李海超 龐福振 李玉慧 繆旭弘

摘要：提出一種半解析法來(lái)分析圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性。將圓柱殼殼結(jié)構(gòu)在軸向方向分解為若干殼段，用沿軸向的Jaeobi多項(xiàng)式和沿周向的Fourier級(jí)數(shù)來(lái)表示各個(gè)殼段的位移函數(shù)，并采用罰參數(shù)法對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)的邊界條件和殼段問(wèn)的連續(xù)性條件進(jìn)行模擬;最后，基于Rayleigh-Ritz法求得圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)頻率。研究表明，該方法具有較好的收斂性，與公開發(fā)表文獻(xiàn)一致性較高，研究成果可為復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析提供數(shù)據(jù)積累和方法依據(jù)。

關(guān)鍵詞：自由振動(dòng);圓柱殼結(jié)構(gòu);彈簧參數(shù);半解析法

中圖分類號(hào)：0326;TB123 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）01-0056-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.006

引言

圓柱殼結(jié)構(gòu)因具有良好的結(jié)構(gòu)性能，在民用機(jī)械、船舶、高鐵、航空航天等各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。因此，開展圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析研究，獲取圓柱殼結(jié)構(gòu)復(fù)雜邊界條件下典型特征頻率，對(duì)指導(dǎo)相應(yīng)的工程應(yīng)用具有重要的意義。在此研究方面，孫述鵬通過(guò)解析分析與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的手段，研究了轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)固有特性和響應(yīng)特性。周海軍通過(guò)引人波傳播方法，解決了圓柱殼彈性支撐邊界自由振動(dòng)的求解問(wèn)題。sheng等建立了一個(gè)理論模型來(lái)研究加熱功能梯度圓柱殼在熱環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性和非線性振動(dòng)。Xing等提出了Donnell-Mushtari殼理論圓柱殼自由振動(dòng)的精確解。Wang等基于改進(jìn)傅里葉方法，開展了中等厚度開口圓柱殼自由振動(dòng)特性分析。李文達(dá)等基于Love殼體理論，對(duì)功能梯度圓柱殼自由振動(dòng)行波特性及邊界約束影響進(jìn)行了分析。Lee和Kwak基于Ray-leigh-Ritz法開展了一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析，并將不同理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，總結(jié)了各個(gè)理論方法的優(yōu)缺點(diǎn)。Ni等基于哈密頓原理開展了一般邊界條件下功能梯度圓柱殼自由振動(dòng)特性分析。陳旭東等采用動(dòng)力剛度法開展了中厚圓柱殼自由振動(dòng)特性分析。

由以上分析可知，現(xiàn)有文獻(xiàn)基于數(shù)值預(yù)報(bào)法、改進(jìn)傅里葉法、Rayleigh-Ritz法以及哈密頓原理等實(shí)現(xiàn)了圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析，但尚未有統(tǒng)一的求解公式進(jìn)行復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性分析。為此，本文基于Jacobi-Ritz法提出針對(duì)復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性的統(tǒng)一求解公式，其中位移函數(shù)由軸向方向的Jacobi多項(xiàng)式和周向方向的傅里葉級(jí)數(shù)表示，邊界條件和連續(xù)性條件由彈簧剛度值來(lái)模擬。因此，本文在求解圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)邊界條件可以任意選取，且統(tǒng)一形式的Jacobi多項(xiàng)式較改進(jìn)傅里葉法、Ray-leigh-Ritz法等更容易選取位移函數(shù)，更有利于建立統(tǒng)一的求解方法。

1理論方法

1.1圓柱殼結(jié)構(gòu)幾何模型

如圖1所示，圓柱殼結(jié)構(gòu)是由母線ab繞軸Ox旋轉(zhuǎn)而成，母線ab長(zhǎng)為L(zhǎng)，厚度為h，母線距旋轉(zhuǎn)軸的距離為R，假定圓柱殼結(jié)構(gòu)由均質(zhì)和各向同性材料組成。

由表2可知，隨著子結(jié)構(gòu)劃分殼段數(shù)的不斷增加，圓柱殼結(jié)構(gòu)頻率逐漸趨于收斂;同時(shí)，當(dāng)子結(jié)構(gòu)分段數(shù)等于5時(shí)，圓柱殼結(jié)構(gòu)頻率已具有較高的精度，此后繼續(xù)增加子結(jié)構(gòu)分段數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響較小。

2.1.3Jacobi多項(xiàng)式參數(shù)的影響

圓柱殼材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)與圖2相同;結(jié)構(gòu)分段數(shù)H=5，M=8，以a=β=0為基準(zhǔn)來(lái)衡量剛性固定邊界條件下不同Jacobi多項(xiàng)式參數(shù)取值對(duì)計(jì)算結(jié)果影響的相對(duì)誤差百分比。

由圖3可知，在其他參數(shù)一定條件下，Jacobi多項(xiàng)式參數(shù)a，β對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響較小，不同Jacobi多項(xiàng)式參數(shù)下的相對(duì)誤差不大于2×10^-6，對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響可忽略不計(jì)。說(shuō)明Jacobi多項(xiàng)式可在允許范圍內(nèi)任意取值，也進(jìn)一步證實(shí)了本文提出的統(tǒng)一Jacobi多項(xiàng)式是切實(shí)可行的。

2.1.4最大容許函數(shù)取值的影響

圓柱殼材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)與圖2相同;結(jié)構(gòu)分段數(shù)H=5，a=β=0。剛性固定邊界條件下最大容許函數(shù)對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響如圖4所示。

由圖4可知，當(dāng)最大容許函數(shù)M不小于4時(shí)，計(jì)算結(jié)果已趨于穩(wěn)定，此后最大容許函數(shù)M的增加對(duì)增加計(jì)算精度影響較小，無(wú)特殊說(shuō)明情況下本文選取M=8。

2.2計(jì)算結(jié)果的有效性驗(yàn)證

前文已驗(yàn)證本文方法收斂性，為將本文方法應(yīng)用于復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析，需開展本文方法的有效性驗(yàn)證，將一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率與文獻(xiàn)[13]進(jìn)行比對(duì)。圓柱殼結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)取值等與圖2相同，對(duì)比結(jié)果如表3所示。

由表3可知，本文方法與文獻(xiàn)[13]具有較高的一致性，說(shuō)明本文方法可用于一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析。實(shí)際工程應(yīng)用中，圓柱殼結(jié)構(gòu)邊界條件往往更加復(fù)雜，為將圓柱殼結(jié)構(gòu)邊界條件擴(kuò)展到復(fù)雜邊界條件，需進(jìn)行彈性邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)有效性驗(yàn)證。彈性邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率對(duì)比如表4所示。

由表4可知，彈性邊界條件下，本文方法與文獻(xiàn)[13]同樣具有較高的一致性，由此可將本文方法擴(kuò)展到復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析。彈性邊界條件下本文方法的誤差主要來(lái)自表1彈性剛度值大小的選取，當(dāng)選取彈性范圍內(nèi)更合適的彈簧剛度值，可使計(jì)算誤差進(jìn)一步減小。同時(shí)，由表4可知，隨著周向波數(shù)n的增大，不同彈性邊界條件對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性影響逐漸減小。

2.3復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析

基于上述研究，開展復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性研究，為復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析提供數(shù)據(jù)參考。復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性如表5所示。

由表5可知，不同邊界條件對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響存在較大差異。同時(shí)，同一周向模態(tài)下，軸向模態(tài)數(shù)越大，圓柱殼結(jié)構(gòu)固有頻率越高。

為探究圓柱殼結(jié)構(gòu)尺度參數(shù)對(duì)其自由振動(dòng)特性的影響規(guī)律，開展不同長(zhǎng)度半徑比值下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性研究。圓柱殼材料參數(shù)同圖2，結(jié)構(gòu)分段數(shù)H=5，M=8，a=β=0，不同長(zhǎng)度半徑比值下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性如圖5所示。

由圖5可知，同一周向和軸向波數(shù)下，圓柱殼長(zhǎng)度與半徑的比值越大，自由振動(dòng)頻率越小;同一周向波數(shù)下，圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率隨軸向波數(shù)的增加逐漸增大。

3結(jié)論

本文基于Jacobi-Ritz法提出統(tǒng)一的求解公式，開展了任意邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析。通過(guò)本文研究，可得如下主要結(jié)論：

1.圓柱殼結(jié)構(gòu)收斂性與彈簧剛度值大小、殼段數(shù)、Jacobi參數(shù)及最大容許函數(shù)選取等有關(guān)。當(dāng)彈簧剛度值K≥10³E時(shí)可視為剛性邊界條件;當(dāng)彈簧剛度值K=0時(shí)可視為自由邊界條件;當(dāng)彈簧剛度值在10^-4E≤K≤10^-2E范圍內(nèi)時(shí)可視為彈性邊界條件。殼段數(shù)劃分越多，本文方法求解精度越高，計(jì)及求解效率等因素，殼段數(shù)劃分不宜過(guò)大;Jacobi多項(xiàng)式參數(shù)對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率影響較小，可忽略不計(jì);最大容許函數(shù)M越大，計(jì)算精度越高。

2.一般邊界條件下，基于Jacobi-Ritz法的圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析結(jié)果與文獻(xiàn)[13]計(jì)算結(jié)果吻合較好，說(shuō)明本文方法可用于復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析。

3.給出了復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性規(guī)律，為圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析提供了數(shù)據(jù)積累及方法依據(jù)。

4.同一周向和軸向波數(shù)下，圓柱殼長(zhǎng)度與半徑的比值越大，自由振動(dòng)頻率越小;同一周向波數(shù)下，圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率隨軸向波數(shù)的增加逐漸增大。