他優(yōu)化題目的過程和經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了求解時(shí)的7 個(gè)步驟。1）判斷優(yōu)化問題的類型（區(qū)分單目標(biāo)與多目標(biāo)問題；線性與非線性問題；是否為線性規(guī)劃問題等幾種情況）。2）根據(jù)優(yōu)化問題的類型來選定優(yōu)化函數(shù)。例如，該題目屬于單目標(biāo)多變量非線性約束優(yōu)化問題， 所以選定fmincon 優(yōu)化函數(shù)。此外，常用函數(shù)還有fminsearch、fminbnd、fminmax、linprog 等很多種，可以滿足各種類型的優(yōu)化問題求解需要。3）優(yōu)化函數(shù)輸入?yún)?shù)。比如初值、等式約束、不等式約束、變量的上下限，編制目標(biāo)函數(shù)的程序，對(duì)于含有非線性約束的問題，需要編制非線性約束的函數(shù)。4）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)，預(yù)設(shè)優(yōu)化設(shè)置。5）在所有的輸入?yún)?shù)定義后，調(diào)用優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化程序調(diào)試。6）根據(jù)優(yōu)化過程的具體提示信息，修改優(yōu)化選項(xiàng)的設(shè)置，直到達(dá)到滿足優(yōu)化函數(shù)所需的優(yōu)化條件為止。7） 對(duì)所得優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)[4]。

4 結(jié)論

應(yīng)用MATLAB 的fmincon 等函數(shù)，不僅可以很好地解決單目標(biāo)多變量約束非線性優(yōu)化等優(yōu)化問題，而且大大提高了設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確度和可靠性，并且使設(shè)計(jì)效率比以往有很大提高。在液壓支架設(shè)計(jì)過程中，我們可以引入MATLAB軟件，運(yùn)用其函數(shù)，當(dāng)然還可以直接調(diào)用其強(qiáng)大的計(jì)算模塊和圖形模擬功能。由于MATLAB 軟件具有強(qiáng)大的圖形、數(shù)值計(jì)算功能及較高的編程效率，具有以往采用的其他編程方法或手段來解決優(yōu)化問題時(shí)所不能比擬的優(yōu)點(diǎn)。因此，它是一種能夠用來解決機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)和工程優(yōu)化問題的十分強(qiáng)大而有效的工具。相信該軟件的運(yùn)用將會(huì)把我們的設(shè)計(jì)工作提升到新的水平。