王先斌

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中占有重要地位.從以往多年高考的內(nèi)容來(lái)看，無(wú)論是大題還是小題都有對(duì)解析幾何的考查;從考試的難度來(lái)看，壓軸題都是以解析幾何題為主. 可以說(shuō)，解析幾何題是學(xué)生高考的“攔路虎”，是學(xué)生在攀登解析幾何高峰的過(guò)程中的一大障礙. 下面，筆者介紹幾種具有針對(duì)性和簡(jiǎn)潔性的解題方法與策略.

一、利用重要結(jié)論解決相關(guān)問(wèn)題

在解析幾何部分中，高考全國(guó)卷不考查橢圓與雙曲線的第二定義，這使得拋物線的定義變得更加重要.那拋物線的定義在全國(guó)卷中又是如何考查的呢？筆者通過(guò)仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，高考全國(guó)卷中通常以過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所得的焦點(diǎn)弦或焦半徑問(wèn)題進(jìn)行考查. 如果同學(xué)們能熟記相關(guān)結(jié)論并靈活運(yùn)用，那么解答也將變得得心應(yīng)手.

結(jié)論一：拋物線y2=2px（ p>0），過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB所在直線傾斜角為θ.可得上焦半徑，下焦半徑，弦長(zhǎng).

拋物線x2=2py（ p>0），過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB所在直線傾斜角為θ. 可得左焦半徑，右焦半徑，弦長(zhǎng).關(guān)于拋物線另外兩種標(biāo)準(zhǔn)方程下的結(jié)論，利用對(duì)稱性可以求解. 以上就是拋物線中焦半徑、焦點(diǎn)弦與直線傾斜角之間的公式，我們把它稱為結(jié)論一.

下面我們來(lái)看高考真題應(yīng)用：

【例1】（2017全國(guó)卷Ⅰ）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）

A.16 ? ? ? B.14 ? ? ? C.12 ? ? ? D.10

【解析】設(shè)直線l1的傾斜角為α，運(yùn)用結(jié)論一可得：，則，|AB|+|DE|=

.

所以|AB|+|DE|

. 答案為A.

關(guān)于拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦問(wèn)題，還有其他的一些結(jié)論和運(yùn)用，下面我們從真題出發(fā)，探尋此類問(wèn)題的重要推論.

結(jié)論二：在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程下，以焦半徑為直徑的圓與不過(guò)焦點(diǎn)的坐標(biāo)軸相切. 類似地，以焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.

【例2】（2013全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)拋物線C：y2=2px（ p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（0，2），則拋物線C的方程為（ ）

A.y2= 4x或y2= 8x ? ? ? ?B.y2= 2x或y2= 8x

C.y2= 4x或y2= 16x ? ? ?D.y2=2x或y2= 16x

【解析】設(shè)（0，2）為點(diǎn)N，該圓的圓心為點(diǎn)D，則點(diǎn)D為M、F中點(diǎn). 由題意知該圓半徑為，，準(zhǔn)線方

程為，|MF|=5.則由拋物線的定義可知，，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得. 我們發(fā)現(xiàn)圓心D到y(tǒng)軸距離為，與該圓半徑相等，所以該圓與y軸相切. 以上推導(dǎo)方法具有一般性. 利用該結(jié)論可知N（0，2）為切點(diǎn)，所以DN與y軸垂直，可得，所以，代入拋物線方程可得p=2或p=8. 答案為C.

【例3】（2018全國(guó)卷Ⅲ）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn). 若∠AMB=90°，則k= ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

【解析】因?yàn)椤螦MB=90°，所以點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上. 又因?yàn)辄c(diǎn)M在準(zhǔn)線上，且該圓與準(zhǔn)線相切，所以點(diǎn)M為切點(diǎn). 設(shè)線段AB中點(diǎn)為N（該圓圓心），則中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同. 通過(guò)點(diǎn)差法可得.

在例3中我們用到了點(diǎn)差法，這是一種解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的普遍方法，下面筆者進(jìn)行重點(diǎn)講解.

結(jié)論三：橢圓與斜率為k （k≠0）的直線l相交于不同的兩點(diǎn)A，B，其中AB的中點(diǎn)為M.設(shè)原點(diǎn)O與M連線的斜率為kOM，則.（點(diǎn)差法）

當(dāng)上述橢圓C的方程變?yōu)闀r(shí)，利用點(diǎn)差法按同樣方式運(yùn)算可得相似的結(jié)論：.當(dāng)上述條件中的橢圓變?yōu)殡p曲線時(shí)，結(jié)論為：;當(dāng)雙曲線方程為時(shí)，結(jié)論為：.接下來(lái)我們看看高考真題中點(diǎn)差法的應(yīng)用.

【例4】（2018全國(guó)卷Ⅲ）已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1， m）（m>0）. 證明：.

【解析】寫出“點(diǎn)差法”的演算步驟可得，所以，. 由題設(shè)可知點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部且在x軸上方，所以，故.

利用點(diǎn)差法，我們能快速地找到弦中點(diǎn)、弦斜率及曲線方程間的聯(lián)系，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速而準(zhǔn)確地解題.

二、距離問(wèn)題與點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題的互化

處理距離問(wèn)題，關(guān)鍵在于將斜向的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橫向或縱向的距離問(wèn)題，這樣的轉(zhuǎn)化才能方便坐標(biāo)與距離之間的相互表達(dá)，從而使題目的運(yùn)算變得更簡(jiǎn)單.

【例5】（2016全國(guó)卷III）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn). P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸. ?過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（ ）

A. ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? D.

【解析】題目中動(dòng)點(diǎn)較多，相似三角形也較多，多數(shù)線段長(zhǎng)度不定并且表達(dá)復(fù)雜.但我們應(yīng)該注意到A、F、O、B是定點(diǎn)且能寫出坐標(biāo)，由此可以利用坐標(biāo)快速地寫出這四個(gè)點(diǎn)相互間所成線段的長(zhǎng)度.解題的思路就是利用三角形的相似性，將其余線段的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)到A、F、O、B所成線段的長(zhǎng)度關(guān)系上.

設(shè)O、E中點(diǎn)為Q，易知△AFM∽△AOE，△BOQ∽

△BFM. 所以，，可得. ?答案為A.

【例6】（2014全國(guó)卷II）設(shè)F1， F2分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)，M是第一象限內(nèi)C上一點(diǎn)，且MF2⊥x軸，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a， b.

【解析】本題的關(guān)鍵在于怎么處理?xiàng)l件，如果采用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解，運(yùn)算量極大.可作NN'⊥x軸于點(diǎn)N，注意到△NN'F1∽△MF2F1，由可得，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可將這組斜向線段之比轉(zhuǎn)為兩組橫向、縱向線段之比（橫向、縱向線段的長(zhǎng)度方便用坐標(biāo)表示），即. 然后，可以從這些線段的關(guān)系得到點(diǎn)N的坐標(biāo)并代入橢圓方程，這樣整個(gè)運(yùn)算將大大簡(jiǎn)化，解答如下.

記直線MN與y軸交點(diǎn)為D，則MF2//OD且O為F1F2中點(diǎn)，所以MF2=2OD =4，而①，作NN'⊥x軸于點(diǎn)N，則有△NN'F1∽△MF2F1.

由可得.

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為，代入橢圓方程C可得②，又因?yàn)閏2=a2-b2③，聯(lián)立①②③可解得.

三、利用數(shù)形轉(zhuǎn)化

解析幾何的核心就是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，解題過(guò)程中的一大難點(diǎn)就是如何將具體的幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化，并且使得代數(shù)轉(zhuǎn)化后的運(yùn)算盡量簡(jiǎn)潔.下面我們就來(lái)探討幾種高考中常見(jiàn)的數(shù)形轉(zhuǎn)化.

類型一：對(duì)于已知直徑的圓，點(diǎn)與圓位置關(guān)系的向量表達(dá).

【例7】（2017全國(guó)卷III）已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

【解析】對(duì)于本題，我們可以聯(lián)立直線與拋物線的方程并利用韋達(dá)定理得到圓心，再通過(guò)弦長(zhǎng)公式算出直徑，進(jìn)而寫出圓的方程，最后將原點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程看是否成立. 這種解法的好處是不需過(guò)多的思考，使同學(xué)們能夠單刀直入地解題. 但“人無(wú)遠(yuǎn)慮，必有近憂”，此種解法的計(jì)算量極大，不僅耗費(fèi)時(shí)間，而且出錯(cuò)的概率大大增加. 仔細(xì)審題，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)與A，B不重合，再思考圓上點(diǎn)的性質(zhì)，能得到原點(diǎn)O在圓M上等價(jià)于∠AOB=90°. 關(guān)于此問(wèn)題我們可以借助于向量或斜率的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使整個(gè)代數(shù)運(yùn)算大大簡(jiǎn)化.

設(shè)直線l：x=my+2，A（x1， y1），B（x2， y2）.由，

可得y2-2my-4=0，y1+y2=2m，y1y2=-4，所以

.

因?yàn)镺與A、B不重合，所以O(shè)A⊥OB，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

總結(jié)：在以AB為直徑的圓上，C是不同于A、B的點(diǎn)，則點(diǎn)C在圓內(nèi)，圓上，圓外分別等價(jià)于，，.

【例8】（2015全國(guó)卷I）已知M（x0， y0）是雙曲線C：

上的一點(diǎn)，F(xiàn)1， F2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則y的取值范圍是（ ）

A.（，） ? ? ? ? ? ?B.（，）

C.（，） ? ? ? ?D.（，）

【解析】本題與例7正好形成反向轉(zhuǎn)化，由可知M在以F1， F2為直徑的圓的內(nèi)部.

由C：，可得F1，F(xiàn)2為直徑的圓的方程為.

由，可得;由可知M在以F1，F(xiàn)2為直徑的圓的內(nèi)部，所以.答案為A.

類型二：利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化.

【例9】（2015全國(guó)卷I）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：與直線y = kx+a（a>0）交于M，N兩點(diǎn). y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.

【解析】本題的關(guān)鍵在于解決“怎么用代數(shù)形式表達(dá)∠OPM=∠OPN？”這一幾何問(wèn)題，因?yàn)辄c(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，所以當(dāng)∠OPM=∠OPN時(shí)，直線PM、PN關(guān)于y軸對(duì)稱.由此可知，直線PM、PN的傾斜角互補(bǔ)，故直線PM、PN的斜率互為相反數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)為求證直線PM、PN的斜率相加為零的簡(jiǎn)單代數(shù)問(wèn)題.

證明：設(shè)P（0，b）為符合題意的點(diǎn)，M（x1， y1），N（x2， y2），直線PM，PN的斜率分別為k1， k2. 將y=kx+a代入C的方程整理得x2+4kx-4a = 0，所以x1+ x2= 4k，x1 x2=-4a.則.當(dāng)b= -a時(shí)，有k1+ k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，又因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上，所以∠OPM=∠OPN，P（0， -a）符合題意.

【例10】（2017全國(guó)卷II）過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M（M在x的軸上方），l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（ ）

A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? D.

【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角為60°，又因?yàn)镸N與準(zhǔn)線垂直，所以MN與x軸平行，所以∠NMF=60°. 由拋物線定義可知，故△NMF為等邊三角形.根據(jù)前文介紹的焦半徑與傾斜角公式，在邊長(zhǎng)為4的等邊△NMF中可得M到直線NF的距離為.

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)直線斜率與傾斜角關(guān)系、拋物線定義、焦半徑公式三個(gè)內(nèi)容的完美應(yīng)用.

通過(guò)以上內(nèi)容，我們從三個(gè)方面總結(jié)了解析幾何的解題方法和策略. 從中我們可以體會(huì)到，解析幾何的解題不光只是復(fù)雜的計(jì)算，它還有很多有趣的結(jié)論和美妙的轉(zhuǎn)化.有了這些方法和策略，我們的解題可以變得高效又富有樂(lè)趣. 當(dāng)然，奇妙的解析幾何中還有很多有趣的問(wèn)題，還有很多的好結(jié)論、好技巧和好方法，希望同學(xué)們不斷努力、繼續(xù)開(kāi)拓！