陳佳

1 哲學(xué)背景與動(dòng)機(jī)

是什么讓現(xiàn)實(shí)世界區(qū)別于其他可能世界？有些人主張，現(xiàn)實(shí)世界是實(shí)在的，其他的可能世界只不過是語言的構(gòu)造。（[2]，第9 頁）D.Lewis 等模態(tài)實(shí)在論者堅(jiān)持，所有可能世界都同樣是實(shí)在的，在這點(diǎn)上現(xiàn)實(shí)世界和其他可能世界沒有區(qū)別。（[10]，第2 頁）無論如何，我們至少可以有一條簡(jiǎn)單有效的標(biāo)準(zhǔn)以幫助我們識(shí)別出現(xiàn)實(shí)世界，這條標(biāo)準(zhǔn)本質(zhì)地使用了第一人稱索引詞，所以可稱之為第一人稱標(biāo)準(zhǔn)：

我們所生活的世界是現(xiàn)實(shí)的，其他的世界（如果它們確實(shí)存在的話）不是現(xiàn)實(shí)的。因此，“豬會(huì)飛的世界”、“日本征服中國(guó)的世界”、“希拉里當(dāng)選第45 屆美國(guó)總統(tǒng)的世界”等這些世界頂多是可能的，但它們不是我們所生活的世界，因而不是現(xiàn)實(shí)的。我們只與現(xiàn)實(shí)世界中的事物具有時(shí)空聯(lián)系，但與其他可能世界中的事物不具有時(shí)空聯(lián)系。然而有趣的是，人們常常會(huì)關(guān)心那些非現(xiàn)實(shí)的可能世界，甚至著迷于此。人與動(dòng)物以及人工智能的一個(gè)區(qū)別是人能夠想象非現(xiàn)實(shí)的情境。這種反事實(shí)思維不僅能給人帶來精神愉悅（許多藝術(shù)都可以被視為是一種想象活動(dòng)），而且對(duì)于人類文明的延續(xù)和發(fā)展至關(guān)重要。比如Lewis（[9]）和Williamson（[18]）分別用反事實(shí)推理來刻畫因果和模態(tài)概念，而掌握這兩種概念對(duì)于人類進(jìn)行決策實(shí)踐和科學(xué)探究而言無疑都是必要的。

可能世界思想為模態(tài)邏輯提供了標(biāo)準(zhǔn)語義學(xué)。一個(gè)命題如果它在現(xiàn)實(shí)世界中是真的，則它是實(shí)然的；如果它在某個(gè)現(xiàn)實(shí)世界可及的可能世界中是真的，則它是可能的；如果它在所有現(xiàn)實(shí)世界可及的可能世界中都是真的，則它是必然的。現(xiàn)實(shí)世界相對(duì)于自身而言也是一個(gè)可及的可能世界，所以實(shí)然性蘊(yùn)涵了可能性。然而，若某命題的可能性僅僅出于其實(shí)然性，那么這種可能性不免是有些平庸的。當(dāng)我們討論可能性時(shí)，我們更關(guān)心那些非現(xiàn)實(shí)的可能世界中有哪些命題成立。因此，本文將考察兩種新的真勢(shì)模態(tài)性質(zhì)：強(qiáng)可能性和弱必然性。一個(gè)命題是強(qiáng)可能的，如果它在某個(gè)非現(xiàn)實(shí)的但可及的可能世界中是真的；它是弱必然的，如果它在所有非現(xiàn)實(shí)的但可及的可能世界中都是真的。不難發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)可能性蘊(yùn)涵了可能性，必然性蘊(yùn)涵了弱必然性。此外，強(qiáng)可能與弱必然性互為對(duì)偶。這就是說，一個(gè)命題是強(qiáng)可能的，當(dāng)且僅當(dāng)它的否定不是弱必然的；它是弱必然的，當(dāng)且僅當(dāng)它的否定不是強(qiáng)可能的。在邏輯性質(zhì)上，強(qiáng)可能性類似于可能性，弱必然性類似于必然性，但它們也具有顯著的不同：實(shí)然性不蘊(yùn)涵強(qiáng)可能性，弱必然性不蘊(yùn)涵實(shí)然性，而且弱必然性不蘊(yùn)涵強(qiáng)可能性。

與強(qiáng)可能性概念（以及弱必然性概念）直接相關(guān)的是他世界模態(tài)（modality for other-world），也被稱為不等性模態(tài)（modality of inequality）。對(duì)于世界w而言，命題p在他世界上成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)不同于w的世界v使得p在v上成立。他世界模態(tài)的概念起源于von Wright 對(duì)空間邏輯的研究1von Wright（[19]）稱之為地點(diǎn)的模態(tài)邏輯（a modal logic of place）。，在此語境下它表達(dá)的意義是（某命題）在非此地的其他某個(gè)地點(diǎn)上（elsewhere）成立（對(duì)elsewhere 算子的研究，參見[15，16，19]）。類似地，在時(shí)態(tài)邏輯語境下它表達(dá)了（某命題）在非此時(shí)的其他某個(gè)時(shí)刻上（elsewhen）成立。2作為“elsewhere”在時(shí)態(tài)上的對(duì)應(yīng)物，“elsewhen”是Segerberg 所生造的英語詞。Segerberg認(rèn)為刻畫“elsewhere”和“elsewhen”的是同一種邏輯，更詳細(xì)的討論見[13，15，16]。在時(shí)態(tài)邏輯語言上了加入不等性算子（等同于“elsewhen”算子），從而能夠刻畫更加豐富的時(shí)間結(jié)構(gòu)（比如嚴(yán)格線序）。他世界模態(tài)也可以作為一種真勢(shì)模態(tài)來理解，比如Humberstone（[8]）認(rèn)為，他世界模態(tài)邏輯為區(qū)分模態(tài)實(shí)在論、反實(shí)在論以及不可知論提供了恰當(dāng)?shù)倪壿嫽A(chǔ)，而這是普通的模態(tài)邏輯所做不到的。他世界模態(tài)與強(qiáng)可能性模態(tài)的聯(lián)系和區(qū)別是顯而易見的。一方面，當(dāng)可能世界之間的可及關(guān)系是近全通關(guān)系時(shí)（即任意兩個(gè)不同的可能世界之間都是可及的），他世界模態(tài)與強(qiáng)可能性模態(tài)是等價(jià)的，因此可以將他世界模態(tài)邏輯視為強(qiáng)可能性模態(tài)邏輯的特例。事實(shí)上，他世界模態(tài)邏輯的極小系統(tǒng)（即[19]中的系統(tǒng)SW B+A5，[16]中的系統(tǒng)KAB，[13]中的系統(tǒng)DL以及[8]中的系統(tǒng)KB4′）等價(jià)于下文所給出的系統(tǒng)4（及其等價(jià)系統(tǒng)5）。另一方面，他世界模態(tài)不涉及可能世界之間的可及關(guān)系，或者說它只涉及一種可及關(guān)系，即不等關(guān)系3在不等關(guān)系下，兩個(gè)世界w 和v 是可及的，當(dāng)且僅當(dāng)wv。，而強(qiáng)可能性模態(tài)則可以容納任意可及關(guān)系。從多模態(tài)邏輯角度來看，他世界模態(tài)只是一種模態(tài)，而對(duì)任何可能型模態(tài)而言（包括形而上學(xué)可能、物理可能、認(rèn)知可能、置信可能、道義可能等等）都存在與之對(duì)應(yīng)的一種強(qiáng)可能型模態(tài)，這也使得強(qiáng)可能性模態(tài)具有更寬廣的應(yīng)用前景。

強(qiáng)可能性和弱必然性概念也啟發(fā)了我們?nèi)タ疾炱渌嚓P(guān)的真勢(shì)模態(tài)。萊布尼茨提出：有些實(shí)然命題不僅是真的，而且是必然的；有些實(shí)然命題卻僅僅是偶然的，“它們的反面是可能的”。4參見萊布尼茨《單子論》第33 節(jié)，中文譯文見[20]，第482 頁。按照可能世界語義的分析，萊布尼茨所謂“事實(shí)的真理”指的是這樣的命題：它在現(xiàn)實(shí)世界中是真的，但在某個(gè)非現(xiàn)實(shí)的可及世界中不真，即它的否定是強(qiáng)可能的。萊氏“事實(shí)的真理”在當(dāng)代文獻(xiàn)中也被稱為偶真性（accident）5與偶真性容易混淆的一個(gè)概念是偶然性（contingency），它是與非偶然性（non-contingency）相對(duì)偶的概念。稱命題p 是偶然的，指的是p 及p 的否定都是可能的。關(guān)于偶然性邏輯，可參考[3，5，7]以概覽這個(gè)領(lǐng)域。，它與本質(zhì)性（essence）構(gòu)成了一組對(duì)偶概念，它們作為非正規(guī)的真勢(shì)模態(tài)而受到了邏輯學(xué)家的關(guān)注（參見[4，11，17，21]）。盡管在相關(guān)文獻(xiàn)中，偶真性與本質(zhì)性由可能性和必然性所定義，但實(shí)際上它們也可以被強(qiáng)可能性和弱必然性定義。不僅如此，利用強(qiáng)可能性和弱必然性模態(tài)我們還可以定義出一種新的偶然真理概念：稱一個(gè)命題是“超偶然真理”，當(dāng)且僅當(dāng)它在現(xiàn)實(shí)世界中是真的，但它在任何非現(xiàn)實(shí)的可及世界中都不真，即它的否定是弱必然的。6值得與“超偶然真理”概念加以比較的還有Pan 和Yang（[12]）提出的強(qiáng)偶性概念（strong accident）。稱一個(gè)命題具有強(qiáng)偶性，當(dāng)且僅當(dāng)該命題成立但其否定必然不成立。顯然，任何滿足強(qiáng)偶性的命題都是“超偶然真理”，但反之不必然?！俺既徽胬怼狈从车氖悄切缀醪豢赡転檎娴谷怀烧娴拿}，因此可以說它們是“奇跡”，構(gòu)造關(guān)于“奇跡”的邏輯將是一個(gè)有趣的探索方向。

我們關(guān)心強(qiáng)可能性和弱必然性的另一個(gè)動(dòng)機(jī)來自于動(dòng)態(tài)邏輯。（[6]）模態(tài)邏輯除了是刻畫可能性和必然性的，它也是刻畫變化的。在這種解釋之下，菱形算子代表的是在某種動(dòng)作之后系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生了轉(zhuǎn)移，但這種解釋并不排除“原地踏步”式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，即經(jīng)過某種動(dòng)作之后狀態(tài)實(shí)際上未發(fā)生變化。與之對(duì)照的是，強(qiáng)可能性刻畫的是狀態(tài)轉(zhuǎn)變，即經(jīng)過某種動(dòng)作之后系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了變化。因此，強(qiáng)可能性在更嚴(yán)格的意義上刻畫了變化。

綜上所述，強(qiáng)可能性和弱必然性不僅在邏輯上是兩種新的真勢(shì)模態(tài)，在哲學(xué)上無疑也是頗具吸引力的重要概念。盡管如此，本文的目標(biāo)主要在邏輯上而非哲學(xué)上，即對(duì)強(qiáng)可能性和弱必然性的邏輯（以下簡(jiǎn)稱強(qiáng)可弱必邏輯）作一個(gè)初步但力圖系統(tǒng)的研究。本文的安排如下：第2 節(jié)給出強(qiáng)可弱必邏輯的形式語言和語義，提出了適用于強(qiáng)可弱必邏輯的互模擬概念，并將之運(yùn)用于對(duì)強(qiáng)可弱必語言和模態(tài)邏輯語言以及一階語言的表達(dá)力比較；第3 節(jié)給出強(qiáng)可弱必邏輯的極小公理系統(tǒng)以及在各框架類上的擴(kuò)張系統(tǒng)，并證明它們的可靠完全性；第4 節(jié)考慮了在同時(shí)含有必然和弱必然算子的雙模態(tài)語言下的公理刻畫，給出了兩個(gè)具有普遍性的橋接公理但又指出了它們的局限性。

2 強(qiáng)可弱必邏輯：語言、語義和表達(dá)力

2.1 語言和語義

令Φ 是一原子命題集合，定義形式語言L(?)為：

其中p ∈Φ。當(dāng)?取弱必然算子時(shí)，那么得到的是強(qiáng)可弱必邏輯語言SW；當(dāng)?取必然算子時(shí)，得到的是單模態(tài)邏輯語言ML；當(dāng)?既可以取也可以取時(shí)，得到的是帶必然算子和弱必然算子的雙模態(tài)邏輯語言ML+。給定公式φ和ψ，規(guī)定以及分別是?(?φ ∧?ψ)，?φ ∨ψ，的縮寫。直觀上，以及分別可以讀作：“φ是弱必然的”，“φ是強(qiáng)可能的”，“φ是必然的”以及“φ是可能的”。

一個(gè)Kripke 模型（以下簡(jiǎn)稱模型）是一個(gè)三元組M=(W，R，V)，其中W是一個(gè)非空的可能世界集合，R?W2是W上的二元可及關(guān)系，賦值函數(shù)V:Φ2W給每個(gè)原子命題指派一個(gè)滿足它的可能世界集合。二元組F=(W，R)被稱為M所基于的框架。對(duì)于w ∈W，稱(M，w)是一個(gè)點(diǎn)模型。公式在點(diǎn)模型上的真值條件被歸納定義為：

由上述定義不難得出的真值條件：

這就是說，在w上是真的，當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)w可及的但又不同于w本身的可能世界v，φ在v上是真的，即在世界w中φ是強(qiáng)可能的。

給定可及關(guān)系R，令R?={(w，v)，那么的真值條件可以被重新表述為必然型模態(tài)的“常規(guī)”形式：

這表明強(qiáng)可能性算子和弱必然算子在邏輯性質(zhì)上仍然是一種正規(guī)模態(tài)。

對(duì)于公式集Γ 和公式φ：如果Γ 中的所有公式都在點(diǎn)模型(M，w)上是真的，那么稱(M，w)滿足Γ；令X是一框架類或模型類，如果對(duì)所有X中的模型M，以及M中的世界w都有(M，w)|=Γ 蘊(yùn)涵(M，w)|=φ，那么稱在X上φ是Γ 的語義后承，記作Γ|=X φ。如果，那么稱在X上φ是有效的，并簡(jiǎn)記為。特別地，當(dāng)X是全部框架構(gòu)成的類（或全部模型構(gòu)成的類）時(shí)，Γ被簡(jiǎn)記為Γ|=φ，并稱φ是Γ 的語義后承，同樣地被簡(jiǎn)記為，并稱φ是有效的。

通過限制可及關(guān)系R的性質(zhì)，我們可以得到許多有趣的框架（模型）類。本文主要考察以下常見的框架（模型）類，其中由同樣的可及關(guān)系性質(zhì)所規(guī)定的框架類和模型類使用了同樣的記法，在下文中易由語境辨別出它們指稱的是框架類還是模型類：

記法 名稱 可及關(guān)系R的性質(zhì)

D持續(xù)框架（模型）類 持續(xù)性：?x?y(xRy)

T自反框架（模型）類 自反性：?x(xRx)

A禁自反框架（模型）類 禁自反性：?x(?xRx)

B對(duì)稱框架（模型）類 對(duì)稱性：?x?y(xRy →yRx)

4傳遞框架（模型）類 傳遞性：?x?y?z(xRy ∧yRz →xRz)

5歐性框架（模型）類 歐性：?x?y?z(xRy ∧xRz →yRz)

S4自反傳遞框架（模型）類 自反性+傳遞性

S5等價(jià)框架（模型）類 自反性+對(duì)稱性+傳遞性

此外，由所有框架（模型）構(gòu)成的類被記為K。對(duì)于框架（模型）類X和Y，我們用XY表示它們的交集。

2.2 與模態(tài)邏輯語言的表達(dá)力比較

給定模型類X，如果對(duì)于語言L2中的任何公式φ都存在語言L1中的某個(gè)公式ψ，使得，那么稱在X上L1的表達(dá)力至少和L2一樣強(qiáng)，記作。如果但，那么稱在X上L1的表達(dá)力嚴(yán)格強(qiáng)于L2，記為。如果且，那么稱在X上L1和L2的表達(dá)力一樣強(qiáng)，記作。如果且，那么稱在X上L1和L2的表達(dá)力不可比較，記作。

當(dāng)可及關(guān)系R滿足禁自反性時(shí)，那么R=R?，因而對(duì)任何公式φ都有以及。此時(shí)，強(qiáng)可能性坍塌為可能性，必然性坍塌為弱必然性。這說明在禁自反框架中，強(qiáng)可弱必邏輯語言和模態(tài)邏輯語言的表達(dá)力一樣強(qiáng)，即SW ≈A ML。

當(dāng)可及關(guān)系R滿足自反性時(shí)，那么R=R?∪{(w，w)|w ∈W}，因而不難驗(yàn)證對(duì)任何公式φ都有并且。因此可以用強(qiáng)可能算子和弱必然算子來定義可能算子和必然算子。這說明在自反模型類中，強(qiáng)可弱必邏輯語言表達(dá)力至少和模態(tài)邏輯語言一樣強(qiáng)，即。事實(shí)上下文（定理2）還將進(jìn)一步表明，在自反模型類上強(qiáng)可弱必邏輯語言的表達(dá)力嚴(yán)格強(qiáng)于模態(tài)邏輯語言。

在更多的模型類中這兩種語言的表達(dá)力不可比較，其證明思路是考察它們分辨不同模型的能力。給定語言L，稱點(diǎn)模型(M，w) 和(M′，w′) 是L等價(jià)的，記作(M，w)≡L(M′，w′)，如果對(duì)任何L公式φ都有(M，w)(M′，w′)。當(dāng)(M，w)≡L(M′，w′)時(shí)，我們無法利用語言L來分辨這兩個(gè)模型。一個(gè)語言的表達(dá)力越強(qiáng)，它分辨模型的能力也越強(qiáng)。顯然，如果可以構(gòu)造出兩個(gè)基于X的點(diǎn)模型(M，w)和(M′，w′)，使得(M，w)≡L1(M′，w′)但(M，w)2(M′，w′)，那么L1X L2。

如何發(fā)現(xiàn)兩個(gè)模型是否關(guān)于某個(gè)語言等價(jià)？在模態(tài)邏輯中，互模擬為我們發(fā)現(xiàn)模態(tài)不變性提供了基礎(chǔ)。但是相對(duì)于我們的新語義，需要對(duì)互模擬關(guān)系加以修訂。

定義1(互模擬和3互模擬).給定模型M=(W，R，V)和M=(W′，R′，V ′)。稱二元關(guān)系Z?W×W′是M和M′之間的互模擬，記為Z:，如果下述條件成立：

(1) 如果wZw′那么w和w′滿足同樣的原子命題；

(2) 如果wZw′，wRv并且wv，那么存在（M′中的）v′使得vZv′，w′R′v′并且w′v′；

(3) 如果wZw′，w′R′v′并且w′v′，那么存在（M中的）v使得vZv′，wRv并且。

如果存在Z使得它是將M中的w以及M′中的w′連接起來的3·互模擬，那么稱w和w′之間互相似，記作。

若將上述條款(2)和(3)修改為：

(2′) 如果wZw′且wRv，那么存在（M′中的）v′使得vZv′并且w′R′v′；

(3′) 如果wZw′且w′R′v′，那么存在（M中的）v使得vZv′并且wRv；

那么我們得到了通常的互模擬關(guān)系，這里不妨把它稱做互模擬關(guān)系。

例1.考慮如下模型，其中{w1，w2，w3，w4，w5，w6}滿足同樣的原子命題，{w7，w9}滿足同樣的原子命題，{w8，w10}滿足同樣的原子命題，其余的世界所滿足的原子命題不盡相同：

注意這些模型中，除了M1其他都滿足持續(xù)性，除了M2其他都滿足對(duì)稱性，除了M5其他都滿足傳遞性以及歐性，并且只有M3、M4和M6滿足自反性。不難驗(yàn)證，，其余的世界兩兩不互相似；，其余的世界兩兩不3互相似。

從例1 可以看出，互模擬和互模擬相互不蘊(yùn)涵對(duì)方。但是它們?nèi)匀淮嬖谥o密的聯(lián)系：

命題1.對(duì)于模型M=(W，R，V)，令M?=(W，R?，V)。那么對(duì)任何點(diǎn)模型(M，w)和(M′，w′)，當(dāng)且僅當(dāng)。

證明.只要注意到對(duì)任何Z?W×W′都有：

那么結(jié)論顯然成立。

互模擬是通向模態(tài)不變性的階梯，因?yàn)榇嬖谥率龆ɡ恚?/p>

定理1.對(duì)任意點(diǎn)模型(M，w)和(M′，w′)，

證明.(1)和(2)的證明請(qǐng)參考[1]第67 頁定理2.20，第69 頁定理2.24。(3)和(4)仿照之亦容易證明。

因此，對(duì)于有限模型而言，互相似等同于SW等價(jià)，互相似等同于ML等價(jià)。這樣在例1 中，我們就構(gòu)造出了一些ML等價(jià)但SW不等價(jià)的模型，以及一些SW等價(jià)但ML不等價(jià)的模型，從而我們得到了下述結(jié)論：

定理2.對(duì)模型類X ∈{T，T B，S4，S5}，有。對(duì)模型類X ∈{K，D，B，4，5，45，DB，B45}，有SW?X ML。

2.3 與一階語言的表達(dá)力比較

每個(gè)Kripke 模型都可以被自然轉(zhuǎn)化為一個(gè)一階模型，因此我們可以對(duì)模態(tài)語言和一階語言的表達(dá)力進(jìn)行比較。眾所周知，在模型層面上模態(tài)語言是一階語言的互模擬不變片段。對(duì)于強(qiáng)可弱必邏輯也存在著類似的結(jié)果。

每個(gè)SW公式都存在著一個(gè)與之語義等價(jià)的一階對(duì)應(yīng)公式，該公式被稱作原公式的標(biāo)準(zhǔn)翻譯，它含有且僅含有一個(gè)自由變?cè)?。令x是一個(gè)一階變?cè)?，?biāo)準(zhǔn)翻譯STx是一個(gè)從SW公式到一階公式的映射，它被遞歸地定義為：

類似于van Benthem 刻畫定理的證明（[1]，第103 頁定理2.68）我們有如下的刻畫定理：

定理3(刻畫定理).令α(x)是一個(gè)一階公式。那么α(x)相對(duì)于互模擬不變，當(dāng)且僅當(dāng)它等價(jià)于某個(gè)SW公式的標(biāo)準(zhǔn)翻譯。

因此，在模型層面上強(qiáng)可弱必邏輯語言SW是一階語言的互模擬不變片段。

3 強(qiáng)可弱必邏輯：公理化與完備性

本節(jié)將給出強(qiáng)可弱必邏輯的極小公理系統(tǒng)以及它關(guān)于各種框架類的擴(kuò)張系統(tǒng)，并證明它們的可靠完全性。這里先對(duì)一些必要的預(yù)備概念和引理作些說明。注意，在非指明的情況下本節(jié)所說的公式均指SW公式。

一個(gè)公理系統(tǒng)L 由若干公理和推理規(guī)則構(gòu)成。如果只使用這些公理和推理規(guī)則能推導(dǎo)出公式φ的話，那么稱φ是L 的定理，記作Lφ。如果公式集Γ 中存在φ0，...，φn使得Lφ0∧···∧φn →φ，那么稱在L 下可由Γ 衍推出φ，記作ΓLφ。稱公式集Γ 是L 一致的，如果ΓLp ∧?p。如果L 是經(jīng)典命題邏輯的擴(kuò)充的話，那么對(duì)任何公式集Γ 和公式φ有：?！葅?φ}是L 不一致的，當(dāng)且僅當(dāng)ΓLφ。

證明某個(gè)公理系統(tǒng)L 相對(duì)于框架類F是完全的，其通常的思路是先證明對(duì)于每個(gè)L 一致的集合都存在一個(gè)基于F的點(diǎn)模型(M，s)，使得(M，s)滿足Γ。這時(shí)，若有Γ，那么?！葅?φ}不可被任何基于F的點(diǎn)模型滿足，從而?！葅?φ}是L 不一致的，因此有ΓLφ。這說明了L 關(guān)于框架類F是完全的。

典范模型方法是為一致集尋找滿足它的模型的標(biāo)準(zhǔn)方法，其思想是利用邏輯系統(tǒng)的語形特征來構(gòu)建語義模型。典范模型方法非常依賴于極大一致集的概念。給定公理系統(tǒng)L，稱公式集Γ 是L 極大一致集，當(dāng)且僅當(dāng)(i)Γ 是L 一致的，(ii)Γ 是極大的，即對(duì)所有L 一致集?！洌籀??！洌敲处??！洹Ｋ蠰極大一致集構(gòu)成的集合被記為MCS(L)。關(guān)于極大一致集，有如下重要性質(zhì)：

引理1.令L 是一個(gè)包含經(jīng)典命題邏輯的擴(kuò)張系統(tǒng)，Γ 是任意L 極大一致集，那么

(1) 任何L 一致集都可以擴(kuò)充為L(zhǎng) 極大一致集；（Lindenbaum引理）

(2) 對(duì)任何公式φ，或者φ ∈Γ，或者?φ ∈Γ；

(3) 若φ →ψ，φ ∈Γ，那么ψ ∈Γ；

(4)φ0∧···∧φn ∈Γ 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有i ∈{0，...，n}，φi ∈Γ；

(5)φ0∨···∨φn ∈Γ 當(dāng)且僅當(dāng)存在i ∈{0，...，n}使得φi ∈Γ。

3.1 極小系統(tǒng)

引理2.對(duì)任何L 極大一致集Γ，若，那么是L 一致的。其中，。

集合(Γ)也被稱為Γ 的去弱必然化集。

我們將嘗試為L(zhǎng) 構(gòu)建典范模型。對(duì)此，一個(gè)自然的思路是：用MCS(L)作為其典范模型的可能世界集，并規(guī)定L 極大一致集?！鋵?duì)于L 極大一致集Γ 是可及的，當(dāng)且僅當(dāng)L 的去弱必然化集合(Γ)包含于Γ。但這樣構(gòu)建的典范模型是不可行的?？紤]集合S=，當(dāng)它是L 一致的時(shí)候，它可以被擴(kuò)張為L(zhǎng) 極大一致集Γ。從Γ 所包含的命題來看，它聲稱它有且僅有一個(gè)非它自身的可及世界，而這個(gè)世界所包含的命題又和Γ 完全相同。然而作為極大一致集，這個(gè)和Γ 包含了一樣的命題的可能世界又只能是Γ 本身，矛盾！

對(duì)此的解決方法是為每一個(gè)“有問題的”L 極大一致集建立一個(gè)它的副本。7本文建立副本的技巧與文獻(xiàn)[14，16]中的“bulldozing”方法類似。所謂“有問題的”L 極大一致集，指的是那些包含所有形如的公式的L 極大一致集。這樣的L 極大一致集之所以是“有問題的”，因?yàn)樗凳玖舜嬖谀硞€(gè)它可及的世界，這個(gè)世界不同于它，但又和它滿足完全相同的命題。因?yàn)樾问缴鲜悄B(tài)邏輯的(T)公理，所以我們將所有“有問題”的L 極大一致集所構(gòu)成的集合記為T(L)，并令=MCS(L)/T(L)。由于極大一致集的性質(zhì)（引理1），容易證明：對(duì)所有L 極大一致集Γ，?！蔜(L)當(dāng)且僅當(dāng)(Γ)?Γ。

語言SW對(duì)于所描述的世界是否滿足自反性無所說，即我們不能通過它的語句來判斷某個(gè)世界是否是其自身的可及世界。這既為我們構(gòu)造典范模型造成了一定的障礙，但也提供了一些靈活性。這就是說，我們可以自己調(diào)整可及關(guān)系，使之滿足自反性或不滿足自反性。這里我們希望構(gòu)造的是滿足自反性的典范模型。

定義2(自反典范模型).給定任意K 的一致正規(guī)擴(kuò)張L，定義L 的自反典范模型為RC(L)=(W，R，V)，其中

注意，根據(jù)我們對(duì)R定義，顯然R是自反的。對(duì)于(n，Γ)∈W，參數(shù)n表明了L 極大一致集Γ 的性質(zhì)：當(dāng)Γ/∈T(L)時(shí)，n的取值只能是2，此時(shí)(2，Γ)沒有額外的副本；當(dāng)?！蔜(L)時(shí)，n取值為0 或1，此時(shí)(0，Γ)和(1，Γ)互為對(duì)方的副本。

引理3(RC(L) 的真值引理).給定任意K 的一致正規(guī)擴(kuò)張L，令RC(L)=(W，R，V)是其自反典范模型，那么對(duì)任意(n，Γ)∈W以及任意公式φ都有：

證明.我們對(duì)公式結(jié)構(gòu)歸納，布爾情況易證，這里只考慮φ=的情況。

首先，當(dāng)Γ 時(shí)，那么(Γ)，因而由定義2 可知對(duì)W中的任意元素(m，?！?(n，Γ)，若(n，Γ)R(m，?！?，那么α ∈Γ′，再由歸納假設(shè)，有(RC(L)，(m，?！?)。由的真值條件可知，(RC(L)，(n，Γ))。

其次，當(dāng)/∈Γ 時(shí)，由/∈Γ 和引理2 可知，(Γ)∪{?α}是L 一致的，從而可以擴(kuò)充為極大一致集Γ′。我們這時(shí)分兩種情況討論：

? 情況1：n=2。此時(shí)Γ/∈T(L)，從而存在公式β使得2·β ∈Γ 但β/∈Γ。因?yàn)棣＃驭?∈?！?。又因?yàn)棣?∈Γ，從而Γ?！洹．?dāng)?！?∈T(L)時(shí)，我們令m=0，否則令m=2，因而由定義2 可知(m，?！?∈W。因?yàn)?Γ)?Γ′，所以(n，Γ)R(m，?！?；因?yàn)棣＆！?，?n，Γ)(m，?！?；因?yàn)?α ∈Γ′，由歸納假設(shè)，有(RC(L)，(m，?！?)α。因此，根據(jù)的真值條件，有(RC(L)，(n，Γ))。

? 情況2：n ∈{0，1}。此時(shí)Γ∈T(L)，即(Γ)?Γ。當(dāng)?！?∈T(L)時(shí)，那么令m=1?n，否則令m=2。因此有并且(m，?！?∈W。從而我們同樣有(n，Γ)R(m，?！?，(n，Γ)(m，?！?，但(RC(L)，(m，?！?)α。因此，(RC(L)，(n，Γ))。

當(dāng)我們將引理3 運(yùn)用到系統(tǒng)K 上時(shí)，我們?yōu)槊總€(gè)K 極大一致集Γ 找到了一個(gè)滿足它的模型：當(dāng)?！蔜(K) 時(shí)，有(RC(K)，(0，Γ))Γ；當(dāng)Γ/∈T(K)時(shí)，有(RC(K)，(2，Γ))Γ。而且，這個(gè)模型滿足自反性，從而也滿足持續(xù)性。又因?yàn)镵 在全框架類上是可靠的，所以我們得到了如下的完備性結(jié)果：

定理4(K 的完備性).系統(tǒng)K 相對(duì)于全框架類K、持續(xù)框架類D和自反框架類T都是可靠完全的，即：對(duì)X ∈{K，D，T}，以及任意公式集Γ 和公式φ，ΓKφ當(dāng)且僅當(dāng)Γ。

在下一節(jié)中，我們將引理3 運(yùn)用于更多的擴(kuò)張系統(tǒng)上去。

3.2 擴(kuò)張系統(tǒng)

本節(jié)將要考察如下的特征公理（模式）和擴(kuò)張系統(tǒng):

在證明擴(kuò)張系統(tǒng)的語義完全性之前，我們需要對(duì)這些公理和系統(tǒng)的性質(zhì)作簡(jiǎn)要討論。首先，這些公理的命名會(huì)讓人自然聯(lián)想到模態(tài)邏輯的(B)、(4)以及(5)公理。我們知道(B)、(4)、(5)公理分別定義了對(duì)稱性、傳遞性以及歐性。8稱公式φ 定義了框架性質(zhì)P，指的是對(duì)所有框架F，F(xiàn) 具有性質(zhì)P 當(dāng)且僅當(dāng)φ 在F 上有效。那么公理(B)、(B′)、(4)以及(5)是否也定義了相應(yīng)的框架性質(zhì)呢？不難驗(yàn)證，除了(B)公理，它們所定義的框架性質(zhì)要更弱一些。

命題2.

公理(B)定義了對(duì)稱性：?x?y(xRy →yRx)；

公理(B′)定義了弱對(duì)稱性：?x?y?z(xRy ∧yRz →zRy ∨x=y)；

公理(4)定義了弱傳遞性：?x?y?z(xRy ∧yRz →xRy ∨x=z)；

公理(5)定義了弱歐性：?x?y?z(xRy ∧xRz →yRz ∨x=z ∨y=z)。

這里作五點(diǎn)評(píng)論，其正確性請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證：(1) 系統(tǒng)B4 和系統(tǒng)B5是等價(jià)的；(2) 對(duì)于任何包含有(4) 的擴(kuò)張系統(tǒng)，若將(4) 替換為(4′)：，那么得到的新系統(tǒng)與原系統(tǒng)是等價(jià)的；(3)對(duì)稱性蘊(yùn)涵弱對(duì)稱性，傳遞性蘊(yùn)涵弱傳遞性，歐性蘊(yùn)涵弱對(duì)稱性以及弱歐性；(4)不存在SW公式能夠定義持續(xù)性、自反性、傳遞性和歐性；(5)盡管如此，模態(tài)語言仍然能夠定義弱對(duì)稱性、弱傳遞性和弱歐性（見命題3）。

命題3.存在模態(tài)公式可以定義弱對(duì)稱性、弱傳遞性和弱歐性，具體而言：

模態(tài)公式()定義了弱對(duì)稱性；

模態(tài)公式(φ ∨ψ)（或者）定義了弱傳遞性；

模態(tài)公式(ψ →φ)()定義了弱歐性。

通過以上討論，可得關(guān)于上述擴(kuò)張系統(tǒng)的可靠性結(jié)果：

命題4.

接下來我們考慮這些擴(kuò)張系統(tǒng)的語義完全性。我們希望能將引理3 運(yùn)用于對(duì)這些系統(tǒng)的完全性證明上，這要求我們證明它們的自反典范模型滿足相應(yīng)的框架性質(zhì)。

引理4.對(duì)于系統(tǒng)4 的任意一致正規(guī)擴(kuò)張L，其自反典范模型RC(L)=(W，R，V)都基于傳遞框架。

證明.我們假設(shè)(n1，Γ1)R(n2，Γ2) 且(n2，Γ2)R(n3，Γ3)，以此來證明(n1，Γ1)R(n3，Γ3)。當(dāng)(n1，Γ1)=(n3，Γ3) 或者(n1，Γ1)=(n2，Γ2) 或者(n2，Γ2)=(n3，Γ3)時(shí)，因?yàn)镽C(L)基于自反框架，我們立刻有所需結(jié)論，所以我們僅需考慮這三者兩兩不相等的情況，此時(shí)(Γ1)?Γ2并且(Γ2)?Γ3，而我們需要證明(Γ1)?Γ3。令φ是屬于(Γ1)的任意公式，即Γ。如果Γ1=Γ3，那么必然n13，因此有n1，n3∈{0，1}而且Γ1=Γ3∈T(L)，此時(shí)(Γ1)?Γ1=Γ3，即所需結(jié)論成立。如果Γ1Γ3，那么不妨假設(shè)ψ ∈Γ1而?ψ ∈Γ3。由公理(4)可知(φ ∨ψ)∈Γ1，又因?yàn)棣?且ψ ∈Γ1所以有(φ ∨ψ)∈Γ1。因?yàn)?Γ1)?Γ2，所以(φ ∨ψ)∈Γ2，又因?yàn)?Γ2)?Γ3，所以φ ∨ψ ∈Γ2，再由于?ψ ∈Γ3，所以φ ∈Γ3。因?yàn)棣盏娜我庑?，所以?Γ1)?Γ3，因而(n1，Γ1)R(n3，Γ3)。

引理5.對(duì)于系統(tǒng)B 的任意一致正規(guī)擴(kuò)張L，其自反典范模型RC(L)=(W，R，V)都基于對(duì)稱框架。

證明.我們假設(shè)(n1，Γ1)R(n2，Γ2)，以此來證明(n2，Γ2)R(n1，Γ1)。當(dāng)(n1，Γ1)=(n2，Γ2)時(shí)，因?yàn)镽C(L)基于自反框架，所以結(jié)論直接成立。因此，我們考慮(n1，Γ1)(n2，Γ2)的情況，此時(shí)有(Γ1)?Γ2，而我們需要證明(Γ2)?Γ1。考慮任意公式φ，并假設(shè)φ/∈Γ1，這等價(jià)于?φ ∈Γ1。又由公理(B)有Γ1，因此Γ1。再由(Γ1)?Γ2，有Γ2，因此/∈Γ2。由φ的任意性，有(Γ2)?Γ1。

因此，RC(B)、RC(4)和RC(B4)（=RC(B5)）分別基于自反對(duì)稱框架、自反傳遞框架以及等價(jià)框架（即自反對(duì)稱傳遞框架），從而利用引理3（以及命題4）我們有如下的完備性結(jié)果：

定理5(B、4、B4、B5 的完備性).

(1) 系統(tǒng)B 相對(duì)于對(duì)稱框架類B、持續(xù)對(duì)稱框架類DB以及自反對(duì)稱框架類T B都是可靠完全的；

(2) 系統(tǒng)4 相對(duì)于傳遞框架類4、持續(xù)傳遞框架類D4以及自反傳遞框架類S4都是可靠完全的；

(3) 系統(tǒng)B4 及其等價(jià)系統(tǒng)B5 相對(duì)于對(duì)稱傳遞框架類B4（它等同于對(duì)稱歐性框架類B5）以及等價(jià)框架類S5都是可靠完全的。

目前為止都很順利，但是對(duì)于系統(tǒng)5 而言卻存在著麻煩，因?yàn)樗淖苑吹浞赌Ｐ筒粷M足歐性。為此，我們需要為它構(gòu)造新的典范模型，這個(gè)典范模型滿足歐性但不滿足自反性。我們的做法是對(duì)2·5 極大一致集進(jìn)一步分類。首先定義ΛB=是任意SW公式}，再定義B(5)={?！蔒CS(5)|ΛB?Γ}。因此若?！蔅(5)，那么Γ 包含了公理(B):的所有代入例，從直觀上來講這樣的Γ 似乎“聲稱”自己滿足對(duì)稱性；反之那些B(5)以外的5 極大一致集，它們構(gòu)成的集合被記為，則“聲稱”自己不滿足對(duì)稱性。另外，由于5 包含了公理(B′):()，所以任何5 極大一致集Γ 都滿足ΛB??(Γ)。因此，若?！蔜(5)，即(Γ)?Γ，那么ΛB?Γ，即Γ∈B(5)。這說明了T(5)?B(5)。因此MCS(5)可以被完整地劃分為三個(gè)部分：T(5)、B(5)/T(5)以及B(5)。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們將5 的典范模型構(gòu)造如下：

定義3(5 典范模型).定義5 的典范模型為CM5=(W，R，V)，其中

和自反典范模型的情形類似，對(duì)于CM5中的世界(n，Γ)，參數(shù)n規(guī)定了Γ的性質(zhì)。當(dāng)n ∈{0，1}時(shí)，，并且存在一個(gè)(n，Γ)的副本(1?n，Γ)；當(dāng)n ∈{0，1，2}時(shí)，，并且(n，Γ) 可以連接到自身；當(dāng)n=3 時(shí)，，并且(n，Γ)不會(huì)被任何世界連接到。

引理6(CM5的真值引理).對(duì)任何CM5中的世界(n，Γ)以及任意公式φ都有：

證明.我們對(duì)公式結(jié)構(gòu)歸納，布爾情況易證，這里只考慮φ=的情況。

首先，當(dāng)Γ 時(shí)，可知對(duì)任意(m，?！?∈W，若(n，Γ)R(m，Γ′)且(n，Γ)(m，?！?，則(Γ)??！洌蚨?∈?！?，再由歸納假設(shè)，有(CM5，(m，Γ′))。因而由的真值條件可知(CM5，(n，Γ))。

其次，當(dāng)/∈Γ 時(shí)，那么(Γ)∪{?α}一致，因此可以擴(kuò)張為極大一致集?！洌⑶乙?yàn)棣獴??(Γ)??！?，所以可知?！?∈B(5)。進(jìn)一步地，一方面，如果?！?∈T(5)，那么令m=(n ?1)6?2n，易證此時(shí)無論n取何值，必然有且m ∈{0，1}，從而有(m，?！?∈W、(n，Γ)(m，?！?并且(n，Γ)R(m，Γ′)。另一方面，如果?！?∈T(5)，即(?！???！洌忠?yàn)?Γ)??！?，所以Γ?！?，此時(shí)令m=2，從而也有(m，?！?∈W、(n，Γ)(m，Γ′)并且(n，Γ)R(m，Γ′)。由歸納假設(shè)可知(CM5，(m，Γ′))α，從而由的真值條件可知(CM5，(n，Γ))。

引理7.CM5=(W，R，V)基于持續(xù)、歐性框架。

證明.首先證明CM5=(W，R，V)基于持續(xù)框架。令(n，Γ)∈W，考慮兩種情況：第一，當(dāng)(Γ)是不一致的時(shí)，易證ΛB?Γ，因此?！蔅(5)，從而可知。根據(jù)定義可知，此時(shí)有(n，Γ)R(n，Γ)。第二，當(dāng)(Γ)是一致的時(shí)，那么它可以被擴(kuò)充為極大一致集?！?，并且因?yàn)棣獴??(Γ)?Γ′，所以?！?∈B(5)；進(jìn)一步地，如果Γ′ ∈T(5)則令m=0 否則的話令m=2，易證(m，Γ′)∈W并且(n，Γ)R(m，Γ)。

接著，我們證明CM5=(W，R，V)基于歐性框架。假設(shè)(n1，Γ1)R(n2，Γ2)并且(n1，Γ1)R(n3，Γ3)，我們以此證明(n2，Γ2)R(n3，Γ3)。首先注意，根據(jù)定義可知n2，n3∈{0，1，2}，這意味著Γ2，Γ3∈B(5)，即ΛB?Γ2且ΛB?Γ3。如果(n2，Γ2)=(n3，Γ3)，那么根據(jù)定義直接有(n2，Γ2)R(n3，Γ3)；如果(n3，Γ3)但Γ2=Γ3，那么必然有Γ2，Γ3∈T(5)，所以有(Γ2)?Γ2=Γ3，因而有(n2，Γ2)R(n3，Γ3)。因此，現(xiàn)在僅需考慮Γ2Γ3的情況。這時(shí)進(jìn)一步分為三種情況討論：

由引理6 和引理7，以及命題4，我們得到了系統(tǒng)5 的完備性結(jié)果：

定理6(5 的完備性).系統(tǒng)5 相對(duì)于歐性框架類5以及持續(xù)歐性框架類D5都是可靠完全的。

4 雙模態(tài)邏輯：加入必然算子

第2 節(jié)指出在許多框架類上強(qiáng)可弱必邏輯語言SW和模態(tài)邏輯語言ML在表達(dá)力上不可比較，因此包含了必然算子和弱必然算子的雙模態(tài)語言ML+的表達(dá)力在許多框架上都嚴(yán)格強(qiáng)于SW和ML。9一個(gè)值得注意的事實(shí)是混合模態(tài)邏輯語言的表達(dá)力要比ML+ 更強(qiáng)，因?yàn)樵诨旌夏B(tài)邏輯語言中φ 和φ 可以分別被定義為↓i (?i →φ)和↓i (?i ∧φ)。本節(jié)將對(duì)ML+的公理系統(tǒng)作一個(gè)初步探究，因而所談?wù)摰墓揭簿窶L+公式。

首先，不難發(fā)現(xiàn)以下用于刻畫必然算子和弱必然算子之間關(guān)系的橋接公理是有效的：

給定任意關(guān)于2的正規(guī)模態(tài)邏輯L，令，那么我們得到了一個(gè)同時(shí)刻畫必然性和弱必然性（以及可能性和強(qiáng)可能性）的邏輯。在很多情況下，L+作為L(zhǎng) 的雙模態(tài)擴(kuò)張都是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

定義4.給定關(guān)于的正規(guī)模態(tài)邏輯L，L+的典范模型被定義為CML+=(W，R，V)，其中

引理8(CML+的真值引理).給定關(guān)于的正規(guī)模態(tài)邏輯L，對(duì)于CML+=(W，R，V)中的任意世界(n，Γ)以及任意公式φ都有：

證明.我們只考慮φ=的情況。

首先，當(dāng)Γ 時(shí)，那么考慮任意(m，?！?∈W滿足(n，Γ)(m，?！?且(n，Γ)R(m，?！?。一方面，如果α ∈Γ，那么因?yàn)楣?) 有Γ，從而可得Γ，又由(n，Γ)R(m，?！?可得α ∈?！洹Ａ硪环矫?，如果α/∈Γ，那么Γ/∈T(L+))，因而必然有Γ?！?，因此存在β使得β ∈Γ但是?β ∈Γ′，由β ∈Γ 和Γ 易得(α ∨β)∧(α ∨β)∈Γ，又由公理()有(α ∨β)∧(α ∨β)(α ∨β)∈Γ，從而可得2(α ∨β)∈Γ，又因?yàn)?n，Γ)R(m，?！?，所以有α ∨β ∈?！洹Ｓ忠?yàn)?β ∈?！洌驭?∈?！?。因此，無論如何都有α ∈?！?。由歸納假設(shè)可得(CML+，(m，?！?)。由的真值條件，可得(CML+，(n，Γ))。

其次，當(dāng)/∈Γ 時(shí)，(Γ)∪{?α}一致，進(jìn)而可擴(kuò)充為極大一致集?！?。由公理():可知(Γ)(Γ)，從而有(Γ)??！?。如果Γ=Γ′，那么可知Γ∈T(L+)，從而n ∈{0，1}，此時(shí)我們令m=1?n；如果Γ?！?，那么如果?！?∈T(L+)，我們令m=0，否則令m=2。在以上各種情況中都有(m，?！?∈W、(n，Γ)(m，?！?并且(n，Γ)R(m，?！?。由歸納假設(shè)可知，(CML+，(m，Γ′))α。由的真值條件，可得(CML+，(n，Γ))。

容易驗(yàn)證，CMD+、CMT+、CM4+、CMB+、CM5+、CMS4+以及CMS5+分別基于持續(xù)框架、自反框架、傳遞框架、對(duì)稱框架、歐性框架、自反傳遞框架以及等價(jià)框架。因此，我們得到了如下的完備性結(jié)果：

定理7(雙模態(tài)系統(tǒng)的完備性).必然和弱必然的雙模態(tài)邏輯系統(tǒng)K+、D+、T+、4+、B+、5+、S4+以及S5+分別相對(duì)于全框架類、持續(xù)框架類、自反框架類、傳遞框架類、對(duì)稱框架類、歐性框架類、自反傳遞框架類以及等價(jià)框架類是可靠完全的。

一個(gè)自然的猜想是：對(duì)于任意框架類F，令LML(F)和LML+(F)分別是模態(tài)語言ML下和雙模態(tài)語言ML+下刻畫該框架類的邏輯，那么LML+(F)=LML(F)+。然而，這個(gè)猜想并不正確?？紤]所謂的平庸框架類：在平庸框架上每個(gè)世界都有且僅有一個(gè)可及世界，即它自身。不難驗(yàn)證，刻畫平庸框架類的單模態(tài)邏輯系統(tǒng)是Triv=K+(Triv):。在平庸框架中，每個(gè)世界都無法連接到除自己之外的其他世界，所以是平庸地有效的，因此刻畫平庸框架類的雙模態(tài)邏輯系統(tǒng)顯然是Triv=Triv+(Ver):。然而，系統(tǒng)Triv+和系統(tǒng)Triv 并不等價(jià)。

命題5.系統(tǒng)Triv+和系統(tǒng)Triv 不等價(jià)。

證明.令σ是一個(gè)從ML+公式到ML公式的翻譯函數(shù)，它被歸納定義為：通過對(duì)證明長(zhǎng)度的歸納，不難驗(yàn)證對(duì)于任何ML+公式φ，若Triv+φ，那么Triv+σ(φ)。因此，由于σ((p ∧?p))=(p ∧?p)并且Triv+p ∧?p，所以Triv+(p ∧?p)。但是因?yàn)門riv(p ∧?p)，所以系統(tǒng)Triv+和系統(tǒng)Triv不等價(jià)。

因此，通過給關(guān)于必然性的單模態(tài)邏輯添加橋接公理()和()，以得到相應(yīng)的關(guān)于必然性和弱必然性的可靠完全的雙模態(tài)邏輯，這種方案并非永遠(yuǎn)都是可行的。這是這兩個(gè)橋接公理在應(yīng)用上的一個(gè)局限性。

盡管原來的猜想被證偽了，但這給我們提出了一個(gè)留待解決的新問題：

問題4.1.在何種充要條件下，框架類F滿足LML+(F)=LML(F)+？

5 結(jié)語

限于篇幅，本文主要對(duì)強(qiáng)可弱必邏輯的形式性質(zhì)作了探究，未將之和他世界模態(tài)邏輯（即關(guān)于elsewhere，elsewhen 以及不等性的邏輯）、偶真性和本質(zhì)性邏輯、偶然性及非偶然性邏輯等相關(guān)且重要的哲學(xué)邏輯作系統(tǒng)的比較研究，也未將之充分運(yùn)用于哲學(xué)分析中。盡管如此，在以上的技術(shù)化工作中仍然隱含了許多哲學(xué)上有趣且重要的問題。比如說，在為強(qiáng)可弱必邏輯構(gòu)建典范模型時(shí)，我們非常依賴于為可能世界建立“副本”的技巧。但是，既然這些互為“副本”的可能世界滿足了完全相同的命題，我們是依據(jù)何種理由將它們分辨為兩個(gè)不同的世界的？這個(gè)問題既是形而上學(xué)的，也是認(rèn)識(shí)論的，但卻要留待以后再討論了。