周 合，張 帆，黃攀峰

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072; 2. 西北工業(yè)大學(xué)智能機(jī)器人研究中心，西安 710072)

0 引 言

空間繩系編隊(duì)[1]通過系繩將多顆衛(wèi)星連接起來形成特定結(jié)構(gòu)，不僅具有傳統(tǒng)多航天器系統(tǒng)成本低、性能好、可靠性高、靈活性強(qiáng)的特點(diǎn)，而且具有在精確定位的同時(shí)可降低燃料消耗、提高壽命等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于對地觀測和對地定向等空間任務(wù)中。

空間繩系編隊(duì)的穩(wěn)定展開是編隊(duì)后續(xù)運(yùn)行的重要保障，對其完成特定空間任務(wù)具有重要意義。編隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定展開的難點(diǎn)[2]包括：1)合理的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立；2)有效的穩(wěn)定展開控制方法的設(shè)計(jì)?，F(xiàn)有的關(guān)于空間繩系編隊(duì)的文獻(xiàn)表明：對系繩的處理情況極大地影響了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的精度，同時(shí)會影響編隊(duì)穩(wěn)定展開的控制效果[3]。

以往對空間繩系編隊(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的研究中，除了少量文獻(xiàn)將衛(wèi)星視為剛體[4]、考慮其姿態(tài)影響外，多數(shù)文獻(xiàn)均將衛(wèi)星做質(zhì)點(diǎn)處理。將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，歸納分析主要的建模方法有以下三種：1)“珠點(diǎn)”模型[5]，僅考慮系繩拉力[6]，或?qū)⑾道K視為多個(gè)由無質(zhì)量彈性阻尼段連接而成的質(zhì)點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律[7-8]推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型；2)基于Lagrange體系下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[9-10]，忽略了系繩的影響；3)基于有限元，采用了絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[11]進(jìn)行建模。采用拉格朗日法建模時(shí)，模型整齊簡潔，但失去了系統(tǒng)的彈性特性；采用牛頓法和有限元法時(shí)，為了提高建模的精度需要增加系繩中的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，而質(zhì)點(diǎn)過多時(shí)又會增加模型的難度和計(jì)算量。針對編隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定展開控制的研究，主要體現(xiàn)在：Williams[2,12]研究了平面三角構(gòu)型繩系編隊(duì)的最優(yōu)展開和回收控制；Kumar等[13]采用速率控制對空間繩系編隊(duì)的展開過程進(jìn)行了分析。

同時(shí)，分層滑?？刂芠14]在空間繩系系統(tǒng)中已有應(yīng)用。Ma等[15]研究了輸入飽和下多衛(wèi)星繩系系統(tǒng)的自適應(yīng)分層滑?？刂疲籛ang等[16]基于二階分層滑模研究了一種欠驅(qū)動(dòng)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定；王秉亨等[17]基于分層滑模設(shè)計(jì)了繩系拖曳變軌的欠驅(qū)動(dòng)張力控制律；且仿真結(jié)果均表明控制效果良好。

針對以往空間繩系編隊(duì)動(dòng)力學(xué)建模中的不足，以及編隊(duì)穩(wěn)定展開控制這一難題。本文首先在傳統(tǒng)Lagrange動(dòng)力學(xué)建模的基礎(chǔ)上，考慮了系繩中的彈性勢能，既保留了系統(tǒng)的彈性特性，又使整體計(jì)算量保留在了可接受的范圍內(nèi)。其次根據(jù)得到的動(dòng)力學(xué)模型，對繩系編隊(duì)穩(wěn)定自旋時(shí)的自轉(zhuǎn)角速度進(jìn)行了定量分析，為之后展開控制時(shí)自轉(zhuǎn)角速度的取值提供了理論依據(jù)。最后，由于編隊(duì)系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)特性，本文對其展開過程采用了分層滑?？刂品椒?，實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)展開。

1 動(dòng)力學(xué)建模

1.1 系統(tǒng)描述及建模假設(shè)

本文所研究的空間繩系編隊(duì)是由三根系繩和三顆衛(wèi)星相隔串聯(lián)而成的平面三角形封閉系統(tǒng)，系繩的長度從幾百米到幾千米不等。該系統(tǒng)在空間運(yùn)行時(shí)，除了整體繞地球的公轉(zhuǎn)外，還會繞自身質(zhì)心自轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生穩(wěn)定的空間旋轉(zhuǎn)平面定向。建立該編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，為了簡化并保證模型的準(zhǔn)確程度，采取如下假設(shè)：

1)相對于系繩長度，衛(wèi)星尺寸可忽略不計(jì)，將三顆衛(wèi)星視為質(zhì)量相等的質(zhì)點(diǎn)。

2)三根系繩原始長度相等，質(zhì)量相對于衛(wèi)星可忽略不計(jì)，不考慮系繩阻尼和彎曲變形等，系繩只受拉不受壓，只考慮其中的彈性勢能。

3)除控制力外，整個(gè)系統(tǒng)只受到地球的萬有引力，忽略太陽光壓、電磁力等外力。

4)整個(gè)系統(tǒng)作用在開普勒圓軌道上，旋轉(zhuǎn)角速度為ω。

5)只考慮編隊(duì)系統(tǒng)的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

1.2 坐標(biāo)系定義

為建立編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，首先給定如下的相關(guān)坐標(biāo)系定義，如圖1所示。其中：E-XYZ為地心慣性坐標(biāo)系；o-xyz為軌道坐標(biāo)系，原點(diǎn)o始終位于系統(tǒng)質(zhì)心，x軸始終沿著地心指向質(zhì)心的方向，y軸在軌道面內(nèi)垂直x軸并指向系統(tǒng)前進(jìn)的方向，z軸由右手坐標(biāo)準(zhǔn)則確定。

編隊(duì)中相關(guān)的物理量定義如下：三顆衛(wèi)星質(zhì)量分別為m1,m2,m3，且m1=m2=m3，系統(tǒng)總質(zhì)量為m=m1+m2+m3。三根系繩長度分別為l1,l2,l3。定義自轉(zhuǎn)角θ1,θ2分別是系繩1、系繩2與軌道坐標(biāo)系x軸正向的夾角。

圖1 編隊(duì)相關(guān)參考坐標(biāo)系示意圖Fig.1 The formation’s reference coordinate systems

1.3 動(dòng)力學(xué)模型

空間繩系編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)始終位于軌道面內(nèi)，因此只考慮系統(tǒng)在o-xy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。選取繩長l1,l2，自轉(zhuǎn)角θ1,θ2為廣義坐標(biāo)。衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)在軌道坐標(biāo)系中的位置矢量ri(i=1,2,3),可表示為：

(1)

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)，可得到用廣義坐標(biāo)表示的衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)分別為：

(3)

(4)

(5)

編隊(duì)的動(dòng)能包括三顆衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，可具體表示為：

(6)

式中：R0為地心指向質(zhì)心的位置矢量。將式(3)、式(4)和式(5)代入式(6)，整理可得編隊(duì)詳細(xì)的動(dòng)能公式為：

ω)]sin(θ1-θ2)}

(7)

編隊(duì)的勢能可表示為：V=V1+V2。其中：V1表示系統(tǒng)的重力勢能，V2表示系繩的彈性勢能。重力勢能V1可表示為：

(8)

式中：μ為引力常數(shù)。對1/|Ri|進(jìn)行二項(xiàng)式展開并忽略高階項(xiàng)[18]可得：

(9)

由圓軌道特性可知：

μ=ω2R03

(10)

將式(9)和式(10)代入式(8)，整理可得詳細(xì)的系統(tǒng)重力勢能公式為：

cos(θ1-θ2)]}

(11)

由于系繩具有受拉不受壓的特性，根據(jù)胡克定律，編隊(duì)中系繩的彈性勢能V2可表示:

(12)

式中：EA為彈性系數(shù)。l0為系繩未形變時(shí)的長度;系數(shù)ei可具體表示為：

(13)

l3可表示為：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：qi=[l1,l2,θ1,θ2]T表示廣義坐標(biāo)，Qqi=[Ql1,Ql2,Qθ1,Qθ2]T表示廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力，由系統(tǒng)所受控制力產(chǎn)生。

2 動(dòng)力學(xué)分析

繩系編隊(duì)完全展開時(shí)構(gòu)型穩(wěn)定是執(zhí)行空間任務(wù)的前提，文獻(xiàn)[2]指出：三角構(gòu)型編隊(duì)可以在空間自旋穩(wěn)定。基于此本研究詳細(xì)分析了編隊(duì)自旋穩(wěn)定時(shí)需要滿足的條件，具體就是自旋角速度θ′對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，為后續(xù)的穩(wěn)定展開控制提供理論依據(jù)。

2.1 θ′對編隊(duì)穩(wěn)定性影響

系繩具有受拉不受壓的特性，編隊(duì)運(yùn)行時(shí)可以通過自身的旋轉(zhuǎn)，使系繩拉力與自轉(zhuǎn)的離心力平衡，從而保持編隊(duì)構(gòu)型的穩(wěn)定。自轉(zhuǎn)離心力由θ′決定，而系繩拉力與系繩的伸長量有關(guān)，只有當(dāng)系繩實(shí)際長度大于原始長度時(shí)，系繩中才會產(chǎn)生拉力。

為了得到θ′的值對編隊(duì)穩(wěn)定性的影響，令Qqi=0，各狀態(tài)量取為理想值，即：θ″1=θ″2=0，θ′1=θ′2=θ′，L″1=L″2=0，L′1=L′2=0，代入式(16)后化簡可得式(17)。

編隊(duì)中系繩長度從幾百米到幾千米不等，因此重力梯度對編隊(duì)的影響不可忽略。編隊(duì)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，系繩拉力與自轉(zhuǎn)的離心力平衡，又由于重力梯度影響，當(dāng)系繩方向與x軸平行時(shí)，系繩兩端衛(wèi)星產(chǎn)生的重力梯度達(dá)到最大，系繩中拉力達(dá)到最大，系繩伸長量最大；當(dāng)系繩方向與y軸平行時(shí)，系繩兩端衛(wèi)星產(chǎn)生的重力梯度達(dá)到最小，系繩中拉力達(dá)到最小，系繩伸長量最小。由于編隊(duì)構(gòu)型對稱，三根系繩的長度變化量范圍相同，因此選擇θ1=0(rad)，即系繩1與x軸平行，和θ1=π/2(rad)，即系繩1與y軸平行兩種情況代入式(17)，計(jì)算可得各系繩長度變化量ε1,ε2和ε3分別為：

(18)

(19)

由于系統(tǒng)構(gòu)型穩(wěn)定時(shí)要求系繩中均存在拉力，因此各系繩長度變化量均需大于0，即：

(20)

整理可得編隊(duì)自旋穩(wěn)定時(shí)自轉(zhuǎn)角速度的范圍為：

(21)

2.2 動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證式(21)結(jié)論的正確性，使用MATLAB對編隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，衛(wèi)星和系繩的物理仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，系統(tǒng)自轉(zhuǎn)方向與繞地球方向一致。編隊(duì)沒有外在控制力，仿真時(shí)長為15個(gè)軌道數(shù)。

仿真時(shí)分別選取θ′=0.5,θ′=1，系統(tǒng)初始值均為理想情況，即：L10=L20=1，L′10=L′20=0，L″10=L′′20=0，θ10=π/6(rad)，θ20=5π/6(rad)，θ′10=θ′20=θ′，θ″10=θ″20=0。

表1 仿真參數(shù)表Table 1 The simulation parameters

θ′=0.5和θ′=1時(shí)整個(gè)編隊(duì)在軌道坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)情況分別如圖2和圖3所示。對比可知：θ′=0.5時(shí)，編隊(duì)構(gòu)型隨時(shí)間增加出現(xiàn)混亂，編隊(duì)不穩(wěn)定，僅靠自身不能保持正常運(yùn)行；而θ′=1時(shí)，編隊(duì)構(gòu)型始終保持為三角形，整體穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)，編隊(duì)能在自身旋轉(zhuǎn)的作用下保持整體的穩(wěn)定。這與式(21)的結(jié)論一致。

圖2 θ′=0.5時(shí)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)情況Fig.2 The formation’s motion when θ′=0.5

圖3 θ′=1時(shí)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)情況Fig.3 The formation’s motion when θ′=1

θ′=1時(shí)編隊(duì)三根系繩的長度變化如圖4所示，其長度均保持在略大于1的范圍內(nèi)，這說明系繩均處于拉伸狀態(tài)，衛(wèi)星始終受到系繩拉力的作用。編隊(duì)的自轉(zhuǎn)角速度如圖5所示，θ′1,θ′2均略小于初始值，這是由于系統(tǒng)部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢能的原因。同時(shí)，編隊(duì)中各系繩長度和自轉(zhuǎn)角速度的值均不完全恒定，而是表現(xiàn)為極小幅度的周期性變化，這是由于編隊(duì)旋轉(zhuǎn)時(shí)，θ1,θ2的連續(xù)變化使得編隊(duì)的受力發(fā)生小幅變化所致。但這些變化量均非常小，可以忽略不計(jì)。

系繩1長度L1隨角度θ1的變化如圖6所示，繩長變化量隨著編隊(duì)旋轉(zhuǎn)呈現(xiàn)周期性變化。L1的長度變化約在θ1=0(rad)時(shí)最大，在θ1=π/2(rad)時(shí)達(dá)到最小，這也與前文的分析一致。

圖4 各系繩長度變化圖Fig.4 The variations of three tethers’ lengths

圖5 編隊(duì)角速度變化圖Fig.5 The variations of formation’s angular velocities

圖6 繩長L1隨角度θ1變化圖Fig.6 The variation of length L1 with angle θ1

3 編隊(duì)展開控制

空間繩系編隊(duì)的展開控制方法是編隊(duì)展開的難點(diǎn)之一，其困難之處不僅在于系繩需要在控制作用下完全拉長，而且由于編隊(duì)穩(wěn)定運(yùn)行的需要，整個(gè)系統(tǒng)需要在控制作用下達(dá)到合適的自轉(zhuǎn)角速度。

3.1 欠驅(qū)動(dòng)控制

由于衛(wèi)星執(zhí)行機(jī)構(gòu)精度的限制以及編隊(duì)所能提供的控制力數(shù)量的限制，本文研究的空間繩系編隊(duì)是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

(22)

對于該欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，參考文獻(xiàn)[19-20]，采用分層滑模控制方法。取系繩長度的期望值為：L1=L2=L，自轉(zhuǎn)角速度的期望值為：θ′1=θ′2=θ′?？刂茣r(shí)共有兩層滑模面，第一層滑模面可定義如下：

(23)

由于僅對角度項(xiàng)進(jìn)行了控制，因此需要將繩長項(xiàng)的信息考慮在控制里面，第二層滑模面具體可表示為：

(24)

式中：各系數(shù)的取值分別為

(25)

3.2 穩(wěn)定性證明

分層滑?？刂品椒ǖ姆€(wěn)定性包括每層滑模面的穩(wěn)定性。首先證明第二層滑模面的穩(wěn)定性。取Lyapunov函數(shù)為：

(26)

對式(26)求導(dǎo)，并代入控制力表達(dá)式，可得：

(27)

其次證明第一層滑模面的穩(wěn)定性。由于第二層滑模面是穩(wěn)定的，sθ1平方可積，因此有：

2α1s1(α2s2+s3)]dτ<∞

(28)

(29)

綜上，該分層滑?？刂品椒ㄊ欠€(wěn)定的。

3.3 仿真驗(yàn)證

使用MATLAB對編隊(duì)的穩(wěn)定展開控制過程進(jìn)行仿真，衛(wèi)星和系繩的物理參數(shù)設(shè)置如表1，仿真時(shí)間為10個(gè)軌道數(shù)。編隊(duì)未展開時(shí)，整體沒有自轉(zhuǎn)，θ′10=θ′20=0，編隊(duì)初始構(gòu)型為三角形，取θ10=0(rad),θ20=2π/3(rad)，各系繩初始長度很小，取為L10=L20=L30=0.002。編隊(duì)展開完成時(shí)，L=1，根據(jù)式(21)的結(jié)論，取自轉(zhuǎn)角速度的期望值為θ′=3?？刂屏χ懈鲄?shù)選取為：c1=c2=4，c3=c4=1，α10=α20=1，α30=α40=1，k1=k2=0.4，e1=e2=0.6。

圖7中分別表示控制力作用下系繩長度L1,L2和L3的變化情況。圖像表明：約一個(gè)軌道數(shù)后，三根系繩均可以從初始長度完全展開到期望長度；且穩(wěn)定后的系繩長度值均略大于1，這說明系繩中均存在拉力；由于拉力的穩(wěn)定存在，系繩不會松弛，系統(tǒng)構(gòu)型可以保持穩(wěn)定。

圖8和圖9分別表示編隊(duì)自轉(zhuǎn)角速度θ′1,θ′2以及角度θ1-θ2的變化情況。圖像表明：兩個(gè)角速度的變化大體相同，經(jīng)過一個(gè)多軌道數(shù)后，θ′1,θ′2可以穩(wěn)定在期望值；θ1-θ2的值間接反映了編隊(duì)中系繩1與系繩2形成夾角的大小，雖然前期角速度有較大震蕩，但θ1-θ2始終保持為-2π/3(rad)或4π/3(rad)，這說明系統(tǒng)展開過程中系繩1與系繩2形成的夾角是不變的，即編隊(duì)構(gòu)型一直是穩(wěn)定的。

圖7 各系繩長度變化圖Fig.7 The variations of three tethers’ lengths

圖8 編隊(duì)角速度變化圖Fig.8 The variations of formation’s angular velocities

圖9 角度差θ1-θ2變化圖Fig.9 The variation of angle θ1 minus angle θ2

圖10中分別表示編隊(duì)展開所需的控制力變化情況。圖像表明：約一個(gè)多軌道數(shù)后，控制力可以穩(wěn)定在0附近；同時(shí)控制力和自轉(zhuǎn)角速度均在前一個(gè)軌道數(shù)內(nèi)有較大波動(dòng)，這是系統(tǒng)展開時(shí)兼顧系繩拉長和系統(tǒng)自轉(zhuǎn)的結(jié)果。

圖10 各控制力變化圖Fig.10 The variations of control forces

總體來說，本文的展開控制方法很好的達(dá)到了期望的控制效果，系繩完全拉長且系統(tǒng)整體自旋，系繩均處于拉伸狀態(tài)，系統(tǒng)彈性得以體現(xiàn)。該控制方法為繩系編隊(duì)的實(shí)際展開提供了一個(gè)可行的方案。

4 結(jié) 論

本文以三角構(gòu)型為例，研究了空間繩系編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與穩(wěn)定展開控制。使用Lagrange法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并充分考慮了系繩的彈性。定量分析了編隊(duì)自旋穩(wěn)定時(shí)自轉(zhuǎn)角速度的取值范圍，為之后的控制提供理論依據(jù)，并通過對動(dòng)力學(xué)方程的仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。研究了空間繩系編隊(duì)這一欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定展開過程，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的分層滑?？刂坡桑⑼ㄟ^數(shù)值仿真驗(yàn)證了控制方法的有效性。該展開控制方法為空間繩系編隊(duì)的實(shí)際展開提供了一個(gè)可行的方案。