夏紅紅，汪學明，楊萬鑫

(貴州大學 計算機科學與技術學院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

量子密碼的安全性完全運用量子力學的基本原理，成功解決了NP和RSA等問題。目前來說，量子密碼學可分為量子密鑰分配、量子秘密共享等方向。

量子秘密共享是密碼學的一個重要分支，主要是解決信息安全等問題。張建中等提出了兩個基于四粒子糾纏態(tài)的量子秘密共享方案，所提出的方案是高效且安全可靠的[1]；高明等提出了量子多方秘密共享方案，這使得所有的對稱糾纏態(tài)都可以通過隱形傳態(tài)來完成秘密共享協(xié)議[2]。量子秘密共享經(jīng)過多年的研究，不論是在實驗還是理論研究方面，都取得了很多成果[3-10]。

Cluster態(tài)是一種不同于GHZ態(tài)和W態(tài)的糾纏團簇態(tài)。它不僅包含了GHZ態(tài)和W態(tài)的糾纏態(tài)性質，還具有最大連通性和糾纏頑固性[4]，很難被局域操作所破壞，便于實驗實現(xiàn)，被廣泛應用為量子通信信道。在此基礎上，本文提出了兩個基于Cluster態(tài)的n位量子態(tài)秘密共享方案，一個是四粒子Cluster態(tài)，另一個是五粒子Cluster態(tài)。在方案一中，發(fā)送方Alex對自己所持有的粒子進行bell測量，若Alex和Bess同意Chalie恢復未知量子態(tài)，Bess進行bell測量，Chalie只需要對自己持有的粒子進行相應的幺正變換即可。方案二中，同樣進行兩次bell測量，引入輔助粒子進行CNOT操作即可。從本文的計算中可知任何一個代理者在其他兩方協(xié)助下可以實現(xiàn)任意n位量子態(tài)的共享。本文的兩個方案操作簡單且不受共享態(tài)位數(shù)的影響，完全基于量子糾纏的量子隱形傳態(tài)的方式，理論上的成功概率可達100%。最后，對提出的兩個基于Cluster態(tài)的n位量子態(tài)秘密共享方案進行了安全性分析。

1 四粒子Cluster態(tài)的n位量子態(tài)的秘密共享方案

1.1 兩位量子態(tài)的秘密共享方案

有3名參與者Alex、Bess和Chalie共同參與量子秘密的共享，其中Alex發(fā)送秘密，發(fā)送一個未知的兩位量子態(tài)

φab=α00ab+β11ab

(1)

將一個四粒子Cluster態(tài)作為量子信道，四粒子Cluster態(tài)的形式為

(2)

Alex擁有粒子1，Bess擁有粒子2和粒子3，Chalie擁有粒子4，則量子態(tài)消息與共享的四粒子Cluster態(tài)的復合系統(tǒng)可表示為

(3)

Alex對自己手中的粒子1和a進行bell測量，公布測量結果之后，Bess和Chalie手中粒子的狀態(tài)將會塌縮到下列4種狀態(tài)之一

(4)

(5)

(6)

(7)

不失一般性，假設 Alex的測量結果為|φ+a1，則粒子b,2,3,4的態(tài)將會塌縮到

(8)

為了恢復未知量子態(tài)，需要將粒子2和粒子3進行bell測量，得到結果為

假設Alex和Bess同意Chalie恢復這個兩粒子糾纏態(tài)的信息，Chalie只需要對自己持有的粒子4進行相應的幺正變換即可。同樣的，假設Alex的測量結果為式φ-a1，則粒子b,2,3,4的態(tài)將會塌縮到

(9)

同樣的將粒子2和粒子3做bell測量，得到結果為

和上面的步驟一樣，Chalie對粒子4進行相應的幺正變換即可恢復初始量子態(tài)。具體結果見表1。

表1 四粒子Cluster態(tài)中共享兩位量子態(tài)秘密結果匯總

1.2 三位量子態(tài)的秘密共享方案

為了保證量子信道一致，仍然利用該信道實現(xiàn)未知三位量子態(tài)的秘密共享。

此時Alex所要發(fā)送的態(tài)為

|φabc=α|000abc+β|111abc

(10)

則量子態(tài)消息與共享的四粒子Cluster態(tài)的復合系統(tǒng)可表示為

(11)

同樣的，將粒子a和粒子1，粒子2和粒子3進行bell測量，剩余粒子將塌縮到

為了恢復未知的三位量子態(tài)，Chalie只需要對自己持有的粒子4進行相應的幺正變換即可。

1.3 n位量子態(tài)的秘密共享方案

此時Alex所要發(fā)送的態(tài)為

|φabc…n=α|000abc…n+β|111abc…n

(12)

則量子態(tài)消息與共享的四粒子Cluster態(tài)的復合系統(tǒng)可表示為

(13)

將粒子粒子a和粒子1，粒子2和粒子3進行bell測量，剩余粒子將塌縮到

首先將粒子1和粒子a進行bell測量消去，在剩余bc…n234粒子中，由于粒子2和粒子3的粒子組合不會因為未知量子態(tài)發(fā)生改變而變，同樣的，和上述方案相同，將粒子2和粒子3進行bell測量消去，剩余bc…n4粒子，在原來的未知量子態(tài)中，由于a參與了bell測量消去，還剩余n-1個粒子，經(jīng)過糾纏變換，Alex的態(tài)轉移到了粒子4上，為了恢復未知的n位量子態(tài)，Chalie只需要對自己持有的粒子4進行相應的幺正變換即可。具體結果見表2。

表2 四粒子Cluster態(tài)中共享n位量子態(tài)秘密結果匯總

在表2中，AM表示Alex公布測量結果時，剩余粒子塌縮的態(tài)，BM表示將粒子2和粒子3進行bell測量后的結果。

2 五粒子Cluster態(tài)的n位量子態(tài)的秘密共享方案

2.1 兩位量子態(tài)的秘密共享方案

同樣的該3名參與者Alex、Bess和Chalie共同恢復秘密，現(xiàn)在Alex給其中一人發(fā)送一個未知的兩量子態(tài)

|θab=α|00ab+β|11ab

(14)

共享的五粒子Cluster態(tài)為

(|00000+|00111+|11101+|11010)12345

(15)

則量子態(tài)消息與共享的五粒子Cluster態(tài)的復合系統(tǒng)可表示為

(16)

首先將粒子a和粒子4進行bell測量，得到

(17)

(18)

(19)

(20)

同樣的，以式(17)為例，將粒子b和粒子3進行bell測量，得到

(21)

(22)

(23)

(24)

表3 五粒子Cluster態(tài)中共享兩位量子態(tài)秘密結果匯總

CM表示將粒子b和粒子3進行bell測量的結果，DM表示將粒子1和粒子2進行單粒子態(tài)測量的結果，U5表示粒子5需要進行的幺正變換。

2.2 三位量子態(tài)的秘密共享方案

為了方便研究與闡述，仍然運用五粒子Cluster態(tài)為量子信道實現(xiàn)未知三位量子態(tài)的秘密共享。

此時Alex所要發(fā)送的三位量子態(tài)為

|θabc=α|000abc+β|111abc

(25)

則量子態(tài)消息與共享的五粒子Cluster態(tài)的復合系統(tǒng)可表示為

(26)

將粒子a和粒子4進行bell測量，得到

(27)

(28)

(29)

(30)

同樣的，以式(27)為例，將粒子b和粒子3進行bell測量，得到

(31)

(32)

(33)

(34)

圖1 將(α|00+β|11)c5變換至α|000+β|111

2.3 n位量子態(tài)的秘密共享方案

此時Alex所要發(fā)送的態(tài)為

|φabc…n=α|000abc…n+β|111abc…n

(35)

則量子態(tài)消息與共享的五粒子Cluster態(tài)的復合系統(tǒng)可表示為

(36)

將粒子(a，4)，(b,3)進行bell測量，剩余粒子將塌縮到

經(jīng)過兩次bell測量消去4個粒子(每次bell測量可消去兩個粒子)之后，在剩余粒子中，對粒子1和粒子2分別進行單粒子態(tài)測量，最終剩余粒子總是比未知粒子少一個，通過引入輔助粒子的方法，實施一個CNOT操作，經(jīng)過量子線路最后都能恢復到初始未知量子態(tài)。具體結果見表4。

表4 五粒子Cluster態(tài)中共享n位量子態(tài)秘密結果匯總

3 安全性分析

當攻擊者實施截獲重發(fā)攻擊時，可驗證信道的安全性。

(α|0000+α|0011+β|1100-β|1111)b234?
|0e=(α|00000+α|00110+
β|11000-β|11110)b234e

同樣的，對粒子2和粒子3進行bell測量得到，若測量結果為|φ+23，則剩余粒子將會塌縮到(α|00-β|11)b4|0e，可以看出Eve并未獲取到任何有用的信息。同樣假設Eve糾纏的輔助粒子為|1e，則Bess、Chalie和Eve組合的態(tài)變?yōu)?/p>

(α|0000+α|0011+β|1100-β|1111)b234?
|1e=(α|00001+α|00111+
β|11001-β|11111)b234e

若測量結果為|ψ+23，則剩余粒子將會塌縮到(α|01+β|10)b4|1e，仍看出Eve未獲取到任何有用信息。

假設Bess不誠實，它無法通過局域操作的方法竊聽發(fā)送方的秘密信息；Bess沒有相關粒子的信息只能進行猜測，隨著猜測次數(shù)的增多，概率接近于0，不被發(fā)現(xiàn)的概率很低。此外，對參與者和秘密發(fā)送方進行認證，并安全地檢測通信之間的量子信道，也能識別出是假冒的。假設Bess和Charlie合作，乍看可以恢復未知量子態(tài)，事實上通過檢測信道的安全性也能識別出盜竊者。

綜上所述，本文所提出的兩個方案均是安全可靠的。

4 結束語

本文分別基于四粒子Cluster態(tài)和五粒子Cluster態(tài)的量子信道，提出了兩個n位量子態(tài)秘密共享的方案。Cluster態(tài)不同于GHZ態(tài)和W態(tài)，但是其性質卻比最大糾纏態(tài)穩(wěn)定，可直接用于通信。重構者Alex只需要對所持有的粒子進行相應的幺正變換即可或引入一個輔助粒子最后實施CNOT操作就可以重構原始秘密。最后通過特定的量子線路可以得到特定位量子態(tài)的秘密共享，并且只有Bess和Charlie聯(lián)合才能恢復出未知量子態(tài)信息，分析表明兩個方案均是安全的。且本文提出的方案在理論上成功的概率達100%。文獻[4]添加輔助粒子，并對量子態(tài)進行五粒子聯(lián)合測量等操作，方案繁瑣，而本文只需要兩次bell測量和幺正變換，步驟簡單。文獻[5]雖然實現(xiàn)了發(fā)送方和另外N-1方的秘密共享，最終只可形成n[1-(N-1)/2N-1]/6個共享秘密位。接下來將進行秘密參與者多方性的研究，完善量子秘密共享機制。