一、填空題? ?（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.? ?已知集合A={x|x>0}，B={-1，0，1，2}，則A∩B等于__________.

2.? 已知虛數(shù)z滿足2z- =1+6i，則|z|=__________.

3.? 右圖是一個算法的流程圖，則最后輸出的S=? ? ?.

4.? 函數(shù)f（x）=x-2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.

5.? 某射擊運動員在四次射擊中分別打出了10，x，10，8環(huán)的成績，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則這組數(shù)據(jù)的標準差是__________.

6.? 已知直線3x+4y-3=0，6x+my+14=0平行，則它們之間的距離是__________.

7.? 角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合， 終邊經(jīng)過點P（1，2），則sin（π-α）的值是? ? ?.

8.? 已知體積相等的正方體和球的表面積分別為S1，S2，則（ S1 S2 ）3的值是__________.

9.? 已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3·a7=2a5，設等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，若b5=a5，則S9=__________.

10.? ?若a2-ab+b2=1，a，b是實數(shù)，則a+b的最大值是__________.

11.? 設函數(shù)f（x）=x|x-a|，若對于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式 f（x1）-f（x2） x1-x2 >0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________.

12.? 在直角△ABC中，AB=2，AC=2 3 ，斜邊BC上有異于端點兩點B、C的兩點E、F，且EF=1，則AE ·AF 的取值范圍是__________.

13.? 如圖，橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的離心率e= 1 2 ，左焦點為F，A，B，C為其三個頂點，直線CF與AB交于D，則tan∠BDC的值為__________.

14.? 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且BC邊上的高為? 3? 2 a，則 c b + b c 取得最大值時，內(nèi)角A的值為__________.

二、解答題? ?（本大題共6小題，共90分）

15.? ? ?（本小題滿分14分）

已知向量 a =（sinx，cosx）， b =（sinx，sinx）， c =（-1，0）.

（1） 若x= π 3 ，求向量 a ， c 的夾角θ;

（2）若x∈[- 3π 8 ， π 4 ]，函數(shù)f（x）=λ a · b 的最大值為 1 2 ，求實數(shù)λ的值.

16.? ? ?（本小題滿分14分）

如圖，已知三棱錐ABPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形.

（1）求證：DM∥平面APC;

（2） 求證：平面ABC⊥平面APC;

（3） 若BC=4，AB=20，求三棱錐DBCM的體積.

17.? ? ?（本小題滿分14分）

現(xiàn)有一個以OA、OB為半徑的扇形池塘，在OA、OB上分別取點C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于點E、F，且BD=AC，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著DE、EO、OF、FC將池塘分成如圖所示的三種養(yǎng)殖區(qū)域.若OA=1km，∠AOB= π 2 ，∠EOF=θ（0<θ< π 2 ）.

（1）求區(qū)域Ⅱ的總面積;

（2） 若養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分別是15萬元、20萬元、10萬元，記年總收入為y萬元.試問當θ為多少時，年總收入最大？

18.? ? ?（本小題滿分16分）

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=? 3? 2 ，△DEF2的面積為1-? 3? 2 .若M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（ x0 a ， y0 b ）稱為點M的一個“橢點”.直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程;

（2） △AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值;若不為定值，請說明理由.

19.? ? ?（本小題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3），x1，x2，x3∈ R ，且x1

（1） 當x1=0，x2=1，x3=2時，求函數(shù)f（x）的減區(qū)間;

（2）求證：方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根;

（3）若方程f′（x）=0的兩個實數(shù)根是α，β（α<β），試比較 x1+x2 2 ， x2+x3 2 與α，β的大小，并說明理由.

20.? ? ?（本小題滿分16分）

所以DE⊥OB，CF⊥OA.

又因為OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF.

所以∠DOE=∠COF，∠COF= 1 2 （ π 2 -θ）.

所以OC=OF·cos∠COF=cos[ 1 2 （ π 2 -θ）].

所以S△COF= 1 2 ·OC·OF·sin∠COF= 1 4 cosθ，

所以S區(qū)域Ⅱ= 1 2 cosθ，（0<θ< π 2 ）.

（2）因為S區(qū)域Ⅰ= 1 2 θ，所以S區(qū)域Ⅲ=S總-S區(qū)域Ⅰ-S區(qū)域Ⅱ= π 4 - 1 2 θ- 1 2 cosθ.

所以y=15× 1 2 θ+20× 1 2 cosθ+10×（ π 4 - 1 2 θ- 1 2 cosθ）

= 5 2 π+ 5 2 θ+5cosθ，（0<θ< π 2 ），

所以y′= 5 2 （1-2sinθ），令y′=0，則θ= π 6 .

當0<θ< π 6 時，y′>0，當 π 6 <θ< π 2 時，y′<0.

故當θ= π 6 時，y有最大值.

答：當θ為 π 6 時，年總收入最大.

18.? ?解：（1） x2 4 +y2=1.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），

則P（ x1 2 ，y1），Q（ x2 2 ，y1）.

由OP⊥OQ，即 x1x2 4 +y1y2=0. （*）

①當直線AB的斜率不存在時，

S= 1 2 |x1|×|y1-y2|=1.

②當直線AB的斜率存在時，設其直線為y=kx+m（m≠0）.

y=kx+mx2+4y2=4 ，（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

Δ=16（4k2+1-m2），x1x2= 4m2-4 4k2+1 ，

同理y1y2= m2-4k2 4k2+1 ，代入（*），

整理得4k2+1=2m2.

此時Δ=16m2>0，

AB= 1+k2 |x1-x2|= 2 1+k2? |m| ，

h= |m|? 1+k2? ，∴S=1.

綜上，△AOB的面積為1.

19.? ?解：（1）f（x）減區(qū)間（1-? 3? 3 ，1+? 3? 3 ）;

（2）法1：f（x）=x3-（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x-x1x2x3，

f′（x）=3x2-2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x2x3+x3x1），

Δ=2[（x1-x2）2+（x2-x3）2+（x3-x1）2]，因為x10，

所以，方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根;

法2：f′（x）=（x-x1）（x-x2）+（x-x2）（x-x3）+（x-x3）（x-x1），

f′（x2）=（x2-x3）（x2-x1）<0，

f′（x）是開口向上的二次函數(shù)，

所以，方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根;

（3）因為f′（ x1+x2 2 ）=- （x2-x1）2 4 <0，

f′（ x2+x3 2 ）=- （x2-x3）2 4 <0，

又f（x）在（-∞，α）和（β，+∞）增，f（x）在（α，β）減，

所以α< x1+x2 2 < x2+x3 2 <β.

20.? ?解：（1）設bn= Sn+n ，則b2n=Sn+n，

當n=1，2，3時，b21=S1+1=a1+1， ①

（b1+d）2=S2+2=2a1+d+2， ②

（b1+2d）2=S3+3=3a1+3d+3， ③

聯(lián)立①②③消去a1，得（b1+d）2=2b21+d， ④

（b1+2d）2=3b21+3d， ⑤

④×3-⑤得：b21-2b1d+d2=0，則b1=d， ⑥

將⑥代入⑤解出d= 1 2 （d=0舍去），

從而解得a1=- 3 4 ，所以an= 1 2 n- 5 4 .

此時，bn= Sn+n = 1 2 n對于任意正整數(shù)n滿足題意.

（2）因為對任意m，n∈ N *，m≠n，

都有 2Sm+n m+n =am+an+ am-an m-n ， ①

在①中取m=n+1，

2S2n+1 2n+1 =an+1+an+ an+1-an 1 =2an+1， ②

同理 2S2n+1 2n+1 =an+2+an-1+ an+2-an-1 3

= 4an+2+2an-1 3 ， ③

由②③知，2an+1= 4an+2+2an-1 3 ，

即2an+2-3an+1+an-1=0，

即an+2+an-2an+1=- 1 2 （an+1+an-1-2an），

②中令n=1，a3+a1-2a2=0，

從而an+2+an-2an+1=0，

即an+2-an+1=an+1-an，

所以，數(shù)列{an}成等差數(shù)列.

附加題參考答案

21.? ?B.解：由矩陣 A 屬于特征值6的一個特征向量為 α 1=? 11? ，

可得? 3 3c d? ? 11? =6? 11? ，即c+d=6，

由矩陣 A 屬于特征值1的一個特征向量為 α 2=? 3-2? ，

可得? 3 3c d? ? 3-2? =? 3-2? ，即3c-2d=-2，

解得 c=2，d=4. 即 A =? 3 32 4? ，

所以 A 的逆矩陣是? ?2 3? - 1 2 - 1 3? ?1 2? ?.

C.解：（1）x2+y2-4x-4y+6=0;

（2）圓的參數(shù)方程為 x=2+ 2 cosα，y=2+ 2 sinα，

所以x+y=4+2sin（α+ π 4 ），

那么x+y最大值為6，最小值為2.

22.? ?解：（1）因為小矩形的面積等于頻率，所以除[35，40）外的頻率和為0.70，

所以x= 1-0.70 5 =0.06，

所以500名志愿者中，年齡在[35，40）歲的人數(shù)為0.06×5×500=150（人）.

（2）用分層抽樣的方法，從中選取20名，

則其中年齡“低于35歲”的人有12名，“年齡不低于35歲”的人有8名.

故X的可能取值為0，1，2，3，

P（X=0）= C38 C320 = 14 285 ，P（X=1）= C112C28 C320 = 28 95 ，

P（X=2）= C212C18 C320 = 44 95 ，P（X=3）= C312 C320 = 11 57 ，

故X的分布列為：

X 0 1 2 3

P? 14 285? ?28 95? ?44 95? ?11 57

所以E（X）=0× 14 285 +1× 28 95 +2× 44 95 +3× 11 57 = 171 95 = 9 5 .

23.? ?解：因為f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex，

所以f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，

因為x=0為f（x）的極值點，所以由f′（0）=ae0=0，解得a=0，

檢驗，當a=0時，f′（x）=xex，當x<0時，f′（x）<0，當x>0時，f′（x）>0.

所以x=0為f（x）的極值點，故a=0.

當a=0時，

不等式f（x）>（x-1）（ 1 2 x2+x+1）（x-1）·ex>（x-1）（ 1 2 x2+x+1），

整理得（x-1）[ex-（ 1 2 x2+x+1）]>0，

即 x-1>0ex-（ 1 2 x2+x+1）>0

或 x-1<0ex-（ 1 2 x2+x+1）<0 ，

令g（x）=ex-（ 1 2 x2+x+1），

h（x）=g′（x）=ex-（x+1），h′（x）=ex-1，

當x>0時，h′（x）=ex-1>0;當x<0時，h′（x）=ex-1<0，

所以h（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以h（x）>h（0）=0，

即g′（x）>0，所以g（x）在 R 上單調(diào)遞增，而g（0）=0;

故ex-（ 1 2 x2+x+1）>0x>0;

ex-（ 1 2 x2+x+1）<0x<0，

所以原不等式的解集為{x|x<0或x>1}.

（作者：朱振華，江蘇省海門中學）