蔣楠， 魏毅強(qiáng)

1.山西廣播電視大學(xué)公共基礎(chǔ)學(xué)院， 山西 太原 030027；2.太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030001

0 引言

混沌系統(tǒng)具有內(nèi)隨機(jī)性、分維性、普適性及標(biāo)度性等特征，并且對(duì)初始條件、參數(shù)變化具有較強(qiáng)的敏感性和隨機(jī)性，使得混沌系統(tǒng)的同步控制在保密通信、生物工程、信息信號(hào)處理及其他領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，同時(shí)實(shí)現(xiàn)混沌同步的諸多有效方法也相繼提出，比如：非線性反饋控制法[1，2]、自適應(yīng)控制法[3，4]、滑模變結(jié)構(gòu)控制法[5]、模糊同步控制法[6]等.近幾年，混沌系統(tǒng)的滑模同步已經(jīng)成為非線性領(lǐng)域研究的熱門課題.由于滑?？刂茖?duì)外界擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性和較好的動(dòng)態(tài)性能，受到了學(xué)者們廣泛的關(guān)注.文獻(xiàn)[7]通過(guò)設(shè)計(jì)切換函數(shù)和控制率，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步；文獻(xiàn)[8]研究了一類分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的滑模同步；文獻(xiàn)[9]通過(guò)結(jié)合分?jǐn)?shù)階運(yùn)算和整數(shù)階同步控制方法，設(shè)計(jì)了一種同步控制器，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步.在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)無(wú)法避免地受到外界干擾、非線性輸入、參數(shù)未知等多種因素的影響，針對(duì)系統(tǒng)的這些影響因素，學(xué)者們提出了多種解決方法.文獻(xiàn)[10]針對(duì)帶有外部擾動(dòng)項(xiàng)和不確定性的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，運(yùn)用自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的投影同步；文獻(xiàn)[11]在未知參數(shù)和外部擾動(dòng)的情況下，選取分?jǐn)?shù)階積分滑模面，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定；文獻(xiàn)[12]通過(guò)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階積分滑模面，在外界干擾和系統(tǒng)不確定的情況下，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步.上述文獻(xiàn)大部分只考慮了外界干擾、系統(tǒng)不確定、非線性輸入等因素對(duì)系統(tǒng)的影響，卻忽略了系統(tǒng)達(dá)到同步的時(shí)間，而在實(shí)際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)在限定時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步更具有實(shí)際價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義.

本文構(gòu)造了一個(gè)新的滑模面，通過(guò)比較系統(tǒng)同步誤差沿著兩個(gè)滑模面收斂到原點(diǎn)的時(shí)間，證明新的滑模面比傳統(tǒng)滑模面的收斂速度更快，以含有外界干擾項(xiàng)的混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和滑?？刂品椒?，在滑?？刂坡傻淖饔孟?，使得同步誤差收斂到原點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)與Rossler系統(tǒng)在限定時(shí)間內(nèi)的異結(jié)構(gòu)同步.最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)論的正確性和有效性.

1 系統(tǒng)模型

選取Lorenz系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

(1)

可將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)改寫(xiě)為如下矩陣形式

(2)

f(x)F(x)θ

因此驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可以表示為

(3)

其中,x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(x)為連續(xù)的非線性函數(shù)；矩陣F(x)中的元素為連續(xù)的非線性函數(shù)；θ為參數(shù)向量；dm為外部擾動(dòng).

選取Rossler系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)

(4)

可將響應(yīng)系統(tǒng)改寫(xiě)為如下矩陣形式

(5)

g(x)G(x)φ

因此驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可以表示為

(6)

(7)

即

(8)

(9)

則系統(tǒng)(9)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，且T滿足

引理2[14]對(duì)于狀態(tài)變量x,若初始條件x0>0,滿足下列條件

則狀態(tài)變量x在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，且時(shí)間T滿足

2 滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

2.1 滑模控制律設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[13,15]中的傳統(tǒng)滑模面為

(10)

此滑模運(yùn)動(dòng)存在的充要條件為

(11)

由此得到誤差系統(tǒng)為

(12)

設(shè)計(jì)新的滑模面為

(13)

滑模運(yùn)動(dòng)存在的充要條件為

(14)

由此得到誤差系統(tǒng)為

(15)

定理1 如果誤差系統(tǒng)的初值ei(0)T2.

證明 分別根據(jù)引理1和引理2，收斂時(shí)間為

當(dāng)ei(0)

當(dāng)k1=k3時(shí)，T0T2.因此，滑模面(13)可使誤差系統(tǒng)(15)中的同步誤差收斂到原點(diǎn)，且比傳統(tǒng)滑模面收斂的時(shí)間短，定理1得證.

根據(jù)自適應(yīng)控制理論和滑模控制理論，結(jié)合所設(shè)計(jì)的新的滑模面(13)，將滑?？刂坡稍O(shè)為

(16)

(17)

2.2 穩(wěn)定性分析

定理2 針對(duì)混沌同步誤差系統(tǒng)(8)，選取滑模面(13),在滑?？刂坡?16)作用下，系統(tǒng)在限定時(shí)間

(18)

內(nèi)收斂到滑模面.

證明 根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，選擇Lyapunov函數(shù)為

(19)

對(duì)(19)式求導(dǎo)得到

(20)

將(14)式代入

(21)

將(8)式與(17)式代入

(22)

代入得

放縮可得

將(16)式代入

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文所提理論結(jié)果的可行性和有效性，以Lorenz系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，Rossler系統(tǒng)(4)為響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行Matlab數(shù)值仿真.利用設(shè)計(jì)的滑?？刂坡桑谙到y(tǒng)含有外界干擾項(xiàng)的情況下，實(shí)現(xiàn)在限定時(shí)間內(nèi)兩個(gè)異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的滑模同步.同步誤差系統(tǒng)(8)可以表示為如下形式：

圖1 切換滑模面
Fig.1 Switch the sliding surface

圖2 同步誤差沿滑模面(13)隨時(shí)間的變化Fig.2 Time history of synchronized error along the sliding surface(13)圖3 同步誤差沿滑模面(10)隨時(shí)間的變化Fig.3 Time history of synchronized error along the sliding surface(10)

4 結(jié)論

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和滑?？刂品椒ǎ瑯?gòu)造了新的滑模面，設(shè)計(jì)了滑?？刂坡?，實(shí)現(xiàn)了含有外界干擾項(xiàng)的Lorenz混沌系統(tǒng)與Rossler混沌系統(tǒng)在限定時(shí)間內(nèi)的滑模同步，并用數(shù)學(xué)推理證明了新的滑模面比傳統(tǒng)滑模面具有更快的的收斂速度.最后，系統(tǒng)仿真結(jié)果表明，本文所提出的理論結(jié)果具有正確性和有效性.