付 瑩，李冰玉，郭繼寧，2

（1.渤海大學(xué)，遼寧錦州 121013;2.東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150040）

1 背景

真空感應(yīng)爐是在真空條件下，利用電磁感應(yīng)在金屬導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生渦流加熱爐料進(jìn)行熔煉，并用下連鑄機(jī)構(gòu)拉鑄金屬的現(xiàn)代化設(shè)備。隨著航天航空、原子能、軍工等尖端科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，真空冶金技術(shù)在稀有金屬、鋼和特種合金的冶煉方面的應(yīng)用日益廣泛，且自動(dòng)化水平越來越高。在實(shí)際生產(chǎn)過程中，爐體溫度、爐內(nèi)壓強(qiáng)、真空度等因素對產(chǎn)品性能都有不同程度的影響，其中溫度是真空冶金中重要的參數(shù)之一。為了使生產(chǎn)效率盡可能的提高，就必須對生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的溫度進(jìn)行有效的控制，使真空感應(yīng)爐內(nèi)的溫度保持在金屬熔點(diǎn)之上并達(dá)到電熱效率最大化。由于溫度升高對物料電阻率的影響以及物料本身產(chǎn)生的熱輻射等現(xiàn)象都對系統(tǒng)溫度控制精度有一定的影響，且反應(yīng)過程難以預(yù)測，這使真空感應(yīng)爐具有很強(qiáng)的非線性、時(shí)滯特性以及不確定性[1，2]。對于具有大時(shí)滯、非線性、不確定性的復(fù)雜系統(tǒng)很難建立起精確的數(shù)學(xué)模型，限制了現(xiàn)有的控制理論在實(shí)際工程中的應(yīng)用。許多專家學(xué)者將復(fù)合PID 控制方法應(yīng)用到系統(tǒng)中。路桂明用模糊PID 的方法控制電鍋爐內(nèi)的溫度，使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間縮短、穩(wěn)態(tài)誤差變小，但模糊PID 控制算法不夠完善，不能很好的運(yùn)用于實(shí)際工程中[3]。滕寧寧采用Smith 預(yù)估器和模糊PID 控制相結(jié)合的方法對電加熱爐的時(shí)滯問題進(jìn)行補(bǔ)償，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力，但并沒有具體的設(shè)備進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)會存在一些問題，有待改進(jìn)[4]。李英順提出了一種基于遺傳算法的PID 控制方法對真空感應(yīng)爐的溫度進(jìn)行控制，利用遺傳算法獲取最優(yōu)的PID 控制參數(shù)，但仍然是一種基于模型的控制算法，不能從根本上解決系統(tǒng)模型不確定性的問題[5]。韓京清先生在經(jīng)典PID“基于誤差消除誤差”的理論基礎(chǔ)上創(chuàng)立自抗擾控制理論[6]。自抗擾控制器（Active Disturbance Rejection Controller,ADRC）可以將被控對象中出現(xiàn)的各種不確定因素歸結(jié)為總擾動(dòng)，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，并將系統(tǒng)補(bǔ)償為串聯(lián)積分器標(biāo)稱模型的基本形式[7]。近年來，自抗擾控制影響力與日俱增，在工程領(lǐng)域也得到了廣泛應(yīng)用。自抗擾控制器由非線性狀態(tài)誤差反饋（Nonlinear State Error Feedback）、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer）和微分跟蹤器（Tracking Differentiator）三個(gè)部分組成[8]。其中擴(kuò)張狀態(tài)觀測器以及誤差反饋控制都是以非線性函數(shù)呈現(xiàn)的，理論分析具有較大難度，待整定參數(shù)較多，不利于實(shí)際應(yīng)用。對此高志強(qiáng)教授將以上兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行線性處理，提出了線性自抗擾控制器（Linear Active disturbance rejection controller,LADRC），并利用帶寬來確定控制器的參數(shù)，使系統(tǒng)更加適合實(shí)際應(yīng)用[9，10]。

本文針對真空感應(yīng)爐的溫度控制問題，設(shè)計(jì)了線性自抗擾控制器。運(yùn)用勞斯判據(jù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并用雙軌跡法分析了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定域，使觀測器能更好的估計(jì)總擾動(dòng)。最后，用MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)證明了系統(tǒng)的魯棒性和抗干擾能力。

2 真空感應(yīng)爐工藝

真空感應(yīng)爐是一種將金屬置于真空環(huán)境中利用高溫加熱進(jìn)行冶煉及提純的熔煉設(shè)備[11]。不同金屬元素的揮發(fā)溫度不同，因此熔煉的溫度直接影響著合金的成分。經(jīng)過真空感應(yīng)爐熱處理的金屬材料可提高韌性、耐腐蝕性等多種性能。真空感應(yīng)爐分為電源輸入系統(tǒng)、真空系統(tǒng)以及爐體三個(gè)部分。真空條件下的碳元素具有很強(qiáng)的脫氧能力，這就避免了使用金屬脫氧劑進(jìn)行脫氧產(chǎn)生的污染問題。真空感應(yīng)爐中的坩堝封閉在真空室中，利用高頻電源通過感應(yīng)線圈并在感應(yīng)線圈內(nèi)部產(chǎn)生交變磁場，線圈內(nèi)部的被加熱物料的表面就會產(chǎn)生渦流，以達(dá)到對物料加熱的效果。感應(yīng)加熱的過程分為電磁感應(yīng)過程和熱傳導(dǎo)過程。其中電磁感應(yīng)過程是主要的加熱方式。熱傳導(dǎo)過程中所需要的能量實(shí)際上是由電磁感應(yīng)過程中所產(chǎn)生的渦流功率提供的[12]。

感應(yīng)加熱原理圖和高頻真空感應(yīng)爐實(shí)物圖如下所示。

圖1 感應(yīng)加熱原理圖

圖2 高頻真空感應(yīng)爐實(shí)物圖

2.1 真空感應(yīng)爐控制系統(tǒng)模型

真空感應(yīng)爐在控制熔煉的過程中，控制對象為感應(yīng)爐，執(zhí)行機(jī)構(gòu)是高頻電源，用熱電偶測溫的方法來測量坩堝內(nèi)溫度。控制系統(tǒng)的輸入輸出值均為溫度。其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3 所示。由于系統(tǒng)的時(shí)滯性、非線性以及不確定性，很難建立精確的數(shù)學(xué)模型。在實(shí)際工程中，基于其“溫度飛升”曲線，可以將感應(yīng)爐近似看作是帶有純滯后環(huán)節(jié)的一階系統(tǒng)[13]，其傳遞函數(shù)為：

圖3 真空感應(yīng)爐的溫度控制結(jié)構(gòu)圖

式中 G（s）——傳遞函數(shù)；

K——控制對象的靜態(tài)增益；

T——控制對象的時(shí)間常數(shù)；

τ——為控制對象的純滯后時(shí)間；

s——頻域變量。

2.2 一階時(shí)滯系統(tǒng)的模型辨識

本實(shí)驗(yàn)在真空感應(yīng)熱處理爐上進(jìn)行了數(shù)據(jù)采集，當(dāng)頻率為5141Hz 時(shí)，每間隔30s 記錄一次溫度的變化情況。將采集到的數(shù)據(jù)，用最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)辨識，擬合度達(dá)到93.93%，擬合結(jié)果如圖4 所示。

圖4 系統(tǒng)模型辨識

3 線性自抗擾控制系統(tǒng)

線性自抗擾控制是在自抗擾控制的基礎(chǔ)上，將自抗擾控制的主要環(huán)節(jié)進(jìn)行線性化處理后得到的。LADRC 具有結(jié)構(gòu)簡單、易于分析和待整定參數(shù)較少的優(yōu)點(diǎn)。LADRC 的核心環(huán)節(jié)為線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（LESO），是用來對系統(tǒng)總擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并在線補(bǔ)償。如圖5 所示，為一階線性自抗擾控制的結(jié)構(gòu)框圖。

對于具有時(shí)滯系統(tǒng)的線性自抗擾控制，先將式(1)中的時(shí)滯環(huán)節(jié)近似為1[8，14]，不含時(shí)滯的一階被控對象可用微分方程表示為：

圖5 一階線性自抗擾結(jié)構(gòu)框圖

式中 y（t）、u（t）——系統(tǒng)的輸入量和輸出量

d——由于物料加熱產(chǎn)生的輻射損失[12]；

f（·）——系統(tǒng)的總擾動(dòng)；

b——系統(tǒng)的時(shí)滯增益[14]。

當(dāng)b 和b0近似相等時(shí)，原系統(tǒng)有可以簡化為式（3）所示的串聯(lián)積分的形式：

其中一階自抗擾中的虛擬控制量u0可選擇為比例控制，即

無時(shí)滯系統(tǒng)的一階慣性環(huán)節(jié),可表示為：

若將慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程,可表示為：

式中 x1——被控系統(tǒng)溫度；

x2——加熱過程中由于物料產(chǎn)生的熱輻射而導(dǎo)致的輻射損失。

為了方便分析，式（6）也可以用矩陣形式表示為：

可將相應(yīng)的二階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（LESO）設(shè)計(jì)為式（7），用來估計(jì)被控系統(tǒng)的總擾動(dòng)：

L=［β1β2］T——LESO 的觀測器增益；

b0——時(shí)滯增益b 的估計(jì)值。

可將線性誤差反饋控制率（LSEF）設(shè)計(jì)為：

綜上所述，線性自抗擾的可調(diào)參數(shù)有kp，ω0和b0。而且不需要知道擾動(dòng)和被控對象的精確模型，很大程度上減少了控制系統(tǒng)中參數(shù)調(diào)節(jié)的時(shí)間。用帶寬法對以上參數(shù)進(jìn)行整定[15，16]，則L=[2ω0ω02]，kp=ωc，ωc是控制器帶寬，根據(jù)觀測器設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)公式ω0=3ωc～5ωc[17]。故只需要對ωc進(jìn)行選取。根據(jù)試湊法，當(dāng)ω0=3ωc時(shí)，被控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能最佳。

4 穩(wěn)定性分析

在實(shí)驗(yàn)室真空感應(yīng)熱處理爐收集數(shù)據(jù)，并用MATLAB 進(jìn)行系統(tǒng)辨識，得到控制對象的一階時(shí)滯系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

為了方便穩(wěn)定性分析，將圖4 轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)的形式，如圖6 所示：

圖6 一階線性自抗擾傳遞函數(shù)框圖

其中R（s）是參考信號，Y（s）是輸出信號，D（s）是擾動(dòng)信號，U（s）是控制量信號，Gp（s）是被控對象模型，H（s）和C（s）為控制器的待定項(xiàng)。由圖5可知：

將式（4）代入式（9）做拉式變換，再對式（8）做拉式變換，可得控制器參數(shù)H（s）和C（s）分別為：

可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

將ωc代入式（14）可得系統(tǒng)的特征方程為：

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得勞斯表，如表1 所示。

表1 勞斯表

由勞斯判據(jù)可知，勞斯表中左端第一列元素全為正[18]，則可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

5 仿真分析

5.1 穩(wěn)定域邊界分析

對于一階時(shí)滯系統(tǒng)，可用雙軌跡法對參數(shù)穩(wěn)定域進(jìn)行分析[17]。對于一階時(shí)滯系統(tǒng)的一階線性自抗擾控制的穩(wěn)定域分析定理如下：當(dāng)對象參數(shù)中的穩(wěn)態(tài)增益K、時(shí)間常數(shù)T1、滯后時(shí)間τ、以及觀測器帶寬和控制器帶寬之比k 給定時(shí)，系統(tǒng)滿足存在一個(gè)正實(shí)根，且開環(huán)傳遞函數(shù)無右半平面極點(diǎn)時(shí)，若滿足則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且穩(wěn)定域?yàn)棣?{ωc｜ξ1-ξ2＞0，τ，T1，K，k}。

式中 ξ1、ξ2——L（jωi）和-ejωτ在交點(diǎn)處的相；

ωi——-ejωτ的交點(diǎn)頻率。

可得到如下方程：

當(dāng)其他參數(shù)給定時(shí)，可從式（13）看出方程的未知量只與ωc有關(guān)，穩(wěn)定域?yàn)棣龋剑?，ωc*）。從式（10）可知K=13.5，T1=6.5，τ=3.1，取k=5。由式（11）可得ωc*=0.3。觀察ωc在穩(wěn)定域內(nèi)的單位階躍響應(yīng)。

圖7 可以看出，輸入為階躍響應(yīng)時(shí)，ωc只要選?。?，0.3）的范圍內(nèi)都能保證系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)ωc=0.1時(shí)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間超過了350 秒；當(dāng)ωc=0.2 時(shí)在100s 左右到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)ωc=0.27 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定到了1.04 左右；故選取ωc=0.25 時(shí)，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間短，響應(yīng)速度更快。

圖7 ωc 的選取

5.2 跟蹤性能分析

用Z-N 法對PID 控制器進(jìn)行參數(shù)整定，選定LADRC 中的參數(shù)為ωc=0.25，在此條件下比較PID控制和LADRC 控制的魯棒性。在系統(tǒng)運(yùn)行300s時(shí)加入脈沖擾動(dòng)模擬由于加熱產(chǎn)生的熱輻射而導(dǎo)致的輻射損失，比較兩種控制下的抗干擾能力。由圖8 可知，LADRC 相較與PID 控制有更快的調(diào)節(jié)時(shí)間。如圖9 所示當(dāng)系統(tǒng)存在擾動(dòng)時(shí)，LADRC 中有LESO 對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)補(bǔ)償。如圖10 所示，擴(kuò)張狀態(tài)的估計(jì)值接近觀測值，表示線性自抗擾控制器對包含擾動(dòng)在內(nèi)的擴(kuò)張狀態(tài)進(jìn)行了有效的估計(jì)，使系統(tǒng)的抗干擾能力更強(qiáng)。仿真結(jié)果表明，LADRC 系統(tǒng)比PID 系統(tǒng)有更強(qiáng)的魯棒性。

圖9 抗干擾能力分析

圖10 擴(kuò)張狀態(tài)曲線

6 結(jié)論

通過對實(shí)驗(yàn)平臺的數(shù)據(jù)采集，利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)辨識，得到了真空感應(yīng)爐的一階時(shí)滯模型。對于模型中出現(xiàn)的時(shí)滯性、不確定性，提出了真空感應(yīng)爐的線性自抗擾控制。同時(shí)用雙軌跡法確定了穩(wěn)定域邊界，并用勞斯判據(jù)確定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在SIMULINK 仿真實(shí)驗(yàn)中，分別進(jìn)行了設(shè)定值跟蹤實(shí)驗(yàn)，以及抗干擾實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:LDARC 比PID 控制抗干擾能力更強(qiáng)，魯棒性更強(qiáng)。由于LADRC 中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器能對系統(tǒng)的狀態(tài)以及擾動(dòng)等不確定因素進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并補(bǔ)償；并且LADRC 中需要整定的參數(shù)只有ωc，這使LADRC 更利于實(shí)際的工程應(yīng)用。