文宮 樂(lè) 李 巖

（作者單位：安徽省合肥一六八玫瑰園學(xué)校教育集團(tuán)）

一、形到形的轉(zhuǎn)化

例1（2019·浙江寧波）如圖1，矩形EFGH 的 頂 點(diǎn)E、G 分別在菱形ABCD 的邊AD、BC 上，頂點(diǎn)F、H 在菱形ABCD 的對(duì)角線BD上。

（1）求證：BG=DE；

（2）若E 為AD 中 點(diǎn)，F(xiàn)H=2，求 菱 形ABCD的周長(zhǎng)。

圖1

圖2

【分析】求證線段相等，最常用的方法是證明三角形全等，結(jié)合矩形、菱形的性質(zhì)容易找到全等的三角形。（1）可以將四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題。（2）中要求菱形的周長(zhǎng)，可先轉(zhuǎn)化為求菱形的邊長(zhǎng)AB，結(jié)合條件FH 已知，容易想到連接矩形EFGH的另一條對(duì)角線EG，通過(guò)證明四邊形ABGE是平行四邊形，將求菱形的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。

解：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，則∠GBF=∠EDH，可得△BGF≌△DEH（AAS），根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

（2）如圖2，連接EG，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=BC，AD∥BC，結(jié)合（1）中的結(jié)論，證得AE=BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE 是平行四邊形，得到AB=EG，進(jìn)而易得結(jié)論。

【點(diǎn)評(píng)】四邊形的問(wèn)題，經(jīng)常是通過(guò)添加輔助線，將之轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題。例如，在新課的學(xué)習(xí)中，通過(guò)連接對(duì)角線，把平行四邊形分割成兩個(gè)全等的三角形，由全等三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的性質(zhì)。反之，在探究三角形的中位線時(shí)，是通過(guò)構(gòu)造出平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出三角形的中位線定理。把未知的圖形轉(zhuǎn)化為已知的圖形，用已經(jīng)掌握的知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題，是分析、解決問(wèn)題的基本策略。

二、形到數(shù)的轉(zhuǎn)化

例2（2019·黑龍江哈爾濱）已知：在矩形ABCD 中，BD 是對(duì)角線，AE⊥BD 于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F。

（1）如圖3，求證：AE=CF；

（2）如圖4，當(dāng)∠ADB=30°時(shí)，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖4 中四個(gè)三角形，使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABCD面積的。

圖3

圖4

【分析】要找面積=矩形面積的三角形，可根據(jù)矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形直角邊和斜邊特殊的數(shù)量關(guān)系以及三角形面積的計(jì)算方法，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為×矩形長(zhǎng)×矩形寬。

解：（1）由“AAS”證明△ABE≌△CDF，即可得出結(jié)論。

（2）由平行線的性質(zhì)得出∠CBD=∠ADB=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出△ABE 的面積。再由全等三角形的性質(zhì)得出△CDF 的面積=?！鰾EC 的面積，同理：△ADF的面積

數(shù)學(xué)的精華在于可以把問(wèn)題不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，但要注意的是，轉(zhuǎn)化是形變、量變，其本質(zhì)是不變的，一旦轉(zhuǎn)化造成了制約條件的變化，一定要及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。總而言之，轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心，從某種程度上來(lái)說(shuō)是數(shù)學(xué)解題的通法，任何問(wèn)題都可以借鑒這種方法進(jìn)行思考和解決。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中多加思考和嘗試。