李明圖，裴瑞昌

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

設(shè)Nn+p(c)是截面曲率為常數(shù)c的n+p維黎曼流形，Mn是等距浸入在Nn+p(c)中的n維緊致子流形，σ表示其第二基本形式模長的平方，若Nn+p(c)是球面，當(dāng)Mn極小時，有著名的Simons型積分不等式[1]：

其中dv表示Mn上的體積元素.當(dāng)p≥2時，李安民教授對 （1）式做了改進，得到了一個與余維數(shù)p無關(guān)的結(jié)果[2]：

白正國教授在文獻[3]中對擬常曲率黎曼流形中的緊致極小子流形做了討論.Ganchev G.和Mihova V.在文獻[4]中將ξ理解為一個向量，進而考慮了擬常曲率黎曼流形的幾何特征.之后，Bejian C.L.和Oproiu V.在文獻[5]中從ξ是向量的角度研究了具有擬常全純截面曲率的切叢.本文考慮了局部對稱擬常曲率黎曼流形中的緊致極小子流形上的類似問題，分別在ξ∈Γ(TM)和ξ⊥Γ(TM)的情形下，得到了兩個定理，推廣了文獻[2]中的結(jié)論.

1 準(zhǔn)備工作

文中約定各指標(biāo)的變程為：

在Nn+p上選取標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場{e1,e2,…,en+p},使得限制在Mn上時，{e1,e2,…,en}與Mn相切，{en+1,en+2,…,en+p}垂直于Mn.設(shè){ω1,ω2,…,ωp} 是其對偶標(biāo)架場，則Mn的結(jié)構(gòu)方程為

Rijkl和Rαβij分別表示Mn的黎曼曲率張量分量和法曲率張量分量.記,Hα的跡為,用h,H,σ分別表示Mn的第二基本形式，平均曲率和第二基本形式模長的平方，有

用hijk和hijkl分別表示的一階及二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)，有

若Nn+p是局部對稱的，由文獻[6,7]可知：對于任意實常數(shù)λ，有

2 主要定理及其證明