劉鳳艷

混沌同步是非線性科學(xué)中的一個(gè)重要課題，在過去的20 年中得到了廣泛的關(guān)注［1-3］.混沌同步可廣泛用于物理學(xué)、工程科學(xué)、安全通信等領(lǐng)域［4-8］.投影同步作為一種同步方法，由于其具有比例特性，能夠獲得更快的通信速度，近年來得到了廣泛的研究.投影同步是指主驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以同步到比例因子上.文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］提出了一類具有非線性輸入的混沌系統(tǒng)的同步控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)具有死區(qū)和扇區(qū)非線性的蔡氏混沌系統(tǒng)在兩個(gè)限制性假設(shè)下的自適應(yīng)投影同步系統(tǒng).然而，在許多實(shí)際情況下，某些系統(tǒng)的模型并不能被事先準(zhǔn)確地知道，并且由于這些不確定因素的影響，同步會(huì)被破壞.因此，研究具有系統(tǒng)不確定性的無序系統(tǒng)的投影同步是至關(guān)重要的.幸運(yùn)的是，自適應(yīng)控制對(duì)于未知參數(shù)混沌系統(tǒng)是一種有效的同步方法.

本文研究了一類具有三角結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)不確定性的主從混沌系統(tǒng)的一種實(shí)用的投影同步方法.在控制器的構(gòu)造中，不需要知道系統(tǒng)不確定項(xiàng)的先驗(yàn)知識(shí).

1 預(yù)備知識(shí)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層網(wǎng)絡(luò)，由于其強(qiáng)大的函數(shù)逼近能力，通常被用作非線性函數(shù)建模的工具，其表達(dá)形式如下：

其中：k=1,2,…,m，n,h和m分別是輸入層、隱藏層和輸出層中的神經(jīng)元數(shù)目，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以表示為

引理1 設(shè)f(x)是緊集上定義的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)于任何標(biāo)量ε＞0，存在一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)如（6）式，且滿足

2 問題陳述

考慮如下形式的主混沌系統(tǒng)：

其中：x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f(x)為非線性連續(xù)函數(shù).

其中：

對(duì)應(yīng)的從系統(tǒng)為

其中：u∈R是控制器，d(t)是外部干擾.

本文的目的是構(gòu)建一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，使系統(tǒng)（1）和（2）能夠?qū)崿F(xiàn)投影同步.所謂函數(shù)投影同步，指的是

這里γ≠0 是一個(gè)常數(shù).

3 主要成果

將同步誤差定義為

通過同步誤差的

其中：λ＞0，H(s)=λn-1+(n-1)λn-2s+…+sn-1是Hurwitz多項(xiàng)式，方程（9）可以寫成（10）式的形式.

其中：Cλ=[λn-1,(n-1)λn-2, … ,(n-1)λ, 1]T.

這個(gè)動(dòng)態(tài)量s可以寫成如下形式：

其中：C=[0,λn-1,(n-1)λn-2, … ,(n-1)λ]T.

基于主混沌系統(tǒng)（4）和從系統(tǒng)混沌（6），方程（11）可改寫為

其中：α(x,y)=f(x)-γf(y)-γd(t)是一個(gè)未知的非線性函數(shù).因?yàn)棣?x,y)是未知的，可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2）對(duì)其進(jìn)行逼近，定義

這里δ是一個(gè)近似誤差.由引理1，存在常數(shù)ε＞0，使得 ||δ≤ε，通過化簡可以得到

其中：l是一個(gè)正常數(shù).

根據(jù)上述討論，同步控制器可以寫成如下形式：

其中：k＞0 是設(shè)計(jì)參數(shù)，τ?未知模糊系統(tǒng)參數(shù)τ=‖ ‖θ2的估計(jì).

參數(shù)適應(yīng)律為

其中：m＞0 是一個(gè)常數(shù).

定理1 對(duì)于主混沌系統(tǒng)（4）和從混沌系統(tǒng)（6），在（15）式定義的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制器和（16）式定義的參數(shù)適應(yīng)律下，可以得到：

（I）閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)將保持有界；

（II）同步誤差收斂到零的時(shí)間是有限的；

證明 由（12）式～（14）式可以得到

下面定義Lyapunov函數(shù)

將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有

由（16）式、（18）式得到

進(jìn)一步，我們有

然后，同步誤差將收斂到原點(diǎn)的可調(diào)區(qū)域.根據(jù)（23）式得到

因此，如果選擇足夠大的k,m和足夠小的l，能夠使得同步誤差趨于0.

4 仿真研究

考慮如下陀螺混沌系統(tǒng)：

選取a=10,b=1,c1=0.5,c2=0.05,?=25,d=35.5，則系統(tǒng)（25）有混沌出現(xiàn)，如圖1所示.

圖1 陀螺系統(tǒng)的混沌

其他參數(shù)選擇為λ=2,ki=1,i=1,2,則主系統(tǒng)、從系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始條件分別為x(0)=[1.6,0]，y(0)=[-4.9,6.5]，W=0.系統(tǒng)的不確定項(xiàng)選擇為4x2-3x32+7 sinx1.則仿真結(jié)果如圖2和圖3所示.圖2繪制的是同步誤差的收斂性曲線，圖3繪制的是控制輸入的時(shí)間響應(yīng)曲線.從這些結(jié)果可以看出，同步誤差收斂于原點(diǎn).

圖2 同步誤差曲線

圖3 控制輸入曲線

5 結(jié)論

本文提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，用于求解一類三角結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的投影同步問題，基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器實(shí)現(xiàn)投影同步，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和同步誤差的收斂性，給出了基于Lyapunov 的分析，仿真結(jié)果證實(shí)了本文研究結(jié)果的正確性.