閆麗宏， 韓紫陽， 王仁義， 聶婉婷

（咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽 712000）

為了研究系統(tǒng)的暫態(tài)性能，Peter Dorato在1961年提出了“Short Time穩(wěn)定性”的概念，也即非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性. 隨著控制問題研究的深入，近年來非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題已成為控制領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)［1-3］. 與傳統(tǒng)的漸近穩(wěn)定控制相比，有限時(shí)間穩(wěn)定可以提升系統(tǒng)的收斂速度，使受控系統(tǒng)具有更好的抗干擾性和魯棒性［4］. 在實(shí)際應(yīng)用中，由于受到物理設(shè)備的限制、外界干擾的影響和變化、未知參數(shù)的存在、未建模動(dòng)態(tài)等不確定因素的影響，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型往往是不確定的，隨機(jī)系統(tǒng)廣泛地存在于工程實(shí)際問題中，包括隨機(jī)擾動(dòng)、噪聲干擾等因素在內(nèi)的外部作用將導(dǎo)致受控系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且增加控制難度，因而分析研究隨機(jī)系統(tǒng)的控制問題具有重要的實(shí)際意義，如何減少擾動(dòng)對(duì)混沌系統(tǒng)同步控制的影響是需要深入研究的. 為了應(yīng)對(duì)不確定性和外部擾動(dòng)，學(xué)者們提出了自適應(yīng)控制策略. 該控制策略因具有諸如響應(yīng)的快速性、對(duì)干擾的魯棒性、良好的瞬態(tài)性能以及易于物理實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)而被視為應(yīng)對(duì)不確定性和擾動(dòng)的有效方法.

目前，關(guān)于隨機(jī)非線性混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步控制問題，已有相關(guān)研究結(jié)果. 邵克勇等［5］對(duì)含有不確定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz 系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間控制進(jìn)行了分析. Wang 等［6］研究了含有不確定因素的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問題. 在文獻(xiàn)［7］中，Tu等研究了含有隨機(jī)擾動(dòng)的統(tǒng)一混沌的有限時(shí)間同步和參數(shù)辨識(shí)問題. Yin等［8］對(duì)非線性隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究. Liu等［9］利用輸出反饋控制方法分析討論了一類隨機(jī)非線性系統(tǒng)的全局有限時(shí)間穩(wěn)定性問題. Zhu和Yao［10］基于平均脈沖時(shí)間討論了一類非線性時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問題. 含有不確定因素的永磁同步電動(dòng)機(jī)的魯棒有限時(shí)間混沌同步的結(jié)論在文獻(xiàn)［11］中進(jìn)行了深入討論.

Wei等學(xué)者對(duì)Sprott J C提出的系列混沌模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了廣義Sprott-C混沌系統(tǒng)模型，其基本特征和混沌特性在文獻(xiàn)［12］中已有分析，筆者［13］研究了該系統(tǒng)的有限時(shí)間魯棒同步問題. 本文將在以上研究的基礎(chǔ)上，考慮隨機(jī)作用和參數(shù)未知因素，構(gòu)造隨機(jī)廣義Sprott-C 混沌驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)，結(jié)合系統(tǒng)的誤差信息，設(shè)計(jì)合適的控制器和參數(shù)自適應(yīng)律，研究隨機(jī)受擾驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問題.

1 問題陳述與知識(shí)預(yù)備

隨機(jī)廣義Sprott-C混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)方程如下：

2 主要結(jié)論

結(jié)合系統(tǒng)誤差的定義（3）式，根據(jù)隨機(jī)驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)的方程（1）式和（2）式的表達(dá)，通過計(jì)算，可得系統(tǒng)誤差動(dòng)態(tài)方程：

基于非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，可以看到，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)（1）式和（2）式的有限時(shí)間同步等價(jià)于系統(tǒng)（8）式在原點(diǎn)的有限時(shí)間穩(wěn)定性. 本文結(jié)合It?公式，利用有限時(shí)間穩(wěn)定性定理，證明誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（8）式的穩(wěn)定性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)廣義Sprott-C驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步分析.

其中：參數(shù)σ 滿足0 ＜σ ＜1，反饋控制參數(shù)ki,i=1,2,3 是任意正數(shù). λi和ξi,i=1,2,3 分別為相關(guān)控制參數(shù).同時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）式中未知參數(shù)自適應(yīng)更新律［15］設(shè)計(jì)如下：

結(jié)合假設(shè)1，有

根據(jù)跡的定義，可知

利用假設(shè)2，可得

將上述結(jié)論（11）式和（12）式帶入?yún)?shù)估計(jì)律（10）式并化簡，有

對(duì)上式兩邊分別計(jì)算期望，有

對(duì)于任意初值t0＞0，我們有

故而，可得

3 數(shù)值模擬

在隨機(jī)干擾作用下，考慮到混沌系統(tǒng)自身的初值敏感性. 本節(jié)中，我們將選取合適的系統(tǒng)參數(shù)與初值，對(duì)上述給出的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)（1）式和（2）式的有限時(shí)間同步結(jié)論進(jìn)行仿真驗(yàn)證. 驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為：( x0,x1,x2)=( 5,2.1,-3) ,( y0,y1,y2)=( -4,-1,5.8)，初始時(shí)刻t0=0，指數(shù)，控制器中的反饋增益取值為ki=0.8. 不失一般性，取參數(shù)λi=4.4；ξi=3，知λ=4.4，未知參數(shù)的初始取值分別為：?=18.85；=99?=1.15.

同時(shí)假設(shè)網(wǎng)絡(luò)外部噪聲函數(shù)如下：

圖1 廣義Sprott-C驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌隨機(jī)系統(tǒng)誤差軌跡Fig.1 The error trajectories of general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when

圖2 廣義Sprott-C驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)隨機(jī)混沌系統(tǒng)未知參數(shù)估計(jì)Fig.2 The estimation of unknown parameters for general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when

圖1顯示，廣義Sprott-C驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)誤差在1.82 s時(shí)達(dá)到0，這表明系統(tǒng)在T=1.82 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步. 同時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)未知參數(shù)均已被成功估計(jì)，見圖2所示. 固定選取上述初值和參數(shù)，按照定理中實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步的時(shí)間公式T=t0+2γ-1Vγ(t0) λγ 進(jìn)行計(jì)算，可知其結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相同，這充分印證了本文所給定理的可行性與有效性.

進(jìn)一步，控制增益調(diào)整為σ=0.5，比較同步效果. 固定上述系統(tǒng)各狀態(tài)初始值的選取，未知參數(shù)的初始取值分別為：=35.2;=98;=10.9. 另 取 一 組 反 饋 增 益 為：ki=6;λi=5.2; ξi=6，可得圖3 的誤差演化曲線. 從中可見，當(dāng)T=1.57 s 時(shí)，誤差達(dá)到零，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)（1）式和（2）式實(shí)現(xiàn)同步. 圖4是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的未知參數(shù)估計(jì)，可以看到，各參數(shù)在1.57 s內(nèi)均收斂到真實(shí)參數(shù). 與圖1的數(shù)值仿真結(jié)果相比，可見當(dāng)參數(shù)取值改變時(shí)，可以極大地縮減同步時(shí)間，理論分析結(jié)論與仿真結(jié)果吻合.

圖3 廣義Sprott-C驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)隨機(jī)混沌系統(tǒng)誤差軌跡(σ=0.5)Fig.3 The error trajectories of general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when σ=0.5

圖4 廣義Sprott-C驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)隨機(jī)混沌系統(tǒng)未知參數(shù)估計(jì)(σ=0.5)Fig.4 The estimation of unknown parameters for general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when σ=0.5

4 結(jié)語

論文基于隨機(jī)微分方程的有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，通過設(shè)計(jì)合適的外部控制器和未知參數(shù)自適應(yīng)率，實(shí)現(xiàn)了受擾的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)Sprott-C混沌系統(tǒng)的隨機(jī)有限時(shí)間同步，并利用自適應(yīng)控制方法對(duì)系統(tǒng)中的未知參數(shù)進(jìn)行了成功辨識(shí). 最后結(jié)合數(shù)值仿真，說明了本文所提出控制方法的正確性和有效性.