朱永

平面幾何問題一直是中考的熱點，一般從大家常見的幾何圖形中提出問題，并通過對問題的探索，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律.題目新穎，難度較大.因此，在平時學習中，如果能對幾何題進行適度挖掘，嘗試一題多解的訓練，往往可以獲得一些有價值的解法，進而提高自己的推理和探究能力.本文就一道平面幾何題，進行多角度分析，給出多種解法，希望對同學們有所幫助.

題目：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于F，求證：AE=EF.

思路一：運用截取法，構(gòu)造結(jié)論中兩條線段所需的全等三角形，通過已知條件轉(zhuǎn)化出全等三角形所需的判定條件，由全等三角形的對應(yīng)邊相等證出結(jié)論.

解法一：在AB上取一點M，使得AM=CE，連接EM.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=90°，AB=BC，∠DCG=90°.

∴∠MAE+∠AEB=90°.

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°.

∴∠MAE=∠CEF.

∵AB=BC，AM=CE，

∴BM=BE.

∴∠BME=∠BEM=45°.

∴∠AME=135°.

∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，

∴∠DCF=45°.

∴∠ECF=135°.

在△AME和△ECF中，∠MAE=∠CEF，AM=EC，∠AME=∠ECF，

∴△AME≌△ECF（ASA）.

∴AE=EF.

思路二：運用延長法，構(gòu)造全等三角形和平行四邊形，利用等量代換證出結(jié)論.

解法二：延長AB至點M，使得BM=BE，連接EM、CM.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC.

在△ABE與△CBM中，AB=CB，∠ABE=∠CBM=90°，BE=BM，

∴△ABE≌△CBM（SAS）.

∴AE=CM，∠AEB=∠CMB.

∵∠MBC=90°，BM=BE，

∴∠BEM=45°.

∴∠MEC=135°.

∵∠DCG=90°，CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°.

∴∠FCE=135°.

∵∠FCE=∠MEC=135°，

∴ME∥CF.

∵∠ECM=90°-∠CMB，∠FEC=90°-∠AEB，

∴∠ECM=∠FEC.

∴EF∥MC.

∴四邊形MEFC為平行四邊形.

∴CM=EF.

∵CM=EF，AE=CM，

∴AE=EF.

思路三：運用四點共圓，得到A、E、C、F四點在以AF為直徑的圓上，利用同弧所對的圓周角相等，得出△AEF為等腰直角三角形，從而證出結(jié)論.

解法三：連接AC、AF.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°.

∵∠DCG=90°，CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°.

∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=45°+45°=90°.

∴∠ACF=∠AEF=90°.

∴A、E、C、F四點在以AF為直徑的圓上.

∵AE=AE，

∴∠AFE=∠ACE=45°.

∴△AEF為等腰直角三角形.

∴AE=EF.

一道多解有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，能夠使學生在面對問題時快速找到解決問題的切入口.因此，教師在進行教學過程中，要加強一題多解的訓練，提高學生的解題效率.