宮艷麗, 薩楚爾夫, 張采花

(1.內(nèi)蒙古電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 呼和浩特市 010022; 2. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)圖書(shū)館， 呼和浩特市010022)

1 引 言

“墨子號(hào)”量子衛(wèi)星的成功發(fā)射，標(biāo)志著我國(guó)在量子通信信息安全傳遞的國(guó)際領(lǐng)先水平. 量子通信技術(shù)和量子計(jì)算等量子信息科學(xué)領(lǐng)域的突破離不開(kāi)量子信息的理論支撐. 量子糾纏交換、量子密集編碼、量子離物傳態(tài)等[1, 2]都是利用最基本的量子資源去拓展量子通信領(lǐng)域. 作為最基本的量子資源之一的量子糾纏[1]在量子信息論中起著非常重要的作用. Phoenix等[3, 4]將熵引入量子光學(xué)以來(lái)，人們?cè)诹孔酉到y(tǒng)研究中充分利用熵的特性即包含系統(tǒng)密度矩陣的全部統(tǒng)計(jì)矩，詳盡描述了糾纏度. 到目前為止，人們已經(jīng)分析了一系列系統(tǒng)中的量子糾纏特性[5, 6]，關(guān)于二項(xiàng)式光場(chǎng)[7, 8]與原子組成的各種系統(tǒng)的研究或是關(guān)于運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子[9]與不同場(chǎng)態(tài)[10, 11]之間所組成系統(tǒng)的各種量子特性的討論已廣泛討論，但是二項(xiàng)式光場(chǎng)與運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子的場(chǎng)熵或原子熵的演化的討論還未涉及到，本文主要是利用Von Neumann 熵[6]，討論二項(xiàng)式光場(chǎng)與運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子相互作用系統(tǒng)的場(chǎng)熵演化特性，主要是當(dāng)光場(chǎng)調(diào)節(jié)參數(shù)、場(chǎng)膜結(jié)構(gòu)參數(shù)、光場(chǎng)中的光子數(shù)等參量發(fā)生改變時(shí)對(duì)系統(tǒng)場(chǎng)熵的影響進(jìn)行討論. 由于實(shí)際當(dāng)中原子是運(yùn)動(dòng)的并且具有糾纏性，那么對(duì)于原子運(yùn)動(dòng)所引起的量子效應(yīng)不容忽視，分析運(yùn)動(dòng)情況下系統(tǒng)場(chǎng)熵演化規(guī)律在實(shí)際應(yīng)用中具有較高的理論參考價(jià)值.

2 模型建立與求解

理論模型選取的是運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子與二項(xiàng)式光場(chǎng)相互作用所組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)的哈密頓量[10]為(?=1):

(1)

(2)

二項(xiàng)式光場(chǎng)[13]一般定義為:

(3)

光場(chǎng)的初始態(tài)矢為：

(4)

初始時(shí)刻兩運(yùn)動(dòng)原子進(jìn)入腔時(shí)處在糾纏態(tài)

(5)

那么，t=0時(shí)刻系統(tǒng)的態(tài)矢為

(6)

考慮系統(tǒng)簡(jiǎn)化，這里僅僅考慮共振情況(ω=ω0)下隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)在任意時(shí)刻(t>0)態(tài)矢可表示為

Bn(t)|eA,gB,n〉+Cn(t)|gA,eB,n〉+

Dn(t)|gA,gB,n+1〉]

(7)

(8)

式中

考慮原子的速度為υ=gL/π，則

F(t)=[1-cos(pgt)]/pg

(9)

利用前面所得到的關(guān)系式，討論運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子與二項(xiàng)式態(tài)光場(chǎng)間的量子糾纏特性.

3 量子糾纏的計(jì)算

利用Von Neumann 統(tǒng)計(jì)熵[6,14-17]，度量原子與光場(chǎng)相互作用系統(tǒng)的量子糾纏.由于科學(xué)家們很早就發(fā)現(xiàn)熵的計(jì)算包括了系統(tǒng)中密度矩陣的高階統(tǒng)計(jì)矩，所含信息量最全的物理量之一，通過(guò)場(chǎng)熵或者原子熵的值來(lái)說(shuō)明原子與光場(chǎng)之間的糾纏度.在這里主要利用場(chǎng)熵來(lái)度量系統(tǒng)中的量子糾纏. 系統(tǒng)中原子熵、場(chǎng)熵和系統(tǒng)熵滿足三角不等式:

|Sa(t)-Sf(t)|≤S(t)≤Sa(t)+Sf(t)

(10)

系統(tǒng)的密度矩陣為ρ=|φ(t)〉〈φ(t)|，場(chǎng)的約化密度算符為：

|ν1(t)〉〈ν1(t)|+|ν2(t)〉〈ν2(t)|+

|τ(t)〉〈τ(t)|=|μ(t)〉〈μ(t)|+

|ν(t)〉〈ν(t)|+|τ(t)〉〈τ(t)|

(11)

其中

(12)

當(dāng)t≥0 的任意時(shí)刻，場(chǎng)熵與原子的熵相等[7,10](Sa(t)=Sf(t)). 在這里利用場(chǎng)的約化密度矩陣得出量子系統(tǒng)的場(chǎng)熵為

(13)

式中λfi(t)(i=1，2，3)為場(chǎng)約化密度算符的本征值.

4 數(shù)值計(jì)算與分析

通過(guò)改變系統(tǒng)的不同參量，討論系統(tǒng)的量子糾纏演化情況，重點(diǎn)分析場(chǎng)熵隨不同參數(shù)的變化隨時(shí)間演化特性. 然而我們知道當(dāng)場(chǎng)熵Sf等于它的最小值0時(shí)，表示光場(chǎng)和原子處于退糾纏態(tài)，接近于0時(shí)為解糾纏態(tài)；而系統(tǒng)最大量子糾纏度接近Sf=ln3≈1.1 ，表示光場(chǎng)和原子處在最大糾纏態(tài). 下面在圖1-3中，分別討論M、η、p分別取不同值時(shí)系統(tǒng)糾纏特性.

4.1 光場(chǎng)變量M對(duì)場(chǎng)熵的影響

當(dāng)光場(chǎng)中光子數(shù)逐漸增大，觀察系統(tǒng)的量子糾纏演化情況，其數(shù)值結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1.圖1(a)-(d)分別表示當(dāng)光場(chǎng)參數(shù)η和場(chǎng)模參數(shù)p為恒定值時(shí)，光場(chǎng)的光子數(shù)M逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)場(chǎng)熵的演化情形.由圖1可知，場(chǎng)熵的演化情況有明顯的周期性，說(shuō)明原子與光場(chǎng)的糾纏呈周期性的變化. 當(dāng)光場(chǎng)中的光子數(shù)較少時(shí)，場(chǎng)熵在周期內(nèi)有四峰振蕩，振幅較大，并且出現(xiàn)退糾纏現(xiàn)象，或是部分時(shí)刻接近退糾纏. 隨著光場(chǎng)中光子數(shù)的增多，場(chǎng)熵的振動(dòng)周期并沒(méi)有發(fā)生改變，但是周期內(nèi)的振蕩頻率減小，變?yōu)槿逯芷谛哉袷?，振蕩幅度減小，振蕩相對(duì)較平穩(wěn)，隨著光子數(shù)增大場(chǎng)熵的退糾纏持續(xù)時(shí)間也逐漸縮短.

4.2 改變光場(chǎng)中的光子數(shù)系統(tǒng)場(chǎng)熵的變化

圖2(a)—(d)為光場(chǎng)中的光子數(shù)為定值，場(chǎng)模結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的情況下場(chǎng)熵的演化規(guī)律如圖所示. 當(dāng)場(chǎng)調(diào)節(jié)參量η較小時(shí)，場(chǎng)近乎于Fock態(tài)時(shí)，場(chǎng)熵的演化呈明顯的周期性，周期內(nèi)多次出現(xiàn)退糾纏現(xiàn)象，并以四峰的頻率振蕩，場(chǎng)熵的振蕩幅度相對(duì)較??；隨著場(chǎng)調(diào)節(jié)參量η的增大時(shí)，場(chǎng)熵的完全退糾纏周期性沒(méi)有發(fā)生改變， 但是周期內(nèi)退糾纏的次數(shù)明顯減小，但是振幅增大，當(dāng)場(chǎng)調(diào)節(jié)參數(shù)取較大值時(shí)即接近于相干態(tài)時(shí)，雖然變化周期未變但振幅又回落了，通過(guò)圖2(a)—(d)的變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)場(chǎng)調(diào)節(jié)參數(shù)η處于中間值，即光場(chǎng)處于二項(xiàng)式態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的量子糾纏度幅值最大，最接近最大糾纏度.并且退糾纏的次數(shù)最少，場(chǎng)熵的退糾纏時(shí)間最短.這對(duì)我們今后在實(shí)驗(yàn)上制備相關(guān)糾纏態(tài)具有一定意義.

4.3 場(chǎng)模參量改變引起系統(tǒng)糾纏度的變化

a:M=3 b:M=30 c:M=50 d:M=100圖1 η=0.03; P=1時(shí)場(chǎng)熵隨時(shí)間演化特性曲線 Fig. 1 Time evolutions of the field entropy for η=0.03 and p=1

a:η=0.0001 b:η=0.001 c:η=0.01 d:η=0.1 圖 2 p=1; M=50時(shí)場(chǎng)熵隨時(shí)間演化特性曲線Fig. 2 Time evolutions of the field entropy for p=1andM=50

a:p=1 b:p=3 c:p=5 d:p=8 圖3 η=0.03, M=30時(shí)場(chǎng)熵隨時(shí)間演化特性曲線Fig. 3 Time evolutions of the field entropy forη=0.03 and M=30

5 結(jié) 論

考慮介于Fock態(tài)和相干態(tài)之間的二項(xiàng)式態(tài)考慮其特殊性，這里主要研究了其與運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子相互作用系統(tǒng)的糾纏特性，分析了原子運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生變化是場(chǎng)熵的演化情形以及影響場(chǎng)熵變化的場(chǎng)模結(jié)構(gòu)參數(shù)和場(chǎng)調(diào)節(jié)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)對(duì)場(chǎng)熵的影響. 結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)光場(chǎng)調(diào)節(jié)參數(shù)較大或較小時(shí)，也就是近乎于Fock態(tài)和相干態(tài)時(shí)，場(chǎng)熵的演化具有明顯的周期性變化，但是最大糾纏度不高，振幅較小，光場(chǎng)調(diào)節(jié)參數(shù)較小時(shí)退糾纏時(shí)間持續(xù)較長(zhǎng). 然而處于二項(xiàng)式態(tài)時(shí)，場(chǎng)熵的糾纏度較高，最接近系統(tǒng)糾纏最大值. 通過(guò)計(jì)算分析及場(chǎng)熵圖形演化所示可以得出，原子運(yùn)動(dòng)可以引起場(chǎng)熵周期性變化，所以改變?cè)舆\(yùn)動(dòng)速度(或者場(chǎng)模結(jié)構(gòu)參數(shù))，致使場(chǎng)熵的演化周期發(fā)生明顯變化，隨著取值增大，使得場(chǎng)熵演化周期變短，系統(tǒng)出現(xiàn)退糾纏的頻次增加，同時(shí)場(chǎng)熵的最大值隨場(chǎng)模結(jié)構(gòu)參數(shù)的增大而減小. 另外，場(chǎng)的光子數(shù)對(duì)系統(tǒng)的糾纏度也有影響，光子數(shù)的變化雖然不影響場(chǎng)熵的演化周期性，但是光子數(shù)的變化影響退糾纏持續(xù)時(shí)間，當(dāng)光子數(shù)較少時(shí)，周期內(nèi)振蕩頻率較大，并且退糾纏持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，隨著光子數(shù)增大，系統(tǒng)糾纏度變化周期不變但是，周期內(nèi)振蕩頻率減小，一般為三峰振蕩，但是振蕩幅度隨之降低.

為了得到較好的理論參數(shù)值支撐量子信息工程的基礎(chǔ)，有利于調(diào)整量子計(jì)算、量子隱形傳態(tài)及量子密碼的應(yīng)用范圍，現(xiàn)將運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子分別與二項(xiàng)式光場(chǎng)、壓縮相干態(tài)、薛定諤貓態(tài)相互作用的系統(tǒng)場(chǎng)熵演化情況進(jìn)行對(duì)比，為今后實(shí)驗(yàn)制備提供有力依據(jù).

(1) 原子速度和場(chǎng)模結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)糾纏度的影響. 經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，考慮原子靜態(tài)時(shí)只有在初始時(shí)刻系統(tǒng)的糾纏度為零，其它任意時(shí)刻都未出現(xiàn)退糾纏現(xiàn)象. 都呈現(xiàn)周期行變化并且隨著常模結(jié)構(gòu)參數(shù)的增大振蕩周期明顯縮短，但是場(chǎng)模結(jié)構(gòu)參數(shù)影響著糾纏的最大值和周期內(nèi)糾纏峰值的變化頻率. 當(dāng)場(chǎng)模參數(shù)為p=1時(shí)，與薛定諤貓態(tài)相互作用系統(tǒng)糾纏度[薛定諤]在周期內(nèi)變化較為平穩(wěn)，且糾纏最大值較高，當(dāng)p=3時(shí)，與二項(xiàng)式態(tài)和壓縮相干態(tài)相互作用系統(tǒng)糾纏度周期內(nèi)變化較為平穩(wěn)，雙峰微小振蕩；然而當(dāng)p=8時(shí)，系統(tǒng)的振蕩頻率明顯加快，在π周期內(nèi)都出現(xiàn)四次振蕩，但是與不同場(chǎng)態(tài)作用的系統(tǒng)糾纏度的最大值發(fā)生明顯變化，與薛定諤貓態(tài)相互作用系統(tǒng)糾纏度最大值接近于1，與二項(xiàng)式光場(chǎng)相互作用系統(tǒng)的退糾纏現(xiàn)象明顯，時(shí)間持續(xù)較長(zhǎng).

(2)系統(tǒng)糾纏度的比較.運(yùn)動(dòng)糾纏雙原子分別與三種場(chǎng)態(tài)[9,14]所構(gòu)成的系統(tǒng)都是利用相同算法即場(chǎng)熵度量系統(tǒng)糾纏度，經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)場(chǎng)熵的變化周期是相同的；當(dāng)原子運(yùn)動(dòng)速度一定時(shí)，三種系統(tǒng)的糾纏度幾乎接近最大值，只是周期內(nèi)振蕩頻率不同，接近退糾纏現(xiàn)象的程度不同. 相比較與二項(xiàng)式光場(chǎng)作用時(shí)周期內(nèi)糾纏度變化相對(duì)較穩(wěn)定.