郭 東 亮

(中山大學(xué)電子與通信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

0 引 言

在分形幾何研究中，確定分形的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測(cè)度非常重要，但這又是一個(gè)難題，相對(duì)而言，計(jì)算Hausdorff測(cè)度更困難[1].對(duì)于一般集合，計(jì)算其Hausdorff測(cè)度難度很大，尚無(wú)普遍適用的計(jì)算方法.滿(mǎn)足開(kāi)集條件的自相似分形集由于具有嚴(yán)格的自相似性，目前已知的研究成果最多.Cantor集、Koch曲線(xiàn)和Sierpinski墊片是3個(gè)經(jīng)典自相似集，目前三分Cantor集的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測(cè)度已經(jīng)解決[1]，但對(duì)于Koch曲線(xiàn)和Sierpinski墊片，人們只算得其Hausdorff維數(shù)，對(duì)于其Hausdorff測(cè)度則難以計(jì)算出準(zhǔn)確值，只能估計(jì)其上下界[2].

文獻(xiàn)[3-5]研究了Koch曲線(xiàn)K的Hausdorff測(cè)度并對(duì)其上界進(jìn)行了估計(jì)，文獻(xiàn)[6-8]利用質(zhì)量分布原理得出了K的Hausdorff測(cè)度的下界估計(jì)值Hs(K)≥0.526 316；文獻(xiàn)[9-10]用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)K的Hausdorff測(cè)度進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬并得到了數(shù)值解.本文在已有研究成果基礎(chǔ)上，通過(guò)定義質(zhì)量分布函數(shù)μ，對(duì)任意覆蓋U導(dǎo)出了關(guān)系式μ(U)≤1.876|U|s，基于該式并利用質(zhì)量分布原理得出了Koch曲線(xiàn)Hausdorff測(cè)度的更好下界估計(jì).

1 Koch曲線(xiàn)及其Hausdorff測(cè)度

1.1 Koch曲線(xiàn)

設(shè)K0是Euclid平面R2上的線(xiàn)段[0，1]，將K03等分，以中間的1/3線(xiàn)段為底邊向上作正三角形，再去除底邊，得到一條由4個(gè)長(zhǎng)度為1/3的邊組成的折線(xiàn)，記為K1，對(duì)K1的每個(gè)邊重復(fù)上述過(guò)程，得到42個(gè)長(zhǎng)度為1/32的邊組成的折線(xiàn)，記為K2，無(wú)限重復(fù)以上過(guò)程，得到折線(xiàn)序列K0，K1，K2，…，Kn，…，當(dāng)n→∞時(shí)，此折線(xiàn)序列趨于一條曲線(xiàn)K，即Koch曲線(xiàn).

下面是關(guān)于Koch曲線(xiàn)K的一些相關(guān)定義和結(jié)果[1-2].

(1)K是由壓縮比為1/3的相似壓縮定義的，其Hausdorff維數(shù)是s=log34.

(2)K是路徑連通的，設(shè)點(diǎn)A、A′∈K，記AA′為K上的從點(diǎn)A到點(diǎn)A′的連通弧.

1.2 相關(guān)定義和引理

定義2第n級(jí)Koch曲線(xiàn)Kn含有4n個(gè)底邊長(zhǎng)為1/3n的等腰三角形，每個(gè)這樣的等腰三角形稱(chēng)為一個(gè)基本三角形，記為△n，Kn中與覆蓋U相交的△n的個(gè)數(shù)記為α(U).

引理1(質(zhì)量分布原理)[1]設(shè)任意非空緊集F?Rn，μ是F上定義的質(zhì)量分布，且對(duì)某個(gè)s存在c＞0和δ＞0，使

μ(U)≤c|U|s

對(duì)所有滿(mǎn)足|U|≤δ的集U成立，則F的Hausdorff測(cè)度

2 主要結(jié)果及證明

定理1記K為Koch曲線(xiàn)，U為K的任意覆蓋，則有

證明分別分析α(U)的可能情況.對(duì)于α(U)=2的情況，所有覆蓋類(lèi)型可以歸結(jié)為4種，如圖1所示.注:為表達(dá)簡(jiǎn)便，本文只畫(huà)出各等腰三角形的底邊，以下同).

圖1 第1種情況(α(U)=2)

圖1中，(a)和(c)都是U覆蓋K1的第1個(gè)和第2個(gè)三角形的情況，其中(a)代表U的邊界與K1相交只有2個(gè)交點(diǎn)的情況，(c)代表U的邊界與覆蓋K1相交有≥3個(gè)交點(diǎn)的情況；(b)和(d)都是U覆蓋K1的第2個(gè)和第3個(gè)三角形的情況，其中(b)代表U與覆蓋K1的交點(diǎn)數(shù)為2的情況，(d)代表U與覆蓋K1的交點(diǎn)數(shù)≥3的情況.

α(U)=3、4的情況分別示于圖2、3，且根據(jù)交點(diǎn)數(shù)量情況分別示于(a)和(b)圖.

圖2 第2種情況(α(U)=3)

圖3 第3種情況(α(U)=4)

最后分析α(U)=1的情況，圖4示出其覆蓋類(lèi)型的幾種情況，對(duì)于圖4(a)的情況，由于分形迭代過(guò)程的無(wú)限性和分形的自相似性，圖4(a)的下一步迭代將出現(xiàn)圖1(a)的情況，即α(U)=2的情況.同理，圖4(b)的下一步迭代將出現(xiàn)圖2(a)的情況，即α(U)=3的情況；圖4(c)的下一步迭代將出現(xiàn)圖3(a)的情況，即α(U)=4的情況.此外，根據(jù)覆蓋U的位置和形狀，也可能出現(xiàn)圖1(c)、圖2(b)、圖3(b)的情況，不再贅述.

綜上，由于分形迭代的無(wú)限性和分形的自相似性，僅需考慮α(U)=2，3，4 3種情況(由平面幾何關(guān)系，α(U)≥5的情況并不存在).

選取Kn，n=3的情況討論，如圖5.對(duì)于第1種情況的(a)，稱(chēng)U的邊界與Kn相交的2個(gè)交點(diǎn)中，左邊的交點(diǎn)為左交點(diǎn)，記為L(zhǎng)，右邊的交點(diǎn)為右交點(diǎn)，記為R.

當(dāng)L在線(xiàn)段D3E上時(shí)，根據(jù)R的位置分別分析如下:

(1)當(dāng)R在線(xiàn)段EE2、E2E1、E1E3和E3F內(nèi)時(shí).

圖5 Koch曲線(xiàn)(K3)

這種情況是L落在△DD1E內(nèi)(指該三角形所包含的線(xiàn)段DD2、D2D1、D1D3和D3E內(nèi))且R落在△EE1F內(nèi)(指該三角形所包含的線(xiàn)段EE2、E2E1、E1E3和E3F內(nèi))，根據(jù)分形的自相似性，這種情況不需單獨(dú)考慮.

(2)當(dāng)R在線(xiàn)段FF2和F2F1內(nèi)時(shí).

對(duì)任意覆蓋U和Kn(n可為任意大)，都有

(3)當(dāng)R在線(xiàn)段F1F3和F3G內(nèi)時(shí).

對(duì)任意覆蓋U和Kn(n可為任意大)，都有

(4)當(dāng)R在線(xiàn)段GG2、G2G1、G1G3、G3H、HH2、H2H1內(nèi)時(shí).

對(duì)任意覆蓋U和Kn(n可為任意大)，都有

(5)當(dāng)R在線(xiàn)段H1H3、H3I內(nèi)時(shí).

對(duì)任意覆蓋U和Kn(n可為任意大)，都有

綜上，對(duì)于Kn，不管n多大，只要覆蓋U滿(mǎn)足:L在線(xiàn)段D3E上，R在多邊形FF1GG1HH1I所對(duì)應(yīng)的Koch曲線(xiàn)內(nèi)，式(1)恒成立.

同理，可以得到對(duì)任意的n，當(dāng)L分別在線(xiàn)段D3D1、D1D2、D2D、DC3、C3C1、C1C2、C2C、CB3、B3B1、B1B2、B2B、BA3、A3A1、A1A2、A2A上，R在多邊形FF1GG1HH1I所對(duì)應(yīng)的Koch曲線(xiàn)內(nèi)時(shí)，式(1)恒成立.

用同樣的方法，可以得到對(duì)于第2、3種情況，式(1)也成立.

定理1證畢.

利用質(zhì)量分布原理，可立刻得到Koch曲線(xiàn)K的Hausdorff測(cè)度的下界估計(jì).

定理2記Koch曲線(xiàn)K的Hausdorff測(cè)度為Hs(K)，則有

這是Koch曲線(xiàn)Hausdorff測(cè)度目前已知的最好下界.

3 結(jié) 論

本文通過(guò)在Koch曲線(xiàn)K上定義質(zhì)量分布函數(shù)μ，導(dǎo)出對(duì)K的任意覆蓋U的關(guān)系式μ(U)≤1.876|U|s，利用質(zhì)量分布原理計(jì)算出了K的Hausdorff測(cè)度的新下界估計(jì)值Hs(K)≥0.533 049 041，這是關(guān)于Koch曲線(xiàn)Hausdorff測(cè)度下界的更好估計(jì)，也是目前已知的最好下界.