李小平, 黃 蓉, 李輝來

(1.湘南學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院, 湖南 郴州 423000； 2.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 天津 300387；3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

傳染病是危害人類健康的重要因素之一, 了解寄生蟲與宿主的相互關(guān)系是了解寄生蟲病發(fā)生、發(fā)展的基礎(chǔ), 也是人類防治寄生蟲病的重要依據(jù).文獻(xiàn)[1-10]從不同角度研究了傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為, 這些研究對(duì)制定更有效的傳染病預(yù)防控制策略具有重要意義.文獻(xiàn)[3,5,11-14]的實(shí)驗(yàn)和觀察研究表明, 寄生蟲可降低宿主密度, 甚至可導(dǎo)致宿主種群滅絕.

文獻(xiàn)[3]考慮了如下具有水平傳播的微寄生蟲數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中：x(t)和y(t)分別為t時(shí)刻未感染(易感)和受感染(染病者)宿主的密度；r為未感染宿主的平均增長(zhǎng)率；f為受感染宿主的相對(duì)繁殖率；k為宿主群體的環(huán)境容納量；a表示與寄生蟲無關(guān)的宿主自然死亡率;b表示由寄生蟲疾病引起的死亡率；β為感染的比例系數(shù).模型(1)預(yù)測(cè)了受感染宿主和未受感染宿主穩(wěn)定平衡的存在, 并預(yù)測(cè)種群以單調(diào)或者阻尼振蕩的方式接近這種平衡.但該模型忽略了宿主免疫和恢復(fù)的可能性.

Ebert等[3]研究表明, 宿主種群密度隨宿主繁殖率下降而下降, 并且預(yù)測(cè)具有垂直傳播的寄生蟲在降低宿主密度方面比只具有水平傳播的寄生蟲明顯, 在繁殖力相同的情況下, 具有垂直傳播的寄生蟲更不易導(dǎo)致宿主滅絕.但文獻(xiàn)[3]未對(duì)垂直傳播的情形建立確定性模型.基于此, 本文通過假設(shè)受感染的宿主繁殖也遵循Logistic的生長(zhǎng)規(guī)律對(duì)Ebert模型進(jìn)行修正, 研究一種具有垂直傳播的宿主-寄生蟲傳染病模型:

(2)

模型(2)中的參數(shù)都是非負(fù)的.在該模型中, 假設(shè)總宿主種群N由兩個(gè)倉室組成： 一個(gè)是未感染的宿主類別, 用S表示； 另一個(gè)是寄生蟲感染的宿主類別, 用I表示.因此,N=S+I.本文做如下假設(shè)：

2) 參數(shù)d1為與寄生蟲無關(guān)的宿主自然死亡率；ε為由寄生蟲引起的超額死亡率；β為寄生蟲感染系數(shù).

1 可行域和平衡點(diǎn)

首先, 將模型(2)的兩個(gè)方程相加, 得

定理1假設(shè)di

定理2假設(shè)ω=r1d2-r2d1, 當(dāng)下列條件至少有一個(gè)成立時(shí)：

則模型(2)有唯一的正平衡點(diǎn)E*=(S*,I*), 這里：

證明： 由模型(2)知其平衡點(diǎn)滿足下列方程組：

(3)

如果r1-r2+Mβ≠0, 則方程組(3)有唯一的解(S*,I*)：

(4)

(5)

2 穩(wěn)定性分析與基本再生數(shù)

2.1 3個(gè)平凡邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

模型(2)的Jacobi矩陣為

(6)

可得點(diǎn)E0=(0,0)處的Jacobi矩陣為

由定理1的假設(shè)r1-d1>0,r2-d2>0知,E0=(0,0)是一個(gè)不穩(wěn)定的點(diǎn).

由式(6)可得點(diǎn)E1處的Jacobi矩陣為

(7)

同理可得

根據(jù)上述討論可得：

定理3對(duì)于模型(2), 有如下結(jié)論：

1)E0是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；

2.2 正平衡點(diǎn)E*的局部穩(wěn)定性

模型(2)在正平衡點(diǎn)E*處的Jacobi矩陣為

2.3 全局穩(wěn)定性分析

則有

由Bendixson-Dulac理論可排除模型(2)存在極限環(huán), 從而結(jié)論成立.

2.4 基本再生數(shù)

從而得基本再生數(shù)

(8)

定理6如果R0<1, 則E1是局部漸近穩(wěn)定的； 如果R0>1, 則E1是不穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬

下面對(duì)模型(2)三個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行數(shù)值模擬, 并給出相應(yīng)的時(shí)間序列圖, 相關(guān)數(shù)據(jù)列于表1.

表1 模型(2)的參數(shù)信息

圖1 β=0.012時(shí)模型(2)的時(shí)間變化趨勢(shì)Fig.1 Time variation trend of model (2) when β=0.012

圖2 β=0.055時(shí)模型(2)的時(shí)間變化趨勢(shì)Fig.2 Time variation trend of model (2) when β=0.055

圖3 β=0.035時(shí)模型(2)的時(shí)間變化趨勢(shì)Fig.3 Time variation trend of model (2) when β=0.035

4 結(jié) 論

1) Ebert等[3]研究忽略了宿主沒有免疫和不可恢復(fù), 考慮了一種具有水平傳播的微寄生蟲傳播模型, 發(fā)現(xiàn)寄生蟲可以降低宿主密度, 通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)宿主與寄生蟲可能同時(shí)絕滅, 并認(rèn)為具有垂直傳播的寄生蟲比水平傳播的寄生蟲更不易導(dǎo)致宿主滅絕.本文修正了Ebert等所建的數(shù)學(xué)模型, 假設(shè)受感染的宿主繁殖也遵循Logistic的生長(zhǎng)規(guī)律, 研究了一類具有垂直傳播的寄生蟲傳染病模型, 結(jié)果表明, 宿主-寄生蟲關(guān)系存在4種可能性： 未感染的宿主和受感染的宿主同時(shí)滅絕； 未感染的宿主滅絕； 受感染的宿主滅絕； 未感染的宿主和受感染的宿主共存.

3) 通過數(shù)值模擬對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證, 結(jié)果表明, 具有垂直傳播的寄生蟲可降低宿主的密度, 但不會(huì)導(dǎo)致宿主種群滅絕, 與文獻(xiàn)[3]預(yù)測(cè)的結(jié)論一致.