向亞紅　羅賢兵

摘 要：在熱傳導、化學物質擴散的問題中，常出現(xiàn)帶有隨機系數(shù)的拋物偏微分方程，而求這些隨機拋物微分方程的解析解非常困難，因此考慮其數(shù)值近似。本文用多水平Monte Carlo法和有限差分法相結合來求解拋物隨機問題的數(shù)值解，與傳統(tǒng)的Monte Carlo法相比，它的漸近成本顯著降低，計算速度顯著提高，數(shù)值算例檢驗了該方法的高效性。

關鍵詞：多水平;Monte Carlo方法;拋物隨機偏微分方程;有限差分法

中圖分類號：O241.82; O35

文獻標識碼： A

現(xiàn)實生活中很多物理現(xiàn)象都是用微分方程來描述，特別是隨機偏微分方程（SPDE）在現(xiàn)代物理學、化學、生物學、經(jīng)濟學等都有很多應用。由于求隨機問題的解析解比較困難，于是轉而考慮數(shù)值解。在處理這類數(shù)值問題時，Monte Carlo（MC）法是首選方法， 多水平Monte Carlo（MLMC）法是GILES首先基于多重網(wǎng)格的思想在傳統(tǒng)Monte Carlo法的基礎上提出來的[1]，目前漸漸受到了廣泛關注。

到目前為止，Monte Carlo 法（包含擬Monte Carlo法、多水平Monte Carlo法、多水平擬Monte Carlo法）在常見的隨機橢圓偏微分方程[2-3]的數(shù)值解方面已經(jīng)取得了一些進展。比如2011年CLIFFE等將MLMC法應用在含有隨機系數(shù)的橢圓偏微分方程，并在數(shù)值計算中證明了該方法對地下水流中出現(xiàn)的一維和二維模型問題的有效性[4];BARTH等于2011年采用多水平Monte Carlo法數(shù)值近似有隨機系數(shù)的橢圓偏微分方程，并給出了詳細的理論分析[5];2011年GRAHAM等利用擬Monte Carlo法求解含有隨機系數(shù)的橢圓偏微分方程[6];2015年KUO、SCHWAB，以及SLOAN利用多水平擬Monte Carlo（MLQMC）法結合有限元方法數(shù)值求解在帶有隨機系數(shù)的橢圓偏微分方程[7]; 2016年KUO和NUYENS分析了擬Monte Carlo法在含有隨機系數(shù)的橢圓偏微分方程的應用，分別比較了均勻分布與正態(tài)分布、單水平算法與多水平算法、一階擬Monte Carlo規(guī)則與高階擬Monte Carlo規(guī)則，確定的擬Monte Carlo法與隨機擬Monte Carlo法，給出了誤差分析的總結，提供了在偏微分方程問題中生成擬Monte Carlo點的示例[8];2017年KUO等將對數(shù)正態(tài)問題的多水平擬Monte Carlo方法，應用于隨機多孔介質中典型橢圓問題穩(wěn)態(tài)流動解的線性泛函，得出了誤差分析，并用數(shù)值實驗檢驗[9]。這對于處理地下流動問題的不確定性量化至關重要。

然而，用多水平Monte Carlo方法在處理帶時間的隨機偏微方程數(shù)值解的研究較少。本文考慮用多水平Monte Carlo方法研究拋物隨機微分方程的數(shù)值近似。

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（責任編輯：于慧梅）