曹彬

近兩年來，筆者在各種場合多次執(zhí)教“小數(shù)的意義”一課。通過對本課的研究與解讀，結(jié)合數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)的智慧，筆者對小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)增進(jìn)了很多理解，這一過程可分為三個(gè)階段。

第一階段

以生活情境為入口、以學(xué)生活動(dòng)為主要學(xué)習(xí)途徑、以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為主旨。

【教學(xué)研究】

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，喚醒學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

在生活情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)教育的有效途徑。微信紅包是大家經(jīng)常接觸的素材，教師從0.1元的微信紅包引入新課，使學(xué)生在熟悉的生活情境中發(fā)現(xiàn)一位小數(shù)。再利用0.61元的紅包，引導(dǎo)學(xué)生思考兩位小數(shù)的意義。學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探索小數(shù)意義的學(xué)習(xí)。

2.利用數(shù)形結(jié)合，明確兩位小數(shù)的意義

數(shù)形結(jié)合是理解小數(shù)意義的重要的思想方法。教師從正方形入手，把它平均分成10份、100份、1000份，通過對圖形的觀察、分析，以形解數(shù)，化抽象為直觀，幫助學(xué)生直觀理解小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。

3.設(shè)置變式練習(xí)，進(jìn)一步把握小數(shù)意義

除了利用正方形明晰小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系外，還設(shè)置了在數(shù)軸上找數(shù)的練習(xí)，先把0到1之間平均分成10份，再平均分成100份、1000份，使學(xué)生通過另一種途徑理解小數(shù)的意義。

4.明確知識聯(lián)系，把握前后學(xué)習(xí)的脈絡(luò)

在總結(jié)回顧環(huán)節(jié)，先回顧把整數(shù)1平均分成10份得到0.1、把0.1平均分成10份得到0.01、把0.01平均分成10份得到0.001……再引導(dǎo)學(xué)生反向思考：10個(gè)0.001是0.01，10個(gè)0.01是0.1，10個(gè)0.1是1，10個(gè)1是10，從小數(shù)聯(lián)系到整數(shù)滿十進(jìn)一的計(jì)數(shù)法則，溝通小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系，體會(huì)小數(shù)在數(shù)的體系中的重要地位。

【課堂片段】

師：剛才我們通過把一個(gè)正方形平均分成10份，知道了一位小數(shù)與十分之幾的聯(lián)系?，F(xiàn)在的涂色部分還能用一位小數(shù)來表示嗎？

生：不能。

師：為什么不能用一位小數(shù)來表示呢？

生：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)比0.6大，比0.7小。

師：你想用什么樣的小數(shù)來表示呢？拿出作業(yè)紙，用自己的方法開始探究。

生：我把第7列平均分成了10份，發(fā)現(xiàn)這里的涂色部分正好是其中的1份，所以我用0.61來表示。

師：他把這一列平均分成10份，也就相當(dāng)于把整個(gè)正方形平均分成了多少份？

生：100份。

師：陰影部分占其中的多少份？

生：61份。

師：這里的陰影部分可以用什么小數(shù)表示？又可以用什么分?jǐn)?shù)表示呢？

生：可以用0.61表示，也可以用[61100]來表示。

師：通過這樣平均分，我們知道了0.61也就表示[61100]。

【課后思考】

1.對生活素材的把握是否到位

教師常常會(huì)用學(xué)生熟悉的東西來喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)習(xí)熱情。記得在教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”一課時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了乘坐出租車來學(xué)校，用微信紅包付款的情境，并用手機(jī)界面是18.50元，引發(fā)學(xué)生討論這里的“0”表示什么，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情一下子被調(diào)動(dòng)起來了。但在本節(jié)課中，孤零零的一個(gè)紅包數(shù)字，對學(xué)生并不具有特別的吸引力，甚至有學(xué)生提出：“0.1元的紅包太小了！”筆者也覺得這樣的生活素材，作用不大，甚至有一點(diǎn)點(diǎn)副作用，收紅包的情境其教育價(jià)值也值得商榷。我們的課堂教學(xué)需要有價(jià)值、有意義、有吸引力的生活情境。

2.對學(xué)生的自主生成把握是否到位

學(xué)生在三年級時(shí)已經(jīng)認(rèn)識了一位小數(shù)，初步知道一位小數(shù)表示十分之幾。本課的重點(diǎn)在于兩位小數(shù)與百分之幾的聯(lián)系。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生基本了解了一位小數(shù)的意義后，教師提問：你能在這幅圖中表示出0.61嗎？學(xué)生利用知識之間的聯(lián)系，嘗試把第7列平均分成10份，用其中的1份來表示0.01，合起來就是0.61。雖然明白了0.61的意義以及百分之一與0.01的聯(lián)系，但這樣的學(xué)習(xí)還是在教師的引導(dǎo)、提示、精心的預(yù)設(shè)下被動(dòng)生成的結(jié)果。

3.對知識表征的一致性把握是否到位

美國著名數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家萊什指出：“學(xué)生必須同時(shí)具備以下三個(gè)條件才是真正理解了一個(gè)數(shù)學(xué)概念：第一，他必須能將所學(xué)數(shù)學(xué)概念放入不同的表征系統(tǒng)之中;第二，在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，他能夠很好地處理這個(gè)概念;第三，他必須很精確地將此概念從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)中，即在不同的表征系統(tǒng)之間任意切換?！北菊n中，為了讓學(xué)生從多角度來認(rèn)識小數(shù)，教師先通過正方形的平均分來切入，在練習(xí)中又利用數(shù)軸，讓學(xué)生在數(shù)軸上表示出0.8、0.01等小數(shù)。雖然也是利用不同的表征方式，從不同的角度理解小數(shù)的意義，但還是感覺比較生硬，也不夠多元，就像是把兩根樹枝強(qiáng)行綁在一起，并沒有同根同源、氣血相連的整體性。

4.對知識之間的聯(lián)系把握是否到位

腦科學(xué)認(rèn)為，新的鏈接是要在原有鏈接上生長出來的，否則這個(gè)鏈接就是無本之木，只是一種碎片化的知識。為了體現(xiàn)小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系，本課從“1”出發(fā)，把1平均分成10份得到0.1，再把0.1平均分成10份得到0.01……以此體現(xiàn)了小數(shù)從整數(shù)“1”開始細(xì)分的過程。但事實(shí)上，小數(shù)在小學(xué)“數(shù)”的體系中占有特殊的位置，它是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的特殊表現(xiàn)形式，是否還應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)的家族更為深刻的聯(lián)系呢？

第二階段

基于以上思考，我們對本課教學(xué)中的情境創(chuàng)設(shè)、知識生長、系統(tǒng)聯(lián)系等方面進(jìn)行了更深入的研究。

【教學(xué)研究】

1.讓生活情境更有意義

英國教育家彼得·克萊恩說過：“學(xué)習(xí)的三大要素是接觸、綜合分析、實(shí)踐參與?！币胱寣W(xué)生更迅速、更自然、更合情合理地投入到課堂探究中，教師設(shè)置的生活情境不僅要符合學(xué)生的生活習(xí)慣，還要符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。在第二階段的教學(xué)中，可先讓學(xué)生觀看一個(gè)關(guān)于步行運(yùn)動(dòng)的視頻，了解步行是非常好的運(yùn)動(dòng)，再將畫面定格在手機(jī)計(jì)步軟件的運(yùn)動(dòng)紅包上，并提示每天步行都會(huì)獲得0.1元的獎(jiǎng)勵(lì)，步行一周另得獎(jiǎng)勵(lì)紅包的信息。通過運(yùn)動(dòng)紅包的設(shè)置從一位小數(shù)的認(rèn)知拓展到兩位小數(shù)，也體現(xiàn)了生活中積極的一面，突出了立德樹人的教育宗旨。

2.讓認(rèn)知矛盾更為突出

建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)習(xí)不單是知識由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞，還是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)自己的知識和經(jīng)驗(yàn)的過程。在學(xué)生已經(jīng)理解了一位小數(shù)表示十分之幾后，教師沒有直接給出兩位小數(shù)的圖形，而是設(shè)置了一個(gè)被遮住的正方形，請學(xué)生據(jù)此猜一猜運(yùn)動(dòng)一周獎(jiǎng)勵(lì)紅包的錢數(shù)。學(xué)生自然地用一位小數(shù)來猜測，但當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)無法利用原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來表示涂色部分時(shí)，自然想到用兩位小數(shù)來表示。新舊知識間的相互作用，使學(xué)生豐富和改造了自己的知識結(jié)構(gòu)。

3.讓知識聯(lián)系更加緊密

在第一階段，教學(xué)的重點(diǎn)在小數(shù)是由上一級計(jì)數(shù)單位細(xì)分產(chǎn)生的結(jié)果上。如果結(jié)合小數(shù)的意義與小數(shù)的產(chǎn)生以及小數(shù)與整數(shù)的關(guān)系來看，小數(shù)的意義應(yīng)該有兩條線。一是整數(shù)“1”的細(xì)分。即把“1”平均分成10份得到0.1，把0.1平均分成10份得到0.01，把0.01平均分成10份得到0.001……體會(huì)小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。二是溝通細(xì)分以后每一個(gè)計(jì)數(shù)單位與整體的關(guān)系，即把“1” 平均分成10份得到0.1，把“1” 平均分成100份得到0.01，把“1”平均分成1000份得到0.001……通過這樣兩條線的溝通，反映知識之間的緊密聯(lián)系。

4.讓概念表征更加多元

數(shù)學(xué)對象的多樣化呈現(xiàn)，能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的多元構(gòu)建。對于“一位小數(shù)表示十分之幾、兩位小數(shù)表示百分之幾、三位小數(shù)表示千分之幾……”對于這樣的概念，教師可借助數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生從不同的角度進(jìn)行感受：除了把正方形平均分成10份、100份、1000份外，還可通過正方體，溝通小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。在利用數(shù)軸找小數(shù)這一練習(xí)環(huán)節(jié)中，教師設(shè)置一個(gè)把正方形變形成數(shù)軸的動(dòng)畫過程，不僅增強(qiáng)了趣味性，更是通過這樣的變化體現(xiàn)了不同表征之間的聯(lián)系。

【課堂實(shí)錄】

師：剛才的紅包是第一天步行的獎(jiǎng)勵(lì)。當(dāng)我堅(jiān)持了一周以后，又收到了一個(gè)一周鍛煉紅包！有多少錢呢？答案就在這個(gè)信封里，我們拉出一點(diǎn)來看看！

師：如果還把這個(gè)正方形看成1元，你覺得涂色部分表示多少元？

生：涂色部分是這樣的7列，所以表示0.7元。

生：不一定是0.7元，因?yàn)橛幸徊糠直徽谧×?，不清楚有沒有全部涂滿。

師：真是個(gè)機(jī)靈的孩子！我們把信封拿掉看看?，F(xiàn)在你想說什么？

生：因?yàn)榈?列沒有涂滿，所以我覺得是0.65元。

生：涂色的那一塊好像比一半還少一些，也可能是0.64元。

生：這個(gè)涂色部分一定是在0.6到0.7之間。

師：同學(xué)們的猜測都有道理！涂色部分究竟表示多少元？請大家拿出研究單，用自己的方法進(jìn)行探究。

生：我量了這個(gè)正方形的邊長是5厘米，我就把第7列平均分成10份，每份0.5厘米。這里的涂色部分占4份，加上前面的6列，一共表示0.64元。

師：誰還有補(bǔ)充？你這里的一小格表示多少元？（涂紅一格）

生：0.01元。

生：我是把這個(gè)正方形平均分成了100份，涂色部分占64份，所以表示0.64元。

師：你這里的一小格又是多少元？（在同樣的位置涂紅一格）

生：0.01元。

（把兩張研究單放在一起比較）

師：兩位同學(xué)分的方法不同，為什么這一小格都表示0.01元呢？

生：第二種方法把每一列都平均分成10份，也就是把1平均分成100份。他們兩人的分法實(shí)際上是一樣的。

師：這里的100份可以看成怎樣算的？

生：10×10。

師：顯然，把0.1平均分成10份，就能得到0.01。

（板書：0.1 → 0.01）

師：也就是把1平均分成100份，所以0.01就表示……

生：一百分之一。

（板書：0.01 → [1100]）

【課后思考】

1.使概念教學(xué)更具有探究性

學(xué)生在三年級下學(xué)期“認(rèn)識小數(shù)”的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了零點(diǎn)幾與十分之幾的聯(lián)系，所以在本課的教學(xué)過程中，對于一位小數(shù)表示十分之幾的處理相對是比較快的。而兩位小數(shù)與百分之幾的聯(lián)系是本課的重點(diǎn)。教學(xué)中設(shè)置了一個(gè)用信封遮住的正方形，一開始學(xué)生理所當(dāng)然地猜想是0.7元，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)無法用一位小數(shù)表示時(shí)，自然就嘗試用兩位小數(shù)來表示。“用怎樣的兩位小數(shù)來表示呢？為什么你猜的是0.64元，而不是0.63元、0.62元呢？”再用這樣的追問，促使學(xué)生想到“平均分成10份”，看看涂色部分占幾份這樣的方法。

把0.1平均分成10份以及把1平均分成100份，是兩種有代表性的方法。在介紹、對比、溝通兩種方法的同時(shí)，學(xué)生明白了把“0.1平均分成10份”與“把1平均分成100份”實(shí)質(zhì)上是一致的，其中的1份都是0.01。這樣兩位小數(shù)自然產(chǎn)生了。

根據(jù)剛才學(xué)習(xí)的過程，通過合情推理，學(xué)生想到三位小數(shù)的產(chǎn)生，是把0.01分成10等份，也就是把1分成1000等份而得到的。

2.使教學(xué)的重點(diǎn)更明確

最早使用小數(shù)的是我國魏晉時(shí)期《九章算術(shù)》的作者劉徽，他是按照整數(shù)的計(jì)數(shù)原則，將小于1的數(shù)也用類似于整數(shù)的形式表達(dá)出來，稱為“微數(shù)”。近代西方數(shù)學(xué)家柯朗（P.Courant）進(jìn)行了這樣的闡述：“把一個(gè)單位區(qū)間分成10，然后100，1000等相等的線段，這樣得到的點(diǎn)對應(yīng)著十進(jìn)位小數(shù)?！比A師大的張奠宙教授也指出：“以小數(shù)的形式表示十進(jìn)分?jǐn)?shù)，其不僅簡單，而且與自然數(shù)的寫法保持一致?！?/p>

因此，對于小數(shù)意義的研究，分?jǐn)?shù)只是一個(gè)描述計(jì)數(shù)單位的工具，“十進(jìn)”才是本質(zhì)與重點(diǎn)。把整數(shù)“1”分成10等份，得到0.1;把0.1分成10等份，得到 0.01;把0.01分成10等份，得到 0.001……也就是把整數(shù)“1”按10等份、100等份、1000等份……地分。這樣既能體現(xiàn)相鄰兩個(gè)小數(shù)單位之間“十進(jìn)”與“十分”的聯(lián)系，又體現(xiàn)了各個(gè)小數(shù)單位與“1”之間的聯(lián)系。

3.使數(shù)學(xué)知識更加系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)化

在教學(xué)中，教師把整數(shù)“1”進(jìn)行細(xì)分后得到了更小的計(jì)數(shù)單位。為什么要細(xì)分？是因?yàn)橐_地表示比1小的數(shù)。細(xì)分的原則是什么？從左往右看是化一為十，從右往左看是滿十進(jìn)一。在本課最后環(huán)節(jié)，教師借助與課前走路視頻相呼應(yīng)的百米賽跑視頻，讓學(xué)生感受小數(shù)的精確性，在對板書的觀察中又幫助學(xué)生更好地掌握小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)化。

這些問題其實(shí)并沒有直接提出，而是隱藏在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，所占的時(shí)間雖然不多，但這種溝通使得學(xué)生對小數(shù)的認(rèn)識更完整、更通透。筆者認(rèn)為，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的數(shù)位和計(jì)數(shù)單位、小數(shù)的大小比較、改寫和近似數(shù)等內(nèi)容時(shí)，一定會(huì)因?yàn)榻裉斓膶W(xué)習(xí)而產(chǎn)生一種豁然開朗的感覺。

第三階段

通過前兩個(gè)階段的教學(xué)實(shí)踐，筆者感覺對于小數(shù)的產(chǎn)生、小數(shù)的意義、小數(shù)在整個(gè)知識體系中的聯(lián)系都有了較為合適的處理。但是在后續(xù)的教學(xué)中，對以下教學(xué)環(huán)節(jié)有教師提出了異議。

師：如果把這個(gè)正方形看作1元，0.1元可以怎樣表示？

生：平均分成10份，每份就是0.1元。

師：把1平均分成10份，就能得到0.1。

（板書：0.1）

師：把0.1元寫成分?jǐn)?shù)是多少元？

生：[110]元。

師：也就是說0.1元就表示……

生（齊答）：[110]元。

師：現(xiàn)在的涂色部分又是多少元？

生：0.2元或[210]元。

師：0.2元就表示？

生：[210]元。

師：在這個(gè)正方形里，除了涂色部分，你還能找到什么小數(shù)？

生：空白部分就是0.8元，也就表示[810]元。

有教師提出：小數(shù)與分?jǐn)?shù)的相互關(guān)系究竟應(yīng)該是怎樣的？根據(jù)把正方形平均分成10份，得到的應(yīng)該是0.1還是[110]呢？在蘇教版五年級上冊第三單元第一課時(shí)“小數(shù)的意義”教學(xué)中，教材是用長度單位的換算引入的：1分米=[110]米=0.1米;1米=100厘米，1厘米就是[1100]米，寫成小數(shù)是0.01米;[4100]米寫成小數(shù)是0.04米。那么，在我們的教學(xué)中，先說出小數(shù)0.1，再說明分?jǐn)?shù)可以寫成[110]，然后指出0.1就表示[110]，這樣的順序是否合理呢？在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)這樣的順序沒有什么問題，學(xué)生也能理解小數(shù)的產(chǎn)生與意義，但是總覺得與教材的順序是相悖的。

當(dāng)然，在產(chǎn)生兩位小數(shù)的過程中，還有很多改進(jìn)的空間，比如怎樣才能更加體現(xiàn)學(xué)生自主生成的過程，使課堂凸顯學(xué)生思維的過程，把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成長過程體現(xiàn)得更明顯。

研磨一節(jié)課，重在過程，重在思考，重在提高對教學(xué)內(nèi)容的理解和貫通，重在更好地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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（江蘇省南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué)? 226000）