趙 壯，婁志峰，張忠寧，王曉東，范光照*，陳國(guó)華，向 華

(1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.襄陽(yáng)華中科技大學(xué)先進(jìn)制造工程研究院，湖北 襄陽(yáng) 441053)

1 引 言

航空航天、醫(yī)療器械等高端制造業(yè)對(duì)于零部件的精度有很高的要求，數(shù)控機(jī)床作為機(jī)械裝備的母機(jī)，其加工精度的好壞直接影響被加工件的質(zhì)量[1-2]，因此提高數(shù)控機(jī)床的加工精度對(duì)于發(fā)展我國(guó)高端制造業(yè)具有重要意義。幾何誤差作為數(shù)控機(jī)床重要的誤差源[3-4]，對(duì)機(jī)床加工精度有很大影響，其補(bǔ)償模型一直都是國(guó)內(nèi)外研究人員的研究重點(diǎn)。

目前，針對(duì)機(jī)床幾何誤差的常用補(bǔ)償模型是以多體系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，通過(guò)齊次轉(zhuǎn)換矩陣所建立的誤差補(bǔ)償模型，即齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣(Homogeneous Transformation Matrix，HTM)法[5-7]。HTM法是由Hartenberg等在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)上提出的[8]，F(xiàn)erreira等將它應(yīng)用到機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償模型中[9]。劉又午基于多體系統(tǒng)理論推導(dǎo)出適用于三軸加工中心的誤差補(bǔ)償模型，通過(guò)9線(xiàn)法辨析幾何誤差，對(duì)模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證[10]。由于對(duì)直線(xiàn)度誤差的定義不同，針對(duì)三軸機(jī)床的誤差補(bǔ)償模型又可以被分為兩種：包含18項(xiàng)幾何誤差的補(bǔ)償模型[11]和包含21項(xiàng)幾何誤差的補(bǔ)償模型[12]，董澤園等對(duì)這兩種模型存在的差異進(jìn)行了分析，并在三軸機(jī)床上進(jìn)行了補(bǔ)償精度的比較[6]。粟時(shí)平推導(dǎo)出適用于五軸機(jī)床的幾何誤差補(bǔ)償模型，并在虛擬加工條件下進(jìn)行了加工精度的預(yù)測(cè)[13]。陳東菊、謝春等分別將多體系統(tǒng)理論應(yīng)用于數(shù)控磨床和五軸車(chē)銑復(fù)合加工中心的補(bǔ)償模型推導(dǎo)中并驗(yàn)證了模型的補(bǔ)償精度[14-15]。郭世杰等基于多體系統(tǒng)理論建立了轉(zhuǎn)臺(tái)-擺軸式五軸機(jī)床的補(bǔ)償模型，有效降低了轉(zhuǎn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)機(jī)床精度的影響[16]。

以上研究都是使用激光干涉儀進(jìn)行誤差測(cè)量，為降低補(bǔ)償成本、提高補(bǔ)償效率，有研究人員使用多自由度測(cè)量?jī)x器替代激光干涉儀進(jìn)行機(jī)床幾何誤差的測(cè)量，但由于測(cè)量過(guò)程不滿(mǎn)足阿貝原則，幾何誤差測(cè)量結(jié)果中存在阿貝誤差，嚴(yán)重影響補(bǔ)償精度。為此，范光照、Vahebi等分析了三軸機(jī)床幾何誤差傳遞機(jī)理以及阿貝誤差對(duì)于加工過(guò)程的影響[17-19]；楊建國(guó)等將阿貝臂的概念引入誤差建模中[20]；向華等分析了阿貝誤差對(duì)于幾何誤差測(cè)量結(jié)果的影響并設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方法避免在測(cè)量結(jié)果中引入阿貝誤差[21]。

HTM法因具有易理解、推導(dǎo)簡(jiǎn)單和適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償中，但使用HTM法進(jìn)行誤差補(bǔ)償需要保證刀具切削點(diǎn)、幾何誤差測(cè)量點(diǎn)以及低序體坐標(biāo)系原點(diǎn)的空間位置重合。在使用多自由度測(cè)量?jī)x器配合HTM法進(jìn)行空間誤差補(bǔ)償時(shí)，由于幾何誤差的測(cè)量點(diǎn)與低序體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，兩點(diǎn)間存在空間偏位，使得一部分運(yùn)動(dòng)軸的角度誤差對(duì)于空間誤差的影響沒(méi)有被考慮，會(huì)降低補(bǔ)償精度。

本文以XYFZ型數(shù)控機(jī)床為例，介紹HTM法的推導(dǎo)過(guò)程，分析其中不足；然后，基于阿貝原則與布萊恩原則分析機(jī)床空間誤差傳遞機(jī)理和幾何誤差測(cè)量的不準(zhǔn)確性，并進(jìn)行驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)；最后，對(duì)HTM補(bǔ)償模型進(jìn)行優(yōu)化，并對(duì)優(yōu)化后的補(bǔ)償模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2 HTM誤差補(bǔ)償模型

2.1 機(jī)床幾何誤差

由于制造精度問(wèn)題，機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位姿與理想運(yùn)動(dòng)位姿存在偏差，此偏差被稱(chēng)為幾何誤差[22]。單根運(yùn)動(dòng)軸有6項(xiàng)幾何誤差，包括3項(xiàng)角度誤差和3項(xiàng)平動(dòng)誤差[6]，分別為偏擺角誤差、俯仰角誤差、滾動(dòng)角誤差以及水平直線(xiàn)度誤差、豎直直線(xiàn)度誤差和定位誤差，如圖1所示。

此外，運(yùn)動(dòng)軸之間還存在垂直度誤差，故三軸機(jī)床共有21項(xiàng)幾何誤差，誤差表達(dá)式如表1所示。在加工過(guò)程中，這些誤差的存在會(huì)導(dǎo)致刀具切削點(diǎn)的實(shí)際位置與理想位置產(chǎn)生偏差，影響加工精度。

圖1 運(yùn)動(dòng)軸6項(xiàng)幾何誤差Fig.1 Six geometric errors of motion axis

表1 21項(xiàng)幾何誤差表達(dá)式

2.2 模型推導(dǎo)過(guò)程

首先，依照多體系統(tǒng)理論和低序體陣列法，將機(jī)床X，Y，Z運(yùn)動(dòng)軸和床身假設(shè)為存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的低序體并進(jìn)行編號(hào)，機(jī)床床身為體0，Z軸為體3，X軸為體2，Y軸為體1，并在各低序體內(nèi)預(yù)設(shè)一個(gè)固連坐標(biāo)系，低序體坐標(biāo)系設(shè)置如圖2所示。然后，通過(guò)相鄰低序體進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將刀具切削點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系(體3固連坐標(biāo)系)內(nèi)和工件坐標(biāo)系(體2固連坐標(biāo)系)內(nèi)的相對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到機(jī)床床身絕對(duì)坐標(biāo)系(體0固連坐標(biāo)系)中，再通過(guò)齊次矩陣運(yùn)算得出機(jī)床的空間誤差[6]。

在計(jì)算空間誤差時(shí)，機(jī)床導(dǎo)軌的理論運(yùn)動(dòng)值和幾何誤差值分別以理論運(yùn)動(dòng)矩陣和誤差特征矩陣(表2、表3)的形式表示[5]。

圖2 XYFZ型機(jī)床結(jié)構(gòu)及低序體坐標(biāo)系設(shè)置Fig.2 XYFZ machine tool structure and low sequence body coordinate system

表2 理想運(yùn)動(dòng)矩陣和誤差特征矩陣的表達(dá)式

表3 垂直度誤差特征矩陣表達(dá)式

Tab.3 Characteristic matrix expression of perpendicularity error

假設(shè)刀具切削點(diǎn)在工件坐標(biāo)系(體2坐標(biāo)系)中的齊次坐標(biāo)為Pw，在刀具坐標(biāo)系(體3坐標(biāo)系)中的齊次坐標(biāo)為Pt?？傻谬R次坐標(biāo)Pw通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后在床身坐標(biāo)系中的實(shí)際坐標(biāo)值為：

Pactual-w=T01ΔT01CxyT12ΔT12Pw.

(1)

齊次坐標(biāo)Pt轉(zhuǎn)換后在床身坐標(biāo)系中的實(shí)際坐標(biāo)值為：

Pactual-t=CyzCxzT03ΔT03Pt.

(2)

故由機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差所引起的刀具切削點(diǎn)空間誤差為：

E=Pactual-t-Pactual-w.

(3)

2.3 模型不足

HTM法是從機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)中衍生出來(lái)的[9]，在使用HTM誤差補(bǔ)償模型對(duì)機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償時(shí)，必須要保證機(jī)床的刀具切削點(diǎn)與工件坐標(biāo)系、刀具坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，同時(shí)保證幾何誤差測(cè)量點(diǎn)和機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸的固連低序體坐標(biāo)系原點(diǎn)的空間位置重合。

圖3 誤差測(cè)量點(diǎn)與刀具切削點(diǎn)偏位Fig.3 Offset between measuring point and cutting point of tool

但是在使用多自由度測(cè)量?jī)x器測(cè)量機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差時(shí)，在空間中刀具切削點(diǎn)和誤差測(cè)量點(diǎn)的位置并不重合，兩點(diǎn)間的偏位如圖3所示。此時(shí)帶入模型的幾何誤差在理論上由兩部分組成：儀器測(cè)量得到的誤差以及導(dǎo)軌角度誤差在刀具切削點(diǎn)和幾何誤差測(cè)量點(diǎn)間的空間偏位作用下產(chǎn)生的阿貝誤差。然而，現(xiàn)階段在將幾何誤差帶入補(bǔ)償模型時(shí)，兩點(diǎn)間空間偏位所造成的這部分誤差項(xiàng)并沒(méi)有被考慮，這就使得在使用HTM模型進(jìn)行誤差補(bǔ)償時(shí)補(bǔ)償精度受到制約。

3 阿貝原則在機(jī)床空間誤差分析中的應(yīng)用

3.1 空間誤差傳遞

阿貝原則是測(cè)量?jī)x器設(shè)計(jì)的指導(dǎo)性原則，指測(cè)量軸線(xiàn)必須與基準(zhǔn)軸線(xiàn)共線(xiàn)，否者會(huì)在測(cè)量結(jié)果中引入阿貝誤差[23]。這一原則也可被借鑒用來(lái)分析三軸機(jī)床的幾何誤差傳遞[19]。

在加工時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)軸定位誤差的存在，刀具切削點(diǎn)的真實(shí)位置與理想位置不重合，影響機(jī)床的加工精度。在以光柵尺為位置控制單元的機(jī)床上，運(yùn)動(dòng)軸的位置是靠光柵尺實(shí)時(shí)反饋得到的，所以將光柵尺的位置作為基準(zhǔn)軸線(xiàn)。在加工時(shí)，刀具切削點(diǎn)與光柵尺不在同一軸線(xiàn)上，在空間上存在阿貝偏位，且在加工過(guò)程中運(yùn)動(dòng)軸存在運(yùn)動(dòng)姿態(tài)角度誤差，所以會(huì)在刀具切削點(diǎn)處引入阿貝誤差。刀具切削點(diǎn)的真實(shí)位置誤差是由光柵尺處的定位誤差和角度誤差與阿貝偏位所引起的阿貝誤差共同組成。

假設(shè)刀具切削點(diǎn)與X軸光柵尺在Z方向的偏位為L(zhǎng)z(x)，X軸在運(yùn)動(dòng)時(shí)的俯仰角誤差為εy(x)，所以由X軸俯仰角誤差在刀具切削點(diǎn)引起的X方向阿貝誤差為：εy(x)×Lz(x)，如圖4所示。

圖4 阿貝偏位引入阿貝誤差Fig.4 Abbe offset introduces Abbe error

實(shí)際加工中，刀具切削點(diǎn)與光柵尺讀數(shù)頭在空間中有3個(gè)方向的偏位，如圖5所示，運(yùn)動(dòng)軸的偏擺角誤差也會(huì)在刀具切削點(diǎn)處引入阿貝誤差。所以刀具切削點(diǎn)處由X軸引入的X方向的幾何誤差應(yīng)由三部分組成：光柵尺處的基準(zhǔn)定位誤差、俯仰角誤差引入的阿貝誤差以及偏擺角誤差引入的阿貝誤差，計(jì)算公式為：

δxt(x)=δxα(x)+εy(x)Lz(x)-εz(x)Ly(x)，

(4)

其中：δxα代表X軸光柵尺讀數(shù)頭處的基準(zhǔn)定位誤差，δxt代表刀具切削點(diǎn)處X方向的幾何誤差，Lz(x),Ly(x)分別為X軸光柵尺讀數(shù)頭與刀具切削點(diǎn)之間的Z向和Y向的偏位。

圖5 刀具切削點(diǎn)與光柵尺讀數(shù)頭間偏位Fig.5 Offset between cutting point and reading head

3.2 阿貝原則的驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性，在機(jī)床X軸上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。首先，使用雷尼紹公司XM-60型多自由度測(cè)量?jī)x器(精度：±0.5×10-6，分辨力：1 nm，測(cè)量范圍：0～4 m)在距光柵尺水平偏位0 mm,豎直偏位分別為250，430和550 mm位置測(cè)量X軸的定位誤差和俯仰角誤差。定位誤差測(cè)量示意圖和儀器現(xiàn)場(chǎng)架設(shè)如圖6所示。

圖6 不同豎直偏位儀器架設(shè)方案及現(xiàn)場(chǎng)安裝圖Fig.6 Instrument erection scheme and installation in different vertical offsets

在3個(gè)不同豎直偏位測(cè)量的俯仰角誤差如圖7所示。由于3個(gè)測(cè)量位置的水平偏位都為0，故偏擺角誤差對(duì)于定位誤差的測(cè)量結(jié)果沒(méi)有影響，所以依照前述，在不同豎直偏位測(cè)量得到的定位誤差由兩部分組成：相同的基準(zhǔn)定位誤差和由于不同阿貝偏位所產(chǎn)生的阿貝誤差。誤差測(cè)量點(diǎn)處的定位誤差值與光柵尺讀數(shù)頭處的定位誤差值滿(mǎn)足如下公式：

δxm(x)=δxα(x)+εy(x)Lmz(x)，

(5)

其中：δxα代表X軸光柵尺讀數(shù)頭處的基準(zhǔn)定位誤差，δxm代表定位誤差測(cè)量點(diǎn)測(cè)量得到的定位誤差值，Lmz(x)為X軸光柵尺讀數(shù)頭與誤差測(cè)量點(diǎn)之間的Z方向偏位值。

通過(guò)公式(5)補(bǔ)償不同高度測(cè)量點(diǎn)處包含的阿貝誤差后，可得到光柵尺讀數(shù)頭處的基準(zhǔn)定位誤差，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。結(jié)果表明，3個(gè)不同高度的定位誤差中包含相同趨勢(shì)的基準(zhǔn)定位誤差，且相互間的差值基本保持在2 μm內(nèi)，符合理論推導(dǎo)。

圖7 不同豎直偏位測(cè)得俯仰角誤差Fig.7 Pitch angle errors measured in different vertical offsets

圖8 不同豎直偏位定位誤差比對(duì)Fig.8 Alignment of positioning errors in different vertical offsets

除了俯仰角誤差外，當(dāng)測(cè)量軸線(xiàn)與基準(zhǔn)軸線(xiàn)存在水平方向偏位時(shí)，導(dǎo)軌偏擺角誤差也會(huì)在定位誤差的測(cè)量結(jié)果中引入阿貝誤差。使用雷尼紹公司XM-60型多自由度測(cè)量?jī)x器在距光柵尺豎直偏位250 mm，水平偏位分別為0 mm和290 mm的位置測(cè)量X軸定位誤差和偏擺角誤差，定位誤差測(cè)量示意圖和儀器現(xiàn)場(chǎng)架設(shè)如圖9所示。

圖9 不同水平偏位儀器架設(shè)方案及現(xiàn)場(chǎng)安裝圖Fig.9 Instrument erection scheme and installation in different horizontal offsets

當(dāng)兩個(gè)測(cè)量位置相對(duì)于光柵尺讀數(shù)頭的豎直偏位相同且水平偏位不同時(shí)，可認(rèn)為是偏擺角誤差在兩點(diǎn)間定位誤差中引入了阿貝誤差。即290 mm處測(cè)量得到的定位誤差是由0 mm處測(cè)量得到的定位誤差和偏擺角引入的阿貝誤差組成。兩點(diǎn)間定位誤差的計(jì)算公式如下：

δx290(x)=δx0(x)-εz(x)Lmy(x)，

(6)

式中：δx0,δx290分別代表在相對(duì)X軸光柵尺讀數(shù)頭水平偏位0，290 mm測(cè)得的定位誤差，Lmy(x)為兩誤差測(cè)量點(diǎn)間的水平偏位。將290 mm水平偏位處測(cè)得的偏擺角誤差(圖10)帶入公式(6)中可以計(jì)算得出0 mm處的“基準(zhǔn)”定位誤差，并將之與水平偏位0 mm處實(shí)際測(cè)得的定位誤差進(jìn)行比較，結(jié)果如圖11所示，兩者差值在1.3 μm內(nèi)，符合理論推導(dǎo)。

圖10 水平偏位290 mm處測(cè)得的偏擺角誤差Fig.10 Yaw angle errors measured in horizontal offset of 290 mm

圖11 不同水平偏位定位誤差比對(duì)Fig.11 Alignment of positioning errors in different horizontal offsets

由于機(jī)床結(jié)構(gòu)的特殊性，在加工過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)軸的定位誤差在傳遞到刀具切削點(diǎn)時(shí)會(huì)引入角度誤差造成的阿貝誤差，具體計(jì)算如公式(4)所述。在使用HTM法進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)，有一部分阿貝誤差未被考慮，這是影響其補(bǔ)償?shù)闹饕?。所以，基于阿貝原則和空間誤差傳遞機(jī)理針對(duì)HTM補(bǔ)償模型存在的不足進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到提高補(bǔ)償精度的效果就顯得很有意義。

4 基于阿貝原則優(yōu)化補(bǔ)償模型

4.1 測(cè)量誤差轉(zhuǎn)換

誤差測(cè)量是補(bǔ)償?shù)那疤?，由于使用便捷、測(cè)量效率高，多自由度誤差測(cè)量?jī)x器被越來(lái)越多地應(yīng)用于機(jī)床幾何誤差量的測(cè)量中。測(cè)量時(shí)，儀器多架設(shè)于機(jī)床工作臺(tái)上，這就使得誤差測(cè)量點(diǎn)與刀具切削點(diǎn)存在偏位，且在進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，安裝人員很難保證儀器在工作臺(tái)上的架設(shè)位置不變。根據(jù)前述理論，儀器在不同的安裝位置測(cè)得的定位誤差值由于阿貝誤差的影響會(huì)產(chǎn)生變化，誤差測(cè)量點(diǎn)與刀具切削點(diǎn)的空間偏位也會(huì)發(fā)生變化。如果每次測(cè)量都記錄儀器位置，并針對(duì)測(cè)量點(diǎn)與切削點(diǎn)的偏位信息進(jìn)行補(bǔ)償，就會(huì)加大補(bǔ)償工作量，使得補(bǔ)償流程變得非常繁瑣，同時(shí)也不利于補(bǔ)償?shù)闹貜?fù)實(shí)現(xiàn)。所以，為提高補(bǔ)償精度以及不增加補(bǔ)償流程的復(fù)雜度，現(xiàn)對(duì)HTM法以阿貝原則為基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化。

由分析可知，雖然不同測(cè)量位置得到的定位誤差不同，但其中包含的光柵尺讀數(shù)頭處的基準(zhǔn)定位誤差都是相同的，所以可以依照公式(4)把儀器測(cè)量得到的定位誤差轉(zhuǎn)換為光柵尺讀數(shù)頭處的基準(zhǔn)定位誤差，然后再帶入補(bǔ)償模型。在基于多體系體理論推導(dǎo)誤差模型時(shí)，運(yùn)動(dòng)軸6項(xiàng)幾何誤差必須位于同一位置，所以在對(duì)定位誤差進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，也基于布萊恩原則[24]將直線(xiàn)度誤差由測(cè)量點(diǎn)轉(zhuǎn)換到光柵尺讀數(shù)頭處。由于運(yùn)動(dòng)軸可被視為剛體，角度誤差不需轉(zhuǎn)換。X軸定位誤差和直線(xiàn)度誤差轉(zhuǎn)換公式如下：

δxm(x)=δxα(x)+εy(x)Lmz(x)-εz(x)Lmy(x)，

(7)

δym(x)=δyα(x)-εx(x)Lmz(x)+εz(x)Lmx(x)，

(8)

δzm(x)=δzα(x)+εx(x)Lmy(x)-εy(x)Lmx(x)，

(9)

其中：δxα,δyα,δzα分別代表光柵尺讀數(shù)頭處x,y,z方向的誤差值，δxm，δym,δzm分別代表誤差測(cè)量點(diǎn)測(cè)量得到的x,y,z方向的誤差值，Lmx(x),Lmy(x),Lmz(x)分別代表X軸上幾何誤差測(cè)量點(diǎn)到光柵尺讀數(shù)頭處的X，Y，Z三個(gè)方向的偏位。

圖12 X軸誤差測(cè)量點(diǎn)與光柵尺讀數(shù)頭間偏位Fig.12 Offset between error measuring point and reading head on X-axis

4.2 誤差模型優(yōu)化

誤差測(cè)量點(diǎn)與低序體坐標(biāo)系原點(diǎn)重合是補(bǔ)償?shù)那疤釛l件，所以現(xiàn)將機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸固連坐標(biāo)系設(shè)置在各軸光柵尺讀數(shù)頭處。將床身絕對(duì)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定為機(jī)床位于絕對(duì)零點(diǎn)時(shí)Y軸光柵尺讀數(shù)頭處，為保證補(bǔ)償?shù)臏?zhǔn)確性，在進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)還要考慮機(jī)床位于絕對(duì)零點(diǎn)時(shí)各相對(duì)坐標(biāo)系間的空間偏位，坐標(biāo)系設(shè)置及坐標(biāo)系間偏位如圖13所示。此時(shí)的空間偏位信息也可用齊次坐標(biāo)表示如表4。

圖13 優(yōu)化后坐標(biāo)系及坐標(biāo)系間偏位Fig.13 Coordinate system and offset between coordinate systems after optimization

表4 相對(duì)坐標(biāo)系間偏位表達(dá)式

Tab.4 Partial expression for relative coordinates

空間偏位矩陣機(jī)床位于絕對(duì)零點(diǎn)時(shí),體2與體1固連坐標(biāo)系間的空間偏位B12=100x12010y12001z120001機(jī)床位于絕對(duì)零點(diǎn)時(shí),體3與體0固連坐標(biāo)系間的空間偏位B03=100x03010y03001z030001

除了運(yùn)動(dòng)軸的幾何誤差外，各軸間的垂直度誤差也會(huì)對(duì)空間誤差產(chǎn)生影響。機(jī)床加工時(shí)，非基準(zhǔn)軸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)因?yàn)榇怪倍日`差的存在而在基準(zhǔn)軸上產(chǎn)生一個(gè)誤差，如圖14所示。

圖14 垂直度誤差對(duì)空間誤差的影響Fig.14 Influence of verticality error on spatial errors

所以3個(gè)垂直度誤差對(duì)于空間誤差的影響可以按照齊次向量的樣式寫(xiě)為：

C=(Zαxz,Xαxy-Zαyz,0,0).

(10)

基于阿貝原則優(yōu)化后的空間誤差算法如下：

Pactual-w=T01ΔT01B12T12ΔT12Pw，

(11)

Pactual-t=B03T03ΔT03Pt,

(12)

E=Pactual-t-Pactual-w+C.

(13)

針對(duì)誤差補(bǔ)償模型的優(yōu)化主要有三點(diǎn)：首先，考慮了由于誤差測(cè)量點(diǎn)與刀具切削點(diǎn)間偏位產(chǎn)生的誤差對(duì)于空間誤差的影響；然后，基于阿貝原則和多體系統(tǒng)理論規(guī)范了相鄰低序體固連坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)的選取原則；最后，在模型中加入表示機(jī)床位于絕對(duì)零點(diǎn)時(shí)相鄰低序體固連坐標(biāo)系間空間偏位的特征矩陣，使得模型的計(jì)算過(guò)程更加合理。

5 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

以江山華科XHK715型三軸數(shù)控機(jī)床為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，驗(yàn)證針對(duì)HTM補(bǔ)償模型的優(yōu)化是否有效。

5.1 幾何誤差測(cè)量

首先，使用雷尼紹公司XM-60型多自由度測(cè)量?jī)x器分別測(cè)量機(jī)床X,Y,Z運(yùn)動(dòng)軸的6項(xiàng)幾何誤差，測(cè)量行程及測(cè)量間隔如表5所示。反復(fù)測(cè)量5次[19]，以5次測(cè)量的平均值作為導(dǎo)軌的幾何誤差。

表5 各軸測(cè)量行程及測(cè)量間隔

Tab.5 Measuring stroke and interval of each axis (mm)

測(cè)量行程測(cè)量間隔X軸0～-50050Y軸0～-30030Z軸0～-40040

機(jī)床各軸的測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)以及測(cè)量結(jié)果分別如圖15和圖16所示。

圖15 測(cè)量X，Y，Z軸幾何誤差儀器安裝示意圖Fig.15 Instrument installation diagram for measurement of geometric errors of X, Y and Z axes

圖16 X，Y，Z軸幾何誤差的測(cè)量結(jié)果Fig.16 Measurement results of X, Y and Z axial geometric errors

運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差測(cè)量完成后，使用雷尼紹公司QC20-W型球桿儀(精度：±(0.7+0.3%L)μm，分辨力：0.1 μm，測(cè)量范圍：±1 mm)測(cè)量機(jī)床的三項(xiàng)垂直度誤差，測(cè)量結(jié)果如表6所示，儀器測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)如圖17所示。

表6 垂直度誤差

圖17 測(cè)量垂直度誤差儀器安裝示意圖Fig.17 Instrument installation diagram for measurement of perpendicularity errors

5.2 模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證

根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)，可以通過(guò)檢測(cè)機(jī)床運(yùn)動(dòng)空間體對(duì)角線(xiàn)定位誤差估算機(jī)床的空間性能[25]。以此為基礎(chǔ)，提出一種補(bǔ)償模型驗(yàn)證方法。將補(bǔ)償模型計(jì)算得到的空間誤差映射到體對(duì)角線(xiàn)上，得到機(jī)床體對(duì)角線(xiàn)預(yù)測(cè)定位誤差，再將預(yù)測(cè)定位誤差與使用干涉儀實(shí)際測(cè)得的體對(duì)角線(xiàn)定位誤差比對(duì)，反映補(bǔ)償模型的補(bǔ)償精度高低。

使用API公司XD激光干涉儀(精度：0.5×10-6，分辨力：0.02 μm，測(cè)量范圍：40 m)測(cè)量機(jī)床500 mm(X)×400 mm(Y)×300 mm(Z)空間體對(duì)角線(xiàn)的定位誤差，如圖18所示。

圖18 體對(duì)角線(xiàn)測(cè)量軌跡及儀器安裝示意圖Fig.18 Measured track and instrument installation diagram of body diagonal

將測(cè)量得到的21項(xiàng)幾何誤差分別帶入優(yōu)化前和優(yōu)化后的補(bǔ)償模型生成空間誤差補(bǔ)償值，擬合得到體對(duì)角線(xiàn)預(yù)測(cè)定位誤差，將實(shí)際測(cè)得的定位誤差與預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行比較，結(jié)果如圖19所示。測(cè)量所得的體對(duì)角線(xiàn)最的大定位誤差為41.15 μm，兩個(gè)補(bǔ)償模型擬合出的體對(duì)角線(xiàn)的最大定位誤差分別為47.51 μm和42.61 μm，且擬合得到的體對(duì)角線(xiàn)定位誤差與由干涉儀實(shí)際測(cè)量得到的定位誤差的變化趨勢(shì)基本相同。

圖19 擬合體對(duì)角線(xiàn)定位誤差比對(duì)Fig.19 Comparison of fitting body diagonal positioning errors

圖20 體對(duì)角線(xiàn)定位誤差補(bǔ)償殘差比對(duì)Fig.20 Comparison of compensation residual of body diagonal positioning errors

使用模型預(yù)測(cè)誤差對(duì)測(cè)量所得的定位誤差進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償后殘差如圖20所示。結(jié)果表明：未優(yōu)化模型補(bǔ)償后的最大殘差為16.37 μm，優(yōu)化后模型補(bǔ)償后的最大殘差為5.32 μm，優(yōu)化模型的補(bǔ)償率為87.07%，未優(yōu)化模型的補(bǔ)償率為60.22%，優(yōu)化后補(bǔ)償模型的補(bǔ)償效果更好。

6 結(jié) 論

本文基于阿貝原則對(duì)HTM誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行了優(yōu)化，提出符合多體系統(tǒng)理論的坐標(biāo)系選取原則，使得補(bǔ)償模型的理論推導(dǎo)更加合理。首先推導(dǎo)出HTM補(bǔ)償模型，并指出使用多自由度測(cè)量?jī)x器配合HTM補(bǔ)償模型進(jìn)行空間誤差補(bǔ)償時(shí)，誤差測(cè)量點(diǎn)與補(bǔ)償點(diǎn)不重合會(huì)導(dǎo)致補(bǔ)償精度的降低。隨后分析了三軸機(jī)床空間誤差的傳遞機(jī)理，基于阿貝原則對(duì)HTM補(bǔ)償模型進(jìn)行了優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)表明，優(yōu)化后的補(bǔ)償模型可將機(jī)床空間體對(duì)角線(xiàn)的定位誤差由41.15 μm補(bǔ)償至5.32 μm，補(bǔ)償率為87.07%；相比于傳統(tǒng)HTM補(bǔ)償模型，補(bǔ)償率提高了26.85%，對(duì)于機(jī)床空間誤差具有更好的補(bǔ)償效果。