拓明秀，張貴倉，汪 凱

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

Bézier方法因具有多種利于曲線設(shè)計(jì)的優(yōu)良特性而成為計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(computer aided geometric design，CAGD)的重要方法之一[1]。但Bézier曲線呈現(xiàn)出的剛性給曲線的調(diào)節(jié)和修改帶來較大的困難。為了解決這類問題，很多學(xué)者做出了大量工作，提出了一系列帶有形狀參數(shù)的類Bezier曲線，這些曲線主要集中在代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)空間[2-5]和三角多項(xiàng)式函數(shù)空間[6-11]。在文獻(xiàn)[12]中，劉等將拓?fù)溆成浜桶j(luò)理論運(yùn)用到一類三次Bézier曲線然后分析了形狀參數(shù)對其的影響。在文獻(xiàn)[13]中，嚴(yán)等在不改變多項(xiàng)式基函數(shù)的類型且不增大多項(xiàng)式基函數(shù)次數(shù)的前提下，對三次Bézier曲線的控制多邊形頂點(diǎn)引入了參數(shù)并與Bernstein基函數(shù)進(jìn)行線性組合構(gòu)造出新的含參數(shù)的擴(kuò)展基。在文獻(xiàn)[14]中，汪等基于三角域構(gòu)造了一種具有高階連續(xù)性的含兩個(gè)形狀參數(shù)的擬三次TC-Bézier曲線曲面。

盡管這兩種方法都取得了良好效果，但兩者各有優(yōu)缺點(diǎn)，比如代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)空間構(gòu)造的曲線不能精確表示橢圓弧、圓弧曲線等，三角多項(xiàng)式函數(shù)空間雖然可以精確地表示橢圓弧、圓弧，但是卻沒有代數(shù)多項(xiàng)式空間構(gòu)造的曲線計(jì)算簡單和直觀。

為了解決傳統(tǒng)文獻(xiàn)出現(xiàn)的問題，本文結(jié)合加權(quán)思想，以Bézier曲線與三次T-Bézier曲線為工具，在代數(shù)多項(xiàng)式空間和三角多項(xiàng)式空間同時(shí)進(jìn)行擴(kuò)展，得到了新的ωλμ-TC-Bézier曲線。新構(gòu)造的曲線在解決傳統(tǒng)Bézier曲線的擴(kuò)展問題的同時(shí)能夠克服Bézier曲線不能精確表示二次曲線的弱點(diǎn)。應(yīng)用實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ωλμ-TC-Bézier曲線對幾何設(shè)計(jì)研究十分有效。

1 Bézier曲線與三次T-Bézier曲線

1.1 Bézier曲線

給定控制多邊形頂點(diǎn)Qi(i=0,1,…,n)， 當(dāng)u=[0,1] 時(shí)，n次Bézier曲線定義如下

Bézier曲線具有幾何不變性、對稱性、凸包性、變差縮減性和保凸性等優(yōu)越的性質(zhì)。

1.2 三次T-Bézier曲線

給定控制多邊形頂點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n)， 當(dāng)u∈[0,π/2] 時(shí)，n次T-Bézier曲線定義如下

其中，Ti,n(u)(i=0,1,…,n) 為三次T-Bézier曲線的基函數(shù)。當(dāng)n=3，λ,μ∈[-2,1] 時(shí)，T-Bézier曲線基函數(shù)具有如下形式

(1)

該基函數(shù)具有非負(fù)性、權(quán)性、對稱性等性質(zhì)，文獻(xiàn)[9]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步驗(yàn)證了其具有全正性等性質(zhì)。由此得到三次T-Bézier曲線在具有Bézier曲線優(yōu)良性質(zhì)的同時(shí)還具有保形性。

2 ωλμ-TC-Bézier曲線基函數(shù)的定義及性質(zhì)

2.1 基函數(shù)的定義

當(dāng)n=3時(shí)，式(1)是三次ωλμ-TC-Bézier曲線的基函數(shù)，該基函數(shù)的形狀參數(shù)是影響曲線基函數(shù)形狀的主要因素，圖1給出了對形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)時(shí)ωλμ-TC-Bézier曲線基函數(shù)的圖像

(2)

圖1 ωλμ-T-Bézier曲線基函數(shù)圖像

2.2 基函數(shù)的性質(zhì)

ωλμ-TC-Bézier曲線基函數(shù)具有下列性質(zhì)：

(1)非負(fù)性：Di,n(u)≥0。

根據(jù)Bernstein基函數(shù)和三次T-Bézier曲線基函數(shù)具有權(quán)性能夠得到Di,n(u) 的權(quán)性。

(3)端點(diǎn)性質(zhì)：在定義區(qū)間的端點(diǎn)的端點(diǎn)處，有

(6)全正性：由Bernstein基函數(shù)和三次T-Bézier基函數(shù)的全正性[9]，可以推出ωλμ-TC-Bézier曲線基函數(shù)的全正性。

3 ωλμ-TC-Bézier曲線的定義及性質(zhì)

定義2 給定4個(gè)控制頂點(diǎn)Vi(i=0,1,2,3)， 對于u∈[0,1]，ω∈[0,1]，λ,μ∈[-2,1]定義

(3)

稱式(2)為含有形狀參數(shù)ω,λ,μ的三次ωλμ-TC-Bézier曲線。

可以由ωλμ-TC-Bézier曲線基函數(shù)的性質(zhì)，推出其對應(yīng)的曲線具有以下性質(zhì)：

(1)幾何不變性：

由于曲線基函數(shù)具有權(quán)性，故ωλμ-TC-Bézier曲線的形狀只取決于控制頂點(diǎn)，而與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

(2)對稱性：

當(dāng)λ=μ時(shí)，若將曲線的控制頂點(diǎn)V0,V1,V2,V3的順序取為V3,V2,V1,V0時(shí)，得到的是同一條ωλμ-TC-Bézier曲線，只是該曲線與原曲線的方向相反。

(3)端點(diǎn)性質(zhì)：

ωλμ-TC-Bézier曲線起始于V0點(diǎn)，終止于Vn點(diǎn)，即

曲線首末頂點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為

(4)

首末頂點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為

(5)

(4)凸包性：

由曲線基函數(shù)的權(quán)性和非負(fù)性可以得到曲線具有凸包性，即曲線完全被包圍在由特征多邊形所形成的凸包之內(nèi)。

(5)變差縮減性：

由ωλμ-TC-Bézier曲線基函數(shù)具有全正性能夠得到ωλμ-TC-Bézier曲線的變差縮減性。

(6)退化性：

當(dāng)ωλμ-TC-Bézier曲線的取形狀參數(shù)ω=1時(shí)，曲線退化為三次Bézier曲線；當(dāng)形狀參數(shù)ω=0時(shí)，退化為三次T-Bézier曲線；當(dāng)ω=0且λ=μ時(shí)，退化為文獻(xiàn)[9]中的T-Bézier曲線。

(7)保凸性：

由ωλμ-TC-Bézier曲線具有變差縮減性可以得知曲線具有保凸性。

4 ωλμ-TC-Bézier曲線的拼接

盡管ωλμ-TC-Bézier方法具有許多優(yōu)點(diǎn)，但在實(shí)際造型當(dāng)中，單個(gè)的ωλμ-TC-Bézier曲線通常無法準(zhǔn)確地描述結(jié)構(gòu)復(fù)雜的曲線，所以為了保證曲線的光滑性常采用拼接的方法。本文討論n=3時(shí)，ωλμ-TC-Bézier曲線的拼接。

4.1 G1連續(xù)條件

為了實(shí)現(xiàn)D1(u) 和D2(u) 兩條曲線在公共連接點(diǎn)處的G1光滑拼接，首先要求D1(u) 的末頂點(diǎn)與D2(u) 的起始點(diǎn)位置連續(xù)，即P3=Q0。 其次，兩條曲線還需在公共連接點(diǎn)處的切矢方向相同，即

D′2(0)=kD′1(1)，k>0

(6)

由式(4)得到D1(u) 末頂點(diǎn)和D2(u) 起始點(diǎn)的一階切矢分別為

(7)

(8)

將式(7)和式(8)帶入式(6)可得

(9)

4.2 G2連續(xù)條件

為了使兩條曲線D1(u) 和D2(u) 在公共連接點(diǎn)處達(dá)到G2光滑拼接，必須要求兩曲線具有公共的曲率矢，也就說除了要滿足G1連續(xù)的條件外，還需要滿足副法矢相同，曲率相等

D″2(0)=δD″1(1)

(10)

D1(u) 和D2(u) 在連接點(diǎn)處曲率相等也就是要滿足關(guān)系

(11)

把式(6)和式(10)同時(shí)代入式(11)后，得到兩條曲線在連接點(diǎn)處達(dá)到曲率連續(xù)的條件是

δ=k2

(12)

由式(5)得D1(u) 的末端和D2(u) 首端的二階切矢分別為

(13)

將式(12)和式(13)帶入式(10)后整理可得

(14)

由此可得式(11)和式(14)是兩條ωλμ-TC-Bézier曲線在拼接時(shí)達(dá)到G2連續(xù)的條件。圖2是當(dāng)λ1=μ1=0.6，λ2=μ2=0.6，ω1=0.2時(shí)，ω2=0.5，D1(u) 和D2(u) 達(dá)到G1和G2連續(xù)的光滑拼接圖。

圖2 ωλμ-T-Bézier曲線的拼接

5 曲線的應(yīng)用實(shí)例

5.1 形狀參數(shù)λ、μ對曲線的調(diào)節(jié)作用

改變形狀參數(shù)ω,λ,μ的值可以調(diào)節(jié)ωλμ-TC-Bézie曲線的形狀。圖3(a)是當(dāng)λ=0.4，μ=0.5，ω依次取0,0.2,0.4,0.6,0.8,1時(shí)，曲線向上逐漸逼近控制多邊形的圖像。圖3(b)是當(dāng)λ=0.4ω=0.6，μ依次取-2,-1.5,-0.8,0,0.5,1時(shí)，曲線向右逐漸逼近控制多邊形的圖像。圖3(c)是當(dāng)μ=0.5，ω=0.4，λ依次取-2，-1.5,-0.8,0,0.5,1時(shí)，曲線向左逐漸逼近控制多邊形的圖像。

圖3 形狀參數(shù)ω,λ,μ對ωλμ-TC-Bézier曲線的調(diào)節(jié)

5.2 3種曲線間的比較

圖4為控制頂點(diǎn)V0=(1,1),V1=(2,3),V2=(5,3),V3=(6,1) 時(shí)Bézier曲線、ωλμ-TC-Bézier曲線和三次T-Bézier曲線之間的比較，其中參數(shù)λ=0.6，μ=0.5，ω由上至下依次取值為1,0.5,0。三次Bézier曲線可以是ωλμ-TC-Bézier曲線取形狀參數(shù)ω=1退化而來；三次T-Bézier曲線是ωλμ-TC-Bézier曲線取形狀參數(shù)ω=0且λ=μ退化而來。這說明了ωλμ-TC-Bézier曲線比Bézier曲線和三次T-Bézier曲線具有靈活的形狀可調(diào)性,并且可以同時(shí)兼顧二者的優(yōu)點(diǎn)。

圖4 Bézier曲線、ωλμ-TC-Bézier曲線和 三次T-Bézier曲線的比較

5.3 拋物線弧的表示

設(shè)V0,V1,V2,V3為控制多邊形頂點(diǎn)，若令λ=0,μ=0,ω=0， 曲線的4個(gè)控制多邊形頂點(diǎn)為V0=(0,0)，V1=(a,0)，V2=V3=(2a,b)， 則有

圖5中離控制多邊形較遠(yuǎn)的虛線是Bézier曲線對拋物線弧的近似逼近。實(shí)曲線是三次T-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示。其中實(shí)曲線同樣是當(dāng)λ=0,μ=0,ω=0時(shí)ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示，離控制多邊形較遠(yuǎn)的虛線同樣是當(dāng)λ=1,μ=0,ω=0時(shí)ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的近似逼近，離控制多邊形較近的虛線是當(dāng)λ=0.5,μ=0,ω=0時(shí)ωλμ-TC-Bézier曲線對于拋物線弧的近似逼近。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，取λ∈[0,1] 中不同值，ωλμ-TC-Bézier曲線既能夠?qū)佄锞€精確表示也可以不同程度逼近拋物線弧，新曲線表現(xiàn)出很強(qiáng)的形狀可調(diào)性，更適合用于曲線曲面設(shè)計(jì)。

圖5 拋物線弧的表示

5.4 橢圓弧和圓弧的表示

設(shè)控制多邊形的頂點(diǎn)為V4,V5,V6,V7， 令λ=0,μ=0,ω=0， 可得V4=(0,2b)，V5=(a,2b)，V6=(2a,b)，V7=(2a,0)， 則有

圖6(a)中外側(cè)虛線是Bézier曲線對橢圓弧的近似逼近。內(nèi)側(cè)點(diǎn)線是三次T-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示。其中內(nèi)側(cè)點(diǎn)線也是當(dāng)λ=0,μ=0,ω=0是ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示，外側(cè)虛線也是當(dāng)λ=1,μ=0,ω=0是ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的近似逼近，內(nèi)側(cè)點(diǎn)線與外側(cè)虛線之間的虛線是當(dāng)λ=0.5,μ=0,ω=0時(shí)ωλμ-TC-Bézier曲線對于拋物線弧的近似逼近。圖6(b)中曲線是控制頂點(diǎn)為V4=(0,2)，V5=(1,2)，V6=(2,1)，V7=(2,0) 時(shí)Bézier曲線、三次T-Bézier曲線、ωλμ-TC-Bézier曲線表示的幾段圓弧。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，取λ∈[0,1] 中不同值，ωλμ-TC-Bézier曲線既能對橢圓弧、圓弧精確表示也可以不同程度逼近橢圓弧、圓弧。

圖6 曲線表示的橢圓弧和圓弧

5.5 花瓣圖形

ωλμ-TC-Bézier曲線有較強(qiáng)的工業(yè)造型設(shè)計(jì)功能，當(dāng)ωλμ-TC-Bézier曲線的起始點(diǎn)與末頂點(diǎn)相重合時(shí)，能夠獲得封閉的曲線。圖7為當(dāng)λ=μ=0.5，ω的取值依次為0,0.3,0.6,1時(shí)獲得的閉合曲線及開曲線所形成的花瓣圖形。最外側(cè)花瓣線為ωλμ-TC-Bézier曲線ω=0時(shí)的三次T-Bézier曲線，最內(nèi)側(cè)花瓣線為ωλμ-TC-Bézier曲線ω=1時(shí)的Bézier曲線，而本文構(gòu)造的ωλμ-TC-Bézier曲線只需調(diào)節(jié)形狀參數(shù)就可以表示出三次T-Bézier曲線及Bézier曲線。

圖7 花瓣圖形

5.6 花瓶旋轉(zhuǎn)曲面

將相鄰的Bézier曲線、三次T-Bézier曲線及ωλμ-TC-Bézier曲線分別以G1光滑拼接得到的曲線作為母線，將其旋轉(zhuǎn)可以得到形似花瓶的旋轉(zhuǎn)曲面。圖8(a)是當(dāng)λ=μ=0.6時(shí)3條曲線的G1光滑拼接曲線，圖8(b)是Bézier曲線拼接旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的花瓶旋轉(zhuǎn)曲面。圖8(c)是三次T-Bézier曲線拼接旋轉(zhuǎn)得到的花瓶旋轉(zhuǎn)曲面，圖8(d)是ωλμ-TC-Bézier曲線拼接取ω=0.4旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的花瓶旋轉(zhuǎn)曲面。ωλμ-TC-Bézier拼接曲線取形狀參數(shù)ω=1時(shí)能夠生成圖8(b)，取形狀參數(shù)ω=0時(shí)能夠生成圖8(c)，且調(diào)節(jié)參數(shù)ω∈[0,1] 能夠使對應(yīng)的花瓶旋轉(zhuǎn)曲面的形狀介于Bézier和三次T-Bézier拼接曲線的花瓶旋轉(zhuǎn)曲面之間。這為曲面設(shè)計(jì)提供了很好的工具。

圖8 3種曲線生成的花瓶旋轉(zhuǎn)曲面

6 結(jié)束語

為了解決傳統(tǒng)文獻(xiàn)在構(gòu)造曲線時(shí)不能對代數(shù)多項(xiàng)式和三角多項(xiàng)式函數(shù)空間的優(yōu)點(diǎn)兼顧的問題，本文結(jié)合加權(quán)思想，將Bézier曲線和三次T-Bézier曲線作為工具，同時(shí)在代數(shù)多項(xiàng)式空間和三角多項(xiàng)式空間進(jìn)行擴(kuò)展，得到了新的ωλμ-TC-Bézier曲線。大量的分析以及實(shí)例表明，新曲線具有很強(qiáng)的實(shí)用性與有效性。實(shí)際上，加權(quán)思想不僅僅適用于Bezier曲線的擴(kuò)展，而且還適用于B樣條曲線、曲面，乃至三角域曲面的拓展。但限于篇幅，此類結(jié)果的分析將另文敘述。