胡小波

(泰州市姜堰區(qū)婁莊中學(xué),江蘇 泰州 225506)

圖1

在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上,把物體P輕放在彈簧上端,P由靜止向下運動,物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實線所示．在另一星球N上用完全相同的彈簧,改用物體Q完成同樣的過程,其a-x關(guān)系如圖中虛線所示,假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體．已知星球M的半徑是星球N的3倍,則

(A)M與N的密度相等.

(B)Q的質(zhì)量是P的3倍.

(C)Q下落過程中的最大動能是P的4倍.

(D)Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍.

1 試題分析

命題意圖： 題目主要考查的知識點是:萬有引力定律應(yīng)用、牛頓第二定律、胡克定律、力和運動、功能關(guān)系、能量轉(zhuǎn)化與守恒及a-x圖像的意義．主要考查的能力有:圖像的理解能力(截距、面積等意義)、推理能力、綜合分析能力等．

試題特點： 從新課程標準角度看,該題通過小球在彈簧上的運動借助a-x圖像的顯現(xiàn)體現(xiàn)了對學(xué)生模型建構(gòu)、科學(xué)推理等科學(xué)思維素養(yǎng)的綜合考查,對學(xué)生運動與相互作用觀、能量觀等物理觀念素養(yǎng)有較高的考查,與新課程標準強調(diào)學(xué)生科學(xué)思維、物理觀念等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)相呼應(yīng);從知識與能力角度看試題將萬有引力定律應(yīng)用、彈簧彈力作用下的力與運動、牛頓運動定律、胡克定律、功能關(guān)系、機械能守恒、能量的轉(zhuǎn)化與守恒等看似獨立無序的核心知識借助a-x圖像巧妙的串聯(lián)起來,壓縮成一道經(jīng)典的動力學(xué)問題,綜合性強,對學(xué)生的能力要求較高,顯示出較好的區(qū)分度,以達到選拔優(yōu)質(zhì)人才的目的．

解題技巧： 星球密度的計算、在彈簧上運動的兩物塊質(zhì)量比較和最大動能的關(guān)系以及最大壓縮量的比較這種種物理量的關(guān)聯(lián)分析都隱藏在a-x圖像中,將物塊在豎直放置的彈簧上的壓縮彈簧的運動這一具體情境與a-x圖像巧妙對應(yīng)起來,便是解決這道題的核心思想所在．

2 解題方法

2.1 MN兩星球密度的比較

眾所周知,天體密度的計算是建立在牛頓的萬有引力定律基礎(chǔ)上,其核心方法有兩類:一類是根據(jù)天體表面的重力加速度g和天體作為一均勻球體的半徑R求解,原理是地面上的物體所受星球的萬有引力等于物體的重力,從而求出天體的質(zhì)量M,再據(jù)密度公式求出天體密度即可;第二類是利用天體的一顆衛(wèi)星(或行星)求解,通常是已知衛(wèi)星的線速度、角速度、周期、向心加速度和軌道半徑(分別記為v、ω、T、a、r)中的任意兩個參數(shù)(不能同時是ω、T)再加上天體的半徑R便可計算出天體的密度,原理是天體對其衛(wèi)星的萬有引力提供向心力求出天體質(zhì)量M,再用密度公式求其密度．綜合上述方法和題目具體情境該題應(yīng)當(dāng)是用第一種方法．

當(dāng)物塊在彈簧上由靜止向下運動時,便逐漸壓縮彈簧,在開始運動的瞬間,彈簧處于原長,此時物塊運動的加速度即為所在星球表面處的加速度．

由圖像易知,

對P而言,當(dāng)x=0時,加速度

a=gM=3a0.

(1)

對Q而言,當(dāng)x=0時,加速度

a=gN=a0.

(2)

由(1)、(2)得星球M和星球N表面的重力加速度關(guān)系為

gM=3gN.

(3)

對星球M和星球M表面的一個質(zhì)量為m的物體,由萬有引力定律等于重力得

(4)

解得星球M的質(zhì)量為

(5)

故星球M的密度為

(6)

同理得星球N的密度為

(7)

因兩球作為球體的半徑關(guān)系為

R=3R′.

(8)

由(3)、(6)-(8)式可得ρ=ρ′

圖2

2.2 兩物塊P、Q質(zhì)量的比較

解法1: 圖像橫截距法

物塊在彈簧上向下運動時做的是變加速直線運動,當(dāng)彈簧對其彈力與其重力相等時,合力為0,加速度為0,對應(yīng)著a-x圖像中的橫截距,此時

對P:

mPgM=kx0′.

(9)

對Q:

mQgN=k·2x0.

(10)

由(3)、(8)、(9)式得兩物塊質(zhì)量關(guān)系為mQ=6mp;

解法2:圖像斜率法

取向下為正方向,物塊自靜止壓縮彈簧時由牛頓第二定律得

F合=mg-F彈=ma.

(11)

由胡克定律得

F彈=kx.

(12)

由圖像得

對P:

(13)

對Q:

(14)

綜合(12)、(13)兩式有mQ=6mP.

2.3 兩物塊P、Q最大動能的比較

解法1:動能定理法

物塊P由靜止運動至合力為零時速度最大、動能最大,這一過程由動能定理得

WG+W彈=Ekmax-0

(15)

又物塊P有最大動能時

kx0=mPgM.

(16)

由(14)、(15)得

(17)

同理可得在星球N上壓縮彈簧的Q物塊的最大動能

(18)

由(16)、(17)得

選項(C)正確．

解法2:機械能守恒法

物塊P由靜止運動至合力為0時速度最大、動能最大,這一過程由物塊與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒得(物塊P減少的機械能轉(zhuǎn)化給彈簧的彈性勢能)

(19)

當(dāng)然kx0=mPgM.

(20)

由(18)、(19)式得

解法3:能量守恒法

物塊P由靜止運動至合力為0時速度最大、動能最大,這一過程由能量守恒(物塊減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為物塊的動能和彈簧的彈性勢能)得

圖3

解法4:a-x圖像的面積法

由v-t圖像的面積表示位移大小、F-x圖像的面積表示功、a-t圖像的面積表示速度變化量易推知a-x圖像的面積表示速度平方的一半．

對P:

對Q有:

因為mQ=6mP,

2.4 兩彈簧最大壓縮量的比較

圖4

由上述解法4中a-x圖像面積的意義易知,物塊從接觸彈簧至速度最大,再從速度最大至速度為0(此時彈簧壓縮最縮),這兩過程應(yīng)當(dāng)是一對稱過程,因而P所在彈簧最大壓縮量為2x0、Q所在彈簧最大 壓縮量為4x0,即Q所在彈簧最大壓縮量為P彈簧最大壓縮量的2倍．

當(dāng)然也可以分別將兩者的a-x延長至x軸下方面積與x軸上方面積相等處,即有此時的最大壓縮量分別為2x0、4x0

3 試題導(dǎo)向與教學(xué)建議

3.1 要重視基礎(chǔ)知識、基本規(guī)律的相互關(guān)聯(lián)滲透

物理概念、物理定理、物理定律是構(gòu)成物理學(xué)的基本元素,要想真正走進物理學(xué)、了解物理學(xué)、學(xué)習(xí)物理學(xué)甚至于將來發(fā)展物理學(xué)都離不開對基礎(chǔ)知識、基本規(guī)律的學(xué)習(xí)理解,更不能停留在碎片化的知識當(dāng)中,要關(guān)注規(guī)律之間的關(guān)聯(lián)滲透,用整體的、聯(lián)系的視角看待問題．教師在物理課堂教學(xué)中要有關(guān)聯(lián)知識、關(guān)聯(lián)規(guī)律的思想意識．

3.2 要關(guān)注利用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力培養(yǎng)

運用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力是高考物理考試綱要中明確規(guī)定的五大能力之一．圖像的橫縱截距、圖像的斜率和面積所蘊含的意義往往是借助數(shù)學(xué)工具、利用物理規(guī)律推導(dǎo)出兩物理量間的定量關(guān)系,通常來說,每一個物理圖像背后必定有與之相對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,函數(shù)關(guān)系式的推導(dǎo)那必定要運用到數(shù)學(xué)工具,因此,對學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的能力要重點培養(yǎng)．

3.3 要用發(fā)展的眼光看待問題,不能墨守成規(guī)

縱觀近幾年全國卷Ⅰ對萬有引力定律及其應(yīng)用的考查,題型、分值都較為穩(wěn)定,題型常為單項選擇題或多項選擇題,分值一直維持在6分,知識點的考查較為單一,較少出現(xiàn)與其他定理定律的綜合考查,如2015年全國卷Ⅰ的“嫦娥三號”登月問題、2016年的同步衛(wèi)星問題、2018年的雙星系統(tǒng)問題均以萬有引力定律為主要考查點,尚未與其他知識點相互滲透考查,但2019年則一反常態(tài),將其設(shè)為選擇題的壓軸題,顯得獨樹一幟,推陳出新,一改以往的命題風(fēng)格,試題借助a-x圖像不僅考查了萬有引力定律、牛頓第二定律、胡克定律、機械能守恒定律和能量轉(zhuǎn)化與守恒定律等經(jīng)典的力學(xué)定律,還考查了動能定理這一重要定理．對學(xué)生理解圖像、綜合分析圖像、結(jié)合具體情景分析圖像的能力提出了相當(dāng)高的要求．

因此教師在組織復(fù)習(xí)備考時千萬不能隨意預(yù)測,覺得每年都單獨考查的某一知識點那來年一定還會是單獨考查,不可能與其他知識滲透綜合考查,教師千萬不能有這樣的思想觀念,2019全國卷Ⅰ的第21題 就給我們敲響了警鐘．

3.4 要培養(yǎng)學(xué)生一題多解的發(fā)散思維能力

在日常教學(xué)中要強調(diào)、鼓勵學(xué)生一題多解和多題一解,一題多解可以鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維,多題一解可以發(fā)展學(xué)生歸納推理的思維．以知識為載體,以能力為立意,將物理學(xué)的研究過程呈現(xiàn)給學(xué)生．